01 · Nombres et calcul¶
Intuition
Avant de calculer, il faut savoir avec quoi on calcule. Les mathématiques n'utilisent pas « les nombres » en bloc : elles utilisent des familles de nombres emboîtées, et chaque famille autorise des opérations que la précédente interdit. Passer de \(\mathbb{N}\) à \(\mathbb{Z}\), c'est s'autoriser à soustraire n'importe quoi ; passer à \(\mathbb{Q}\), c'est s'autoriser à diviser ; passer à \(\mathbb{R}\), c'est s'autoriser à mesurer une diagonale. Chaque élargissement répond à une équation qu'on ne savait pas résoudre avant.
1. Les ensembles de nombres¶
1.1 La chaîne des inclusions¶
Le symbole \(\subset\) se lit « est inclus dans » : tout élément de gauche est aussi un élément de droite.
| Ensemble | Nom | Contient | Exemple typique | Ce qu'il permet de faire en plus |
|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Entiers naturels | \(0, 1, 2, 3, \dots\) | \(7\) | Compter |
| \(\mathbb{Z}\) | Entiers relatifs | \(\dots, -2, -1, 0, 1, \dots\) | \(-4\) | Soustraire librement |
| \(\mathbb{D}\) | Décimaux | Écriture décimale finie | \(2{,}75\) | Mesurer avec précision finie |
| \(\mathbb{Q}\) | Rationnels | Quotients \(\frac{p}{q}\), \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{Z}^*\) | \(\frac{2}{3}\) | Diviser librement (sauf par 0) |
| \(\mathbb{R}\) | Réels | Tous les points de la droite graduée | \(\sqrt{2}\), \(\pi\) | Mesurer n'importe quelle longueur |
Notations dérivées, utilisées partout dans la suite du cours :
- \(\mathbb{Z}^*\) : les entiers relatifs privés de zéro. L'étoile signifie toujours « sans le zéro ».
- \(\mathbb{R}^+\) : les réels positifs ou nuls, c'est-à-dire \([0\,;+\infty[\).
- \(\mathbb{R}^{+*}\) ou \(\mathbb{R}^*_+\) : les réels strictement positifs, soit \(]0\,;+\infty[\).
- \(\mathbb{N}^*\) : \(1, 2, 3, \dots\) — les entiers naturels sans zéro.
Erreur fréquente : \(0\) est-il dans \(\mathbb{N}\) ?
En France, oui : \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\). Dans la littérature anglo-saxonne, \(\mathbb{N}\) désigne parfois \(\{1, 2, 3, \dots\}\). Quand vous lisez un article en anglais, vérifiez la convention. Dans tout ce cours, \(0 \in \mathbb{N}\).
1.2 Pourquoi \(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel¶
Ce résultat justifie l'existence de \(\mathbb{R}\) : sans lui, on pourrait croire que les fractions suffisent. La démonstration est courte et c'est le premier raisonnement par l'absurde du cours.
Théorème. \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
Démonstration
Supposons le contraire : \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}^*\), et la fraction irréductible (on a simplifié au maximum, donc \(p\) et \(q\) ne sont pas tous les deux pairs).
En élevant au carré : \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 2q^2\).
Donc \(p^2\) est pair. Or si \(p\) était impair, \(p^2\) le serait aussi (le carré d'un impair est impair). Donc \(p\) est pair : il s'écrit \(p = 2k\).
En remplaçant : \((2k)^2 = 2q^2\), soit \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\).
Par le même argument, \(q\) est pair.
Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. L'hypothèse de départ est donc fausse : \(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel. \(\blacksquare\)
Le symbole \(\blacksquare\) marque la fin d'une démonstration. Vous le rencontrerez partout dans ce cours.
2. Les fractions¶
2.1 Les quatre opérations¶
Soient \(a, c \in \mathbb{R}\) et \(b, d \in \mathbb{R}^*\).
Ce que disent ces formules. Pour additionner, il faut un dénominateur commun — c'est le rôle de \(bd\). Pour multiplier, on multiplie ligne par ligne. Pour diviser, on multiplie par l'inverse.
L'erreur la plus coûteuse de tout le calcul
On ne simplifie jamais à travers un signe \(+\). Dans \(\dfrac{x + 3}{x + 5}\), on ne peut pas « barrer les \(x\) ». Contre-exemple immédiat : pour \(x = 1\), \(\dfrac{1+3}{1+5} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\), alors que « barrer » donnerait \(\dfrac{3}{5}\).
On ne simplifie que des facteurs : \(\dfrac{2(x+3)}{5(x+3)} = \dfrac{2}{5}\) si \(x \neq -3\).
2.2 Fraction irréductible¶
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que \(1\). Pour la rendre irréductible, on divise les deux par leur PGCD — notion développée en Algèbre 11.
3. Les puissances¶
3.1 Définition¶
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
3.2 Les cinq règles¶
Pour \(a, b \in \mathbb{R}^*\) et \(m, n \in \mathbb{Z}\) :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\) |
| Quotient, même base | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\dfrac{5^7}{5^4} = 5^3 = 125\) |
| Puissance de puissance | \((a^m)^n = a^{mn}\) | \((3^2)^4 = 3^8\) |
| Produit, même exposant | \((ab)^n = a^n b^n\) | \((2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3\) |
| Quotient, même exposant | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\) |
Trois pièges classiques
- \((a+b)^n \neq a^n + b^n\). Pour \(n = 2\), il manque \(2ab\) — voir le chapitre suivant sur les identités remarquables.
- \(-3^2 = -9\), mais \((-3)^2 = 9\). L'exposant se lie plus fort que le signe moins. C'est une source d'erreur permanente en calcul matriciel.
- \(2^{3^2}\) vaut \(2^9 = 512\), pas \((2^3)^2 = 64\). La tour de puissances se lit de haut en bas.
3.3 Ordres de grandeur, et pourquoi ça compte en informatique¶
Les puissances de 2 sont les nombres avec lesquels une machine compte. Il est utile d'en connaître quelques-unes par cœur :
| Puissance | Valeur | À quoi ça correspond |
|---|---|---|
| \(2^{8}\) | \(256\) | Un octet |
| \(2^{10}\) | \(1\,024\) | Un kibioctet, souvent confondu avec 1000 |
| \(2^{16}\) | \(65\,536\) | Nombre de ports TCP, taille d'un entier court |
| \(2^{20}\) | \(\approx 10^6\) | Un mébioctet |
| \(2^{32}\) | \(\approx 4{,}3 \times 10^9\) | Nombre d'adresses IPv4 |
| \(2^{64}\) | \(\approx 1{,}8 \times 10^{19}\) | Un entier 64 bits non signé |
Retenez l'approximation \(2^{10} \approx 10^3\), qui donne \(2^{n} \approx 10^{0{,}3n}\) : c'est ce qui permet d'estimer de tête que \(2^{50}\) est de l'ordre de \(10^{15}\).
4. Les racines carrées¶
Pour \(a \in \mathbb{R}^+\), \(\sqrt{a}\) est l'unique réel positif dont le carré vaut \(a\).
Il n'y a pas de règle pour \(\sqrt{a+b}\)
\(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Contre-exemple : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Résultat à connaître : pour tout réel \(x\),
et non \(x\). Pour \(x = -3\) : \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\).
Rendre rationnel un dénominateur — technique qui resservira en analyse pour lever des formes indéterminées :
On a multiplié en haut et en bas par la quantité conjuguée \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\), ce qui fait apparaître une identité remarquable au dénominateur.
5. Valeur absolue¶
Interprétation : \(|x|\) est la distance de \(x\) à zéro, et \(|x - a|\) est la distance de \(x\) à \(a\). C'est cette lecture qu'il faut avoir en tête, pas la définition par cas.
Propriétés :
La dernière s'appelle l'inégalité triangulaire. Elle est fondamentale en analyse : c'est elle qui permet de majorer une somme d'erreurs.
Équations et inéquations avec valeur absolue — à traduire en distance :
| Écriture | Traduction | Solution |
|---|---|---|
| \(\lvert x - 3\rvert = 2\) | \(x\) est à distance 2 de 3 | \(x = 1\) ou \(x = 5\) |
| \(\lvert x - 3\rvert < 2\) | \(x\) est à moins de 2 de 3 | \(x \in \left]1\,;5\right[\) |
| \(\lvert x - 3\rvert > 2\) | \(x\) est à plus de 2 de 3 | \(x \in \left]-\infty;1\right[ \cup \left]5;+\infty\right[\) |
6. Intervalles¶
| Notation | Ensemble | Bornes |
|---|---|---|
| \([a\,;b]\) | \(a \leqslant x \leqslant b\) | Fermé des deux côtés |
| \(]a\,;b[\) | \(a < x < b\) | Ouvert des deux côtés |
| \([a\,;b[\) | \(a \leqslant x < b\) | Semi-ouvert |
| \([a\,;+\infty[\) | \(x \geqslant a\) | \(+\infty\) toujours ouvert |
L'infini n'est jamais atteint
On écrit \([3\,;+\infty[\), jamais \([3\,;+\infty]\). L'infini n'est pas un nombre : aucun réel ne vaut \(+\infty\), donc le crochet est nécessairement ouvert de ce côté.
Opérations : \(\cup\) est la réunion (« ou »), \(\cap\) l'intersection (« et »).
7. Priorités opératoires¶
Dans cet ordre :
- parenthèses, de l'intérieur vers l'extérieur ;
- puissances et racines ;
- multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- additions et soustractions, de gauche à droite.
« De gauche à droite » n'est pas décoratif
\(12 \div 3 \times 2\) vaut \((12 \div 3) \times 2 = 8\), et non \(12 \div (3 \times 2) = 2\). De même \(10 - 4 - 3 = 3\) et non \(9\).
Exemples traités¶
Exemple 1 — Fractions et priorités
Calculer \(A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{15}\).
Multiplication d'abord : \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}\).
Puis l'addition, dénominateur commun \(36\) :
Exemple 2 — Puissances avec exposants négatifs
Simplifier \(B = \dfrac{(2a^{-3}b^2)^2}{4a^{-4}b}\) pour \(a, b \neq 0\).
Numérateur : \((2a^{-3}b^2)^2 = 2^2 (a^{-3})^2 (b^2)^2 = 4a^{-6}b^4\).
Donc
Exemple 3 — Quantité conjuguée
Écrire \(C = \dfrac{2}{3 - \sqrt{7}}\) sans racine au dénominateur.
On multiplie haut et bas par \(3 + \sqrt{7}\) :
Exemple 4 — Inéquation avec valeur absolue
Résoudre \(|2x + 1| \leqslant 5\).
On écrit d'abord la valeur absolue sous forme de distance : \(|2x+1| = 2\left|x + \tfrac12\right|\), donc l'inéquation devient \(\left|x + \tfrac12\right| \leqslant \tfrac52\) : « \(x\) est à distance au plus \(\tfrac52\) de \(-\tfrac12\) ».
Solution : \(x \in [-3\,;2]\).
Erreurs fréquentes — récapitulatif¶
| Écriture fausse | Correction | Contre-exemple |
|---|---|---|
| \(\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\) | Pas de simplification à travers \(+\) | \(\dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac12 \neq 1\) |
| \((a+b)^2 = a^2+b^2\) | Il manque \(2ab\) | \((1+1)^2 = 4 \neq 2\) |
| \(\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b\) | Aucune règle | \(\sqrt{9+16}=5 \neq 7\) |
| \(\sqrt{x^2} = x\) | \(\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert\) | \(x=-3\) |
| \(-3^2 = 9\) | \(-3^2 = -9\) | Priorité de l'exposant |
| \(12 \div 3 \times 2 = 2\) | \(= 8\) | Gauche à droite |
Exercices¶
★ Exercice 1. Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{9}\) b) \(\dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{15}\) c) \(\dfrac{2}{5} \div \dfrac{6}{25}\) d) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\)
★ Exercice 2. Simplifier, en supposant toutes les lettres non nulles.
a) \(\dfrac{x^7 y^3}{x^4 y^5}\) b) \((3a^2b)^3\) c) \(\dfrac{(2m^{-1})^{3}}{8m^{-5}}\) d) \(\left(\dfrac{a^2}{b^{-3}}\right)^{-2}\)
★ Exercice 3. Écrire sans racine au dénominateur.
a) \(\dfrac{3}{\sqrt5}\) b) \(\dfrac{1}{\sqrt7 + \sqrt5}\) c) \(\dfrac{\sqrt3}{2-\sqrt3}\)
★★ Exercice 4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\).
a) \(|x - 4| = 7\) b) \(|3x + 2| < 1\) c) \(|x + 1| \geqslant 3\)
★★ Exercice 5. Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant :
Indication : passez tout en puissances de 10 approchées.
★★ Exercice 6. Déterminer l'ensemble des \(x \in \mathbb{R}\) tels que \(\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 3\).
Attention : ce n'est pas \(\mathbb{R}\) tout entier.
★★★ Exercice 7. Soit \(x\) un réel tel que \(x + \dfrac{1}{x} = 3\). Calculer \(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\), puis \(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\), sans calculer \(x\).
★★★ Exercice 8. Démontrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel, en adaptant la démonstration faite pour \(\sqrt{2}\).
Indication : le point délicat est de justifier que si \(p^2\) est divisible par 3, alors \(p\) l'est. Raisonnez sur le reste de \(p\) dans la division par 3.
★★★ Exercice 9 — lien informatique. Un entier non signé sur \(n\) bits code les valeurs de \(0\) à \(2^n - 1\).
a) Combien de valeurs distinctes un entier 16 bits peut-il prendre ? b) Un identifiant est tiré au hasard sur 64 bits. En utilisant \(2^{10} \approx 10^3\), donner un ordre de grandeur en puissance de 10 du nombre d'identifiants possibles. c) Une adresse IPv6 fait 128 bits. Comparer, en ordre de grandeur, le nombre d'adresses IPv6 au nombre d'atomes de la Terre, estimé à \(1{,}3 \times 10^{50}\).
★★★★ Exercice 10. Montrer que pour tous réels \(x\) et \(y\) :
Indication : partez de l'inégalité triangulaire appliquée à \(x = (x - y) + y\).
★★★★ Exercice 11. Soient \(a\) et \(b\) deux rationnels et \(r\) un irrationnel.
a) Montrer que \(a + r\) est irrationnel. b) Montrer que si \(a \neq 0\), alors \(ar\) est irrationnel. c) Donner un exemple de deux irrationnels dont la somme est rationnelle, et un exemple de deux irrationnels dont le produit est rationnel. d) En déduire que l'ensemble des irrationnels n'est stable ni par addition ni par multiplication.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) Dénominateur commun \(18\) : \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{9} = \dfrac{15}{18} - \dfrac{14}{18} = \dfrac{1}{18}\).
b) \(\dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10}\). Plus rapide en simplifiant avant : \(\dfrac{3}{15} = \dfrac15\) et \(\dfrac{4}{8} = \dfrac12\), d'où \(\dfrac15 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{10}\).
c) \(\dfrac{2}{5} \div \dfrac{6}{25} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{25}{6} = \dfrac{50}{30} = \dfrac{5}{3}\).
d) Dénominateur commun \(6\) : \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(\dfrac{x^7 y^3}{x^4 y^5} = x^{7-4} y^{3-5} = x^3 y^{-2} = \dfrac{x^3}{y^2}\).
b) \((3a^2b)^3 = 3^3 (a^2)^3 b^3 = 27 a^6 b^3\).
c) \((2m^{-1})^3 = 8m^{-3}\), donc \(\dfrac{8m^{-3}}{8m^{-5}} = m^{-3-(-5)} = m^{2}\).
d) \(\dfrac{a^2}{b^{-3}} = a^2 b^3\), donc \((a^2b^3)^{-2} = a^{-4}b^{-6} = \dfrac{1}{a^4 b^6}\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(\dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{5}\) (on multiplie haut et bas par \(\sqrt5\)).
b) Conjuguée \(\sqrt7 - \sqrt5\) :
c) Conjuguée \(2+\sqrt3\) :
Corrigé — Exercice 4
a) \(|x-4| = 7\) signifie « \(x\) est à distance 7 de 4 », donc \(x = 4 - 7 = -3\) ou \(x = 4 + 7 = 11\). Solution : \(\{-3\,;11\}\).
b) \(|3x+2| < 1 \iff -1 < 3x + 2 < 1 \iff -3 < 3x < -1 \iff -1 < x < -\tfrac13\). Solution : \(\left]-1\,;-\tfrac13\right[\).
c) \(|x+1| \geqslant 3\) signifie \(x + 1 \leqslant -3\) ou \(x + 1 \geqslant 3\), soit \(x \leqslant -4\) ou \(x \geqslant 2\). Solution : \(\left]-\infty\,;-4\right] \cup \left[2\,;+\infty\right[\).
Le piège du c)
Une inéquation en \(\geqslant\) avec valeur absolue donne une réunion, pas un encadrement. Écrire « \(-3 \geqslant x+1 \geqslant 3\) » n'a aucun sens : aucun nombre n'est à la fois \(\leqslant -3\) et \(\geqslant 3\).
Corrigé — Exercice 5
On utilise \(2^{10} \approx 10^3\), c'est-à-dire \(\log_{10}(2) \approx 0{,}301\).
- \(2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^{9}\). Plus précisément \(2^{30} = 1\,073\,741\,824 \approx 1{,}07 \times 10^9\).
- \(10^9 = 10^9\) exactement.
- \(3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}\). Or \(9^{10} < 10^{10}\) et \(9^{10} = 3{,}49 \times 10^{9}\).
- \(5^{13}\) : \(5^{13} = \dfrac{10^{13}}{2^{13}} = \dfrac{10^{13}}{8192} \approx 1{,}22 \times 10^{9}\).
Ordre croissant :
Vérification : \(10^9 = 1{,}000 \times 10^9\), \(2^{30} = 1{,}074 \times 10^9\), \(5^{13} = 1{,}221 \times 10^9\), \(3^{20} = 3{,}487 \times 10^9\).
Corrigé — Exercice 6
\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\), donc \(\sqrt{x^2-6x+9} = |x-3|\).
L'équation devient \(|x - 3| = x - 3\), ce qui est vrai si et seulement si \(x - 3 \geqslant 0\), car une valeur absolue est toujours positive.
Solution : \(x \in [3\,;+\infty[\).
Le piège
Écrire directement \(\sqrt{(x-3)^2} = x-3\) est faux. Pour \(x = 0\) : \(\sqrt{9} = 3\), mais \(x - 3 = -3\). La racine carrée d'un carré est la valeur absolue, jamais l'expression brute.
Corrigé — Exercice 7
Étape 1. On élève l'hypothèse au carré :
Donc \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7\).
Étape 2. On élève l'hypothèse au cube :
Donc \(27 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3 \times 3\), d'où \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 18\).
Remarque. On n'a jamais eu besoin de la valeur de \(x\) — qui vaut d'ailleurs \(\frac{3 \pm \sqrt5}{2}\), deux nombres irrationnels. C'est un schéma qu'on retrouvera souvent : une relation entre inconnues suffit, la valeur des inconnues est inutile.
Corrigé — Exercice 8
Lemme préliminaire. Si \(3 \mid p^2\) alors \(3 \mid p\).
Tout entier \(p\) s'écrit \(p = 3k\), \(p = 3k+1\) ou \(p = 3k+2\).
- Si \(p = 3k+1\) : \(p^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2+2k) + 1\), reste \(1\).
- Si \(p = 3k+2\) : \(p^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2+4k+1) + 1\), reste \(1\).
- Si \(p = 3k\) : \(p^2 = 9k^2\), reste \(0\).
Donc \(p^2\) n'est divisible par 3 que dans le troisième cas, c'est-à-dire quand \(p\) l'est. \(\square\)
Démonstration principale. Supposons \(\sqrt3 = \dfrac{p}{q}\) irréductible, \(q \neq 0\). Alors \(p^2 = 3q^2\), donc \(3 \mid p^2\), donc \(3 \mid p\) par le lemme. Écrivons \(p = 3k\) : \(9k^2 = 3q^2\), soit \(q^2 = 3k^2\), donc \(3 \mid q^2\), donc \(3 \mid q\).
\(p\) et \(q\) sont tous deux divisibles par 3, ce qui contredit l'irréductibilité. Donc \(\sqrt3 \notin \mathbb{Q}\). \(\blacksquare\)
Généralisation
Le même schéma marche pour \(\sqrt{n}\) dès que \(n\) n'est pas un carré parfait. Il ne marche pas tel quel pour \(\sqrt{4}\) — et c'est heureux, puisque \(\sqrt4 = 2\) est rationnel. Le lemme y échoue : \(4 \mid 2^2\) mais \(4 \nmid 2\).
Corrigé — Exercice 9
a) \(2^{16} = 65\,536\) valeurs, de \(0\) à \(65\,535\).
b) \(2^{64} = (2^{10})^{6} \times 2^{4} \approx (10^3)^6 \times 16 = 1{,}6 \times 10^{19}\). La valeur exacte est \(1{,}8447 \times 10^{19}\) : l'approximation donne le bon ordre de grandeur à 15 % près, ce qui suffit largement.
c) \(2^{128} = (2^{64})^2 \approx (1{,}8 \times 10^{19})^2 \approx 3{,}4 \times 10^{38}\).
Comparaison : \(\dfrac{1{,}3 \times 10^{50}}{3{,}4 \times 10^{38}} \approx 3{,}8 \times 10^{11}\).
Il y a donc environ 380 milliards de fois plus d'atomes sur Terre que d'adresses IPv6. La formule « une adresse IPv6 par atome » qu'on lit parfois est fausse de douze ordres de grandeur — l'affirmation correcte est qu'il y a assez d'adresses pour en attribuer environ \(10^{28}\) par mètre carré de surface terrestre.
Corrigé — Exercice 10
On veut montrer \(\big||x|-|y|\big| \leqslant |x-y|\), ce qui équivaut au double encadrement :
Inégalité de droite. On écrit \(x = (x-y) + y\) et on applique l'inégalité triangulaire :
donc \(|x| - |y| \leqslant |x-y|\).
Inégalité de gauche. Par symétrie, en écrivant \(y = (y-x) + x\) :
donc \(|y| - |x| \leqslant |x-y|\), c'est-à-dire \(-|x-y| \leqslant |x| - |y|\).
Les deux encadrements donnent le résultat. \(\blacksquare\)
À retenir
Cette inégalité s'appelle la deuxième inégalité triangulaire. Elle dit que la fonction valeur absolue ne peut pas amplifier les écarts, ce qui servira en analyse pour montrer qu'elle est continue.
Corrigé — Exercice 11
a) Par l'absurde. Supposons \(a + r \in \mathbb{Q}\). Alors \(r = (a+r) - a\) est une différence de deux rationnels, donc rationnel — ce qui contredit l'hypothèse. Donc \(a + r \notin \mathbb{Q}\). \(\square\)
b) Même schéma. Si \(ar \in \mathbb{Q}\) avec \(a \in \mathbb{Q}^*\), alors \(r = \dfrac{ar}{a}\) est un quotient de rationnels avec \(a \neq 0\), donc rationnel. Contradiction. \(\square\)
c) Somme : \(\sqrt2\) et \(-\sqrt2\) sont irrationnels (par a) appliqué avec \(a=0\)… plus simplement : si \(-\sqrt2\) était rationnel, \(\sqrt2\) le serait), et leur somme vaut \(0 \in \mathbb{Q}\).
Produit : \(\sqrt2 \times \sqrt2 = 2 \in \mathbb{Q}\).
Autre exemple moins évident : \((1+\sqrt2)\) et \((1-\sqrt2)\) sont irrationnels, leur produit vaut \(1 - 2 = -1\).
d) Un ensemble est dit stable par une opération si le résultat de l'opération entre deux de ses éléments reste dans l'ensemble. Le c) fournit deux contre-exemples : deux irrationnels dont la somme est rationnelle, deux irrationnels dont le produit est rationnel. L'ensemble \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) n'est donc stable ni par \(+\) ni par \(\times\). \(\blacksquare\)
Pourquoi c'est important
\(\mathbb{Q}\) est stable par les quatre opérations — on dit que c'est un corps. Les irrationnels, non. C'est la raison pour laquelle on travaille avec \(\mathbb{Q}\) ou \(\mathbb{R}\), jamais avec « les irrationnels » comme ensemble de travail.
Chapitre suivant : Calcul littéral.