Les règles de Western Electric et de Nelson¶
La règle de Shewhart — un point au-delà de 3σ — est lente à détecter un petit décalage durable : 44 points en moyenne pour un décalage d'un écart-type (chapitre précédent). Les règles de Western Electric, puis celles de Nelson, ajoutent des règles de séquences qui repèrent des motifs de plusieurs points. Ce chapitre les énonce, puis mesure ce qu'elles coûtent.
Les zones¶
Les règles se lisent sur une carte découpée en zones de part et d'autre de la ligne centrale :
| Zone | Distance à la ligne centrale |
|---|---|
| C | Entre 0 et 1σ |
| B | Entre 1σ et 2σ |
| A | Entre 2σ et 3σ |
| Hors limites | Au-delà de 3σ |
Chaque zone existe des deux côtés. « Du même côté » signifie : tous au-dessus, ou tous en dessous de la ligne centrale.
Les règles de Western Electric (1956)¶
L'origine¶
Les règles viennent du Statistical Quality Control Handbook publié en 1956 par la Western Electric Company, la branche industrielle du système Bell. Le manuel a été rédigé par un comité de la division de production, mené par Bonnie B. Small, ancienne professeure de lycée entrée à l'usine de Hawthorne en 1942, qui avait dirigé la qualité d'une usine de transistors (Wikipédia, Control chart ; Western Electric rules ; le manuel lui-même n'a pas été consulté pour ce rapport).
Les quatre règles de zones¶
Un signal est déclaré si :
- un point tombe au-delà de 3σ ;
- 2 points sur 3 consécutifs tombent au-delà de 2σ (zone A ou au-delà), du même côté ;
- 4 points sur 5 consécutifs tombent au-delà de 1σ (zone B ou au-delà), du même côté ;
- 8 points consécutifs tombent du même côté de la ligne centrale.
Intuition
Les quatre règles forment une échelle : plus l'écart est petit, plus on exige de points pour conclure. Un point très loin suffit ; deux points assez loin aussi ; il en faut quatre un peu loin, ou huit simplement du même côté. Chaque règle vise un décalage de taille différente.
Les motifs non chiffrés¶
Le manuel décrit aussi d'autres motifs « non naturels », dont certains seront chiffrés plus tard par Nelson : la stratification (15 points consécutifs à moins de 1σ, signe que la variation mesurée est artificiellement faible), le mélange (8 points consécutifs des deux côtés sans aucun dans la zone C, signe de deux populations mélangées), les tendances, les cycles et les alternances systématiques.
Les règles de Nelson (1984)¶
L'origine¶
Lloyd S. Nelson publie en octobre 1984 dans le Journal of Quality Technology (vol. 16 n° 4) l'article The Shewhart Control Chart—Tests for Special Causes, qui fixe huit tests numérotés. Cette numérotation est celle qu'utilisent aujourd'hui les logiciels de statistique, notamment SAS (documentation) et Minitab (documentation).
Les huit tests¶
| Test | Énoncé | Cible |
|---|---|---|
| 1 | 1 point au-delà de 3σ | Décalage important, valeur aberrante |
| 2 | 9 points de suite du même côté | Petit décalage durable |
| 3 | 6 points de suite strictement croissants ou décroissants | Tendance |
| 4 | 14 points de suite alternant haut et bas | Deux sources alternées, sur-ajustement |
| 5 | 2 points sur 3 au-delà de 2σ, du même côté | Décalage moyen |
| 6 | 4 points sur 5 au-delà de 1σ, du même côté | Petit décalage |
| 7 | 15 points de suite dans la zone C, des deux côtés | Stratification, limites mal calculées |
| 8 | 8 points de suite hors de la zone C, des deux côtés | Mélange de deux populations |
Les tests 1, 5 et 6 sont les règles 1, 2 et 3 de Western Electric. Le test 2 reprend la règle 4 avec 9 points au lieu de 8. Les tests 3, 4, 7 et 8 sont nouveaux.
Erreur fréquente : « la » règle des points du même côté
Le nombre de points varie selon les sources : 8 chez Western Electric, 9 chez Nelson, SAS et Minitab, 7 dans le manuel SPC de l'AIAG (industrie automobile ; information secondaire, manuel non consulté). SAS permet de choisir 7, 8, 9, 11, 14 ou 20. Ce n'est pas un détail : la règle seule a un ARL en contrôle de \(2^k - 1\) pour \(k\) points, soit 127, 255 ou 511.
Ce que Nelson disait de leur combinaison¶
Dans un article complémentaire de 1985, cité par la documentation de SAS (source), Nelson précise l'usage :
Les tests 1, 2, 3 et 4 devraient être appliqués en routine ; la probabilité combinée d'un faux signal par l'un ou plusieurs de ces tests est inférieure à une sur cent.
Les tests 5 et 6 s'ajoutent quand on veut une alerte plus précoce ; les tests 7 et 8 servent à diagnostiquer une stratification. Et Nelson prévient que ces probabilités « ne doivent pas être considérées comme très précises », car elles supposent normalité et indépendance : ce sont « des règles pratiques d'action plutôt que des tests de probabilités précises ».
Ce que coûtent les règles¶
Chaque règle seule¶
Le script de vérification (§1) mesure l'ARL en contrôle de chaque règle appliquée seule, sur un processus gaussien parfaitement stable :
| Règle | ARL en contrôle |
|---|---|
| WE 1 / Nelson 1 : 1 point au-delà de 3σ | 370 (exact) |
| WE 2 / Nelson 5 : 2 sur 3 au-delà de 2σ | ≈ 520 |
| WE 3 / Nelson 6 : 4 sur 5 au-delà de 1σ | ≈ 290 |
| WE 4 : 8 du même côté | 255 (exact) |
| Nelson 2 : 9 du même côté | 511 (exact) |
| Nelson 3 : 6 monotones | ≈ 420 |
| Nelson 4 : 14 alternés | ≈ 615 |
| Nelson 7 : 15 en zone C | ≈ 950 |
| Nelson 8 : 8 hors zone C | ≈ 10 800 |
Prise isolément, chaque règle est comparable à la règle 1 : quelques centaines de points entre deux fausses alarmes. Le problème vient de leur cumul.
Les combinaisons¶
Champ et Woodall ont calculé en 1987 les ARL exacts des combinaisons de règles, par des chaînes de Markov (Technometrics, vol. 29 n° 4). Un calcul exact refait pour ce rapport redonne leurs valeurs :
| Règles appliquées | ARL en contrôle |
|---|---|
| Règle 1 seule | 370,4 |
| 1 + 2 | 225,4 |
| 1 + 3 | 166,1 |
| 1 + 4 | 152,7 |
| 1 + 2 + 3 | 132,9 |
| 1 + 2 + 3 + 4 (Western Electric complet) | 91,75 |
| 1 + 2 + 3 + 4, avec 9 points pour la règle 4 | 109,1 |
Et le script (§1) pour les tests de Nelson :
| Tests de Nelson | ARL en contrôle |
|---|---|
| 1 à 4 | ≈ 119 |
| 1 à 8 | ≈ 74 |
Le chiffre de Nelson est donc confirmé : avec les tests 1 à 4, la probabilité de fausse alarme par point est d'environ 0,8 %, sous le « un sur cent » annoncé.
Limite importante
Les huit tests de Nelson ensemble déclenchent une fausse alarme cinq fois plus souvent que la règle 1 seule — une tous les 74 points au lieu de 370. Sur une carte quotidienne, c'est une fausse alarme tous les deux à trois mois par carte ; avec dix cartes, toutes les semaines (Pièges).
Ce qu'elles rapportent¶
En échange, la détection d'un décalage durable est beaucoup plus rapide. ARL après un décalage de la moyenne de \(\delta\) écarts-types (calcul exact) :
| Décalage | Règle 1 seule | Western Electric complet |
|---|---|---|
| 0,5σ | 155 points | 27 points |
| 1σ | 44 points | 9 points |
| 2σ | 6,3 points | 3,1 points |
La règle 1 détecte bien les gros décalages ; les règles de séquences servent aux petits. Le prochain chapitre montre que CUSUM et EWMA font aussi bien sur les petits décalages, sans le surcoût en fausses alarmes (Autres familles de règles).
La position de Wheeler¶
Donald Wheeler, qui a le plus fait pour diffuser la carte XmR, est réservé sur l'empilement de règles. Dans un échange publié en 2024 (source) :
En pratique, la règle 1 suffit souvent, parce qu'il y a tant de signaux. Je recommande de désactiver les autres règles de détection dans les logiciels, mais je dis aussi à mes élèves de garder ces tests de séquences en poche, et de les sortir quand quelque chose semble suspect.
Minitab, dans sa propre documentation, fait la même mise en garde : ajouter des tests rend la carte plus sensible, mais peut augmenter le risque de faux signal.
À retenir
- Western Electric : 4 règles de zones (1 point > 3σ ; 2 sur 3 > 2σ ; 4 sur 5 > 1σ ; 8 du même côté). ARL en contrôle : 91,75.
- Nelson : 8 tests, dont 4 nouveaux (tendance, alternance, stratification, mélange) et 9 points au lieu de 8. Tests 1 à 4 : ARL ≈ 119 ; tous : ≈ 74.
- Elles divisent par 4 à 5 le délai de détection d'un décalage de 1σ, au prix de 4 à 5 fois plus de fausses alarmes.
- Recommandation de Wheeler : règle 1 par défaut, règles de séquences pour enquêter.