01 · Fonctions : vocabulaire et outils¶
Intuition
Ce chapitre ne contient presque aucune idée neuve : il installe le vocabulaire et les réflexes qui rendront lisibles les dix chapitres suivants. Domaine de définition, parité, monotonie, majorant, bijection réciproque — ce sont les mots avec lesquels tout le reste sera écrit.
Il complète le chapitre Prérequis 04 en ajoutant ce qui manque au niveau lycée : les bornes, la monotonie stricte, et les fonctions réciproques.
1. Rappels et compléments¶
Une fonction \(f : D \to \mathbb{R}\) associe à chaque \(x \in D\) un unique réel \(f(x)\). On note \(D_f\) son ensemble de définition.
Les trois interdits qui déterminent \(D_f\) à ce stade du cours :
| Interdit | Condition |
|---|---|
| Division par zéro | dénominateur \(\neq 0\) |
| Racine d'un négatif | radicande \(\geqslant 0\) |
| Logarithme d'un négatif ou de zéro | argument \(> 0\) |
Exemple. \(f(x) = \dfrac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x}}\) exige \(x-1>0\) et \(4-x>0\) (strictement, car au dénominateur). Donc \(D_f = ]1\,;4[\).
2. Majorants, minorants, bornes¶
Définitions
\(f\) est majorée sur \(D\) s'il existe \(M\in\mathbb{R}\) tel que
\(f\) est minorée s'il existe \(m\) avec \(f(x)\geqslant m\) pour tout \(x\). \(f\) est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe \(K\) tel que \(|f(x)|\leqslant K\) sur \(D\).
L'ordre des quantificateurs, encore
\(\exists M, \forall x, f(x)\leqslant M\) — le majorant \(M\) ne dépend pas de \(x\).
Écrire \(\forall x, \exists M, f(x)\leqslant M\) serait vide de sens : il suffirait de prendre \(M = f(x)\).
Voir Prérequis 05.
Borne supérieure. Le plus petit des majorants, noté \(\sup_D f\). Elle existe toujours pour une fonction majorée (propriété fondamentale de \(\mathbb{R}\)), mais n'est pas toujours atteinte.
Exemple. \(f(x) = 1-\frac1x\) sur \([1;+\infty[\) : \(\sup f = 1\), mais \(f(x) < 1\) pour tout \(x\). Le sup n'est pas un maximum.
3. Monotonie¶
Définitions
Sur un intervalle \(I\), \(f\) est :
- croissante si \(x_1 \leqslant x_2 \implies f(x_1)\leqslant f(x_2)\) ;
- strictement croissante si \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\) ;
- décroissante, strictement décroissante : de même avec l'inégalité renversée ;
- monotone si elle est croissante ou décroissante sur \(I\).
La monotonie ne se recolle pas
\(x\mapsto \frac1x\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\), mais pas sur \(\mathbb{R}^*\) : \(-1 < 1\) et pourtant \(f(-1) = -1 < 1 = f(1)\).
Toujours préciser sur quel intervalle la monotonie est affirmée.
Composition et monotonie
| \(f\) | \(g\) | \(g\circ f\) |
|---|---|---|
| ↗ | ↗ | ↗ |
| ↗ | ↘ | ↘ |
| ↘ | ↗ | ↘ |
| ↘ | ↘ | ↗ |
« Règle des signes » : deux renversements se compensent.
4. Fonctions réciproques¶
Théorème de la bijection (admis ici, démontré au chapitre 02)
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\), qui est un intervalle.
La réciproque \(f^{-1}\) est alors continue, et de même sens de variation que \(f\).
Construction pratique : on résout \(y = f(x)\) en \(x\).
Exemple. \(f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}\) sur \(]-3;+\infty[\).
Donc \(f^{-1}(y) = \dfrac{3y+1}{2-y}\), définie pour \(y\neq2\).
Symétrie graphique
Les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la première bissectrice \(y = x\). C'est un moyen rapide de tracer \(f^{-1}\) sans calcul.
5. Périodicité¶
\(f\) est périodique de période \(T > 0\) si \(D_f\) est stable par translation de \(T\) et si
Conséquence pratique : on étudie \(f\) sur un intervalle de longueur \(T\) et on complète par translation. Combinée à la parité, cette réduction peut diviser le travail par 4.
Exemple type
\(x\mapsto\cos x\) est \(2\pi\)-périodique et paire. Il suffit de l'étudier sur \([0;\pi]\) pour la connaître partout.
6. Comparaison de fonctions¶
Position relative de deux courbes : on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\).
- \(f(x)-g(x) > 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
- \(f(x)-g(x)=0\) : les courbes se coupent.
Inégalités de référence — à connaître, elles servent en permanence :
Ces trois inégalités seront démontrées au chapitre 04 ; l'égalité n'a lieu qu'en \(x=0\) (ou \(x=1\) pour la deuxième).
Exemples traités¶
Exemple 1 — Domaine de définition
\(f(x) = \sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}\).
Il faut \(\dfrac{x-2}{x+1}\geqslant0\) et \(x\neq-1\).
Tableau de signes : le quotient est positif à l'extérieur de \([-1;2]\).
Notez le crochet fermé en 2 (le quotient y vaut 0, la racine est définie) et ouvert en \(-1\) (valeur interdite).
Exemple 2 — Monotonie par composition
Étudier les variations de \(f(x) = \sqrt{4-x^2}\) sur \([-2;2]\).
Posons \(u(x) = 4-x^2\) et \(v(t)=\sqrt t\).
- \(u\) est croissante sur \([-2;0]\), décroissante sur \([0;2]\) ;
- \(v\) est croissante sur \(\mathbb{R}^+\).
Par la règle de composition, \(f = v\circ u\) est croissante sur \([-2;0]\) et décroissante sur \([0;2]\).
Maximum en \(x=0\) : \(f(0) = 2\). Minimum aux bords : \(f(\pm2)=0\).
(La courbe est le demi-cercle supérieur de rayon 2.)
Exemple 3 — Bijection réciproque
Soit \(f(x) = x^2-4x+7\) sur \([2;+\infty[\).
Forme canonique : \(f(x) = (x-2)^2+3\).
Sur \([2;+\infty[\), \(x-2\geqslant0\) et \(t\mapsto t^2\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\) : \(f\) est strictement croissante. Son image est \([3;+\infty[\).
Réciproque : \(y = (x-2)^2+3\) donne \((x-2)^2 = y-3\), donc \(x-2 = \sqrt{y-3}\) (racine positive, car \(x\geqslant2\)).
Vérification : \(f^{-1}(f(5)) = f^{-1}(12) = 2+3 = 5\) ✓
Exemple 4 — Réduction par parité et périodicité
Soit \(f(x) = \cos(2x) + \cos x\).
Périodicité : \(\cos(2x)\) est \(\pi\)-périodique, \(\cos x\) est \(2\pi\)-périodique. La somme est \(2\pi\)-périodique (le PPCM des périodes).
Parité : \(f(-x) = \cos(-2x)+\cos(-x) = \cos(2x)+\cos x = f(x)\). Paire.
Conclusion : il suffit d'étudier \(f\) sur \([0;\pi]\) — la moitié d'une période — puis de compléter par symétrie et translation.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Racine au dénominateur avec \(\geqslant\) | Inégalité stricte |
| « \(f\) décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) » pour \(1/x\) | Sur chaque intervalle |
| Confondre sup et max | Le sup peut ne pas être atteint |
| \(\exists M\) après \(\forall x\) | L'ordre change tout |
| Oublier la condition sur \(D_f\) pour la parité | Domaine symétrique requis |
Exercices¶
★ Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition.
a) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}\) b) \(g(x)=\sqrt{2x-6}\) c) \(h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}\) d) \(k(x)=\ln(x^2-1)\)
★ Exercice 2. Étudier la parité.
a) \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}\) b) \(g(x)=\cos x + x^2\) c) \(h(x)=x+\sin x\) d) \(k(x)=e^x+e^{-x}\)
★★ Exercice 3. Déterminer les variations par composition.
a) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\) b) \(g(x)=\sqrt{x^2-4}\) sur \([2;+\infty[\) c) \(h(x) = (3-x)^3\) sur \(\mathbb{R}\)
★★ Exercice 4. Montrer que \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\) est une bijection de \(]-1;+\infty[\) sur \(]-\infty;1[\), et déterminer \(f^{-1}\).
★★ Exercice 5. Soit \(f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\).
a) Montrer que \(f\) est impaire. b) Montrer que \(|f(x)|\leqslant1\) pour tout \(x\). Indication : comparez \(2|x|\) et \(1+x^2\). c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on égalité ?
★★★ Exercice 6. Déterminer la période de chacune, puis l'intervalle d'étude minimal en tenant compte de la parité.
a) \(f(x)=\sin(3x)\) b) \(g(x)=\cos^2 x\) c) \(h(x)=\sin x + \sin(2x)\)
★★★ Exercice 7. Soit \(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) croissante et telle que \(f\circ f = \operatorname{id}\).
Montrer que \(f = \operatorname{id}\).
Indication : raisonnez par l'absurde en supposant \(f(a) > a\) pour un certain \(a\).
★★★ Exercice 8. Étudier la position relative des courbes de \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x^3\) sur \(\mathbb{R}\).
Généraliser : comparer \(x^n\) et \(x^{n+1}\) selon la position de \(x\).
★★★★ Exercice 9. Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\), bornée, telle que pour tous \(x,y\) :
a) Calculer \(f(0)\) (deux valeurs possibles). b) Montrer que si \(f(0)=0\) alors \(f\equiv0\). c) On suppose \(f(0)=1\). Montrer que \(f\) est paire. d) Montrer que \(|f(x)|\leqslant1\) pour tout \(x\). Indication : supposez \(|f(a)|>1\) et construisez une suite non bornée.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. Une fonction de coût d'un algorithme est \(C(n) = 3n\log_2 n + 5n + 100\).
a) Montrer que \(C\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\). b) Est-elle majorée ? Que cela signifie-t-il pratiquement ? c) On dispose d'un budget de \(10^9\) opérations. En posant \(D(n) = C(n)-10^9\), justifier qu'il existe un unique \(n_0\) tel que \(C(n_0)=10^9\), sans le calculer. d) Encadrer \(n_0\) entre deux puissances de 10 par tâtonnement.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(x^2-4\neq0\) : \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).
b) \(2x-6\geqslant0\) : \(D_g = [3;+\infty[\).
c) \(9-x^2 > 0\) (strictement, racine au dénominateur) : \(D_h = ]-3;3[\).
d) \(x^2-1>0\) : \(D_k = ]-\infty;-1[\ \cup\ ]1;+\infty[\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(f(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2+1} = -f(x)\) : impaire.
b) \(g(-x)=\cos x + x^2 = g(x)\) : paire.
c) \(h(-x) = -x-\sin x = -h(x)\) : impaire.
d) \(k(-x) = e^{-x}+e^{x} = k(x)\) : paire. (C'est \(2\cosh x\).)
Corrigé — Exercice 3
a) \(u(x)=x^2+1\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^-\), croissante sur \(\mathbb{R}^+\), et à valeurs \(\geqslant1>0\). \(v(t)=\frac1t\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
Donc \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}^-\) et décroissante sur \(\mathbb{R}^+\). Maximum \(f(0)=1\).
b) \(u(x)=x^2-4\) est croissante sur \([2;+\infty[\) et positive ; \(v=\sqrt{\ }\) est croissante. Donc \(g\) est croissante.
c) \(u(x)=3-x\) est décroissante ; \(v(t)=t^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). Donc \(h\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Corrigé — Exercice 4
Injectivité et surjectivité par résolution. Pour \(y\) donné :
Cette expression est définie pour \(y\neq1\) et donne un unique \(x\).
Reste à vérifier que \(x > -1\) :
qui est \(>0\) si et seulement si \(y<1\) ✓
Donc \(f\) est une bijection de \(]-1;+\infty[\) sur \(]-\infty;1[\), et
Vérification : \(f(1) = \frac12\) et \(f^{-1}(\frac12) = \frac{1/2}{1/2} = 1\) ✓
Corrigé — Exercice 5
a) \(f(-x) = \dfrac{-2x}{1+x^2} = -f(x)\) ✓
b) Il s'agit de montrer \(2|x| \leqslant 1+x^2\), c'est-à-dire
ce qui est toujours vrai. Comme \(1+x^2>0\) :
\(\blacksquare\)
c) Égalité si et seulement si \((|x|-1)^2=0\), soit \(|x|=1\), soit \(x=\pm1\).
Vérification : \(f(1) = \frac22 = 1\) ✓ et \(f(-1) = -1\) ✓
Info
Cette fonction est \(x\mapsto \sin(2\arctan x)\), et l'inégalité \(|f|\leqslant1\) n'est autre que \(|\sin|\leqslant1\). C'est aussi la paramétrisation rationnelle du cercle utilisée pour les triplets pythagoriciens.
Corrigé — Exercice 6
a) \(\sin(3x)\) : période \(\dfrac{2\pi}{3}\). Impaire, donc étude sur \(\left[0;\dfrac\pi3\right]\) suffit (demi-période).
b) \(\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\) : période \(\pi\). Paire, donc étude sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right]\).
c) \(\sin x\) a pour période \(2\pi\), \(\sin 2x\) a pour période \(\pi\). La somme a pour période le PPCM : \(2\pi\). Impaire, donc étude sur \([0;\pi]\).
Corrigé — Exercice 7
Supposons qu'il existe \(a\) tel que \(f(a) > a\).
Comme \(f\) est croissante, en appliquant \(f\) à l'inégalité \(a < f(a)\) :
(la dernière égalité vient de \(f\circ f = \operatorname{id}\)).
On obtient donc \(a < f(a) \leqslant a\) : contradiction.
Symétriquement, supposer \(f(a) < a\) donne \(f(a)\geqslant f(f(a)) = a\), donc \(a > f(a) \geqslant a\) : contradiction également.
Donc \(f(a)=a\) pour tout \(a\), soit \(f = \operatorname{id}\). \(\blacksquare\)
L'hypothèse de croissance est essentielle
\(f(x) = -x\) vérifie \(f\circ f = \operatorname{id}\) et n'est pas l'identité — mais elle est décroissante.
Plus généralement, il existe une infinité d'involutions décroissantes : \(x\mapsto \frac1x\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\), \(x\mapsto c-x\), etc.
Corrigé — Exercice 8
On étudie le signe de \(g(x)-f(x) = x^3-x^2 = x^2(x-1)\).
\(x^2\geqslant0\) toujours, donc le signe est celui de \(x-1\) :
| Zone | Signe | Position |
|---|---|---|
| \(x<1\), \(x\neq0\) | \(<0\) | \(x^3 < x^2\) |
| \(x\in\{0,1\}\) | \(=0\) | Courbes sécantes |
| \(x>1\) | \(>0\) | \(x^3>x^2\) |
Généralisation. \(x^{n+1}-x^n = x^n(x-1)\).
- Pour \(x>1\) : \(x^{n+1} > x^n\) — les puissances croissent.
- Pour \(0<x<1\) : \(x^n>0\) et \(x-1<0\), donc \(x^{n+1}<x^n\) — les puissances décroissent vers 0.
- Pour \(x<0\) : le signe de \(x^n\) alterne, celui de \(x-1\) est négatif ; les puissances alternent en signe.
Le fait à retenir
Sur \(]0;1[\), élever à une puissance plus grande diminue le résultat. C'est contre-intuitif au début et cela explique pourquoi \(x^n\to0\) quand \(|x|<1\) — résultat central pour les séries géométriques et pour la convergence de la méthode de la puissance vue au chapitre Algèbre 09.
Corrigé — Exercice 9
a) Avec \(x=y=0\) : \(f(0)+f(0) = 2f(0)^2\), soit \(2f(0) = 2f(0)^2\), soit \(f(0)\big(f(0)-1\big)=0\).
Donc \(f(0)=0\) ou \(f(0)=1\).
b) Si \(f(0)=0\), prenons \(y=0\) :
donc \(f(x)=0\) pour tout \(x\). \(\blacksquare\)
c) Prenons \(x=0\) :
donc \(f(-y) = f(y)\) : \(f\) est paire. \(\blacksquare\)
d) Supposons qu'il existe \(a\) avec \(|f(a)| > 1\).
Prenons \(x = y = a\) :
Posons \(u_n = f(2^n a)\). On a \(u_0 = f(a)\) et \(u_{n+1} = 2u_n^2 - 1\).
Montrons par récurrence que \(|u_n|\) tend vers \(+\infty\). Posons \(|u_0| = 1+\varepsilon\) avec \(\varepsilon>0\). Alors
Par récurrence, \(|u_n| \geqslant 1 + 4^n\varepsilon\), qui tend vers \(+\infty\).
Cela contredit l'hypothèse que \(f\) est bornée. Donc \(|f(x)|\leqslant1\) pour tout \(x\). \(\blacksquare\)
De quelle fonction s'agit-il
L'équation \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\) est l'équation fonctionnelle de d'Alembert. Ses solutions continues bornées sont exactement les \(f(x)=\cos(\lambda x)\) — et l'identité qu'on a utilisée, \(f(2a) = 2f(a)^2-1\), n'est autre que \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\).
La récurrence \(u_{n+1}=2u_n^2-1\) est celle des polynômes de Tchebychev.
Corrigé — Exercice 10
a) \(C(n) = 3n\log_2 n + 5n + 100\).
Sur \([1;+\infty[\) :
- \(n\mapsto n\) est strictement croissante et positive ;
- \(n\mapsto\log_2 n\) est croissante et \(\geqslant0\) ;
- leur produit \(n\log_2 n\) est donc croissant (produit de fonctions positives croissantes) ;
- la somme de fonctions croissantes, dont une strictement (\(5n\)), est strictement croissante.
\(C\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\). \(\blacksquare\)
b) Non majorée : \(C(n)\geqslant 5n \to +\infty\).
Signification pratique : quelle que soit la puissance de la machine, il existe une taille d'entrée que l'algorithme ne pourra pas traiter dans le temps imparti. C'est vrai de tout algorithme dont le coût tend vers l'infini — c'est-à-dire de tous, sauf ceux en \(O(1)\).
c) \(D(n) = C(n)-10^9\) est continue et strictement croissante sur \([1;+\infty[\), avec
Par le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 02) appliqué à une fonction continue strictement monotone, \(D\) s'annule une fois et une seule. \(\blacksquare\)
d) Encadrement par tâtonnement.
| \(n\) | \(\log_2 n\) | \(C(n)\) |
|---|---|---|
| \(10^6\) | \(\approx19{,}93\) | \(3\times10^6\times19{,}93 + 5\times10^6 \approx 6{,}48\times10^{7}\) |
| \(10^7\) | \(\approx23{,}25\) | \(\approx 6{,}98\times10^{8}\) |
| \(10^8\) | \(\approx26{,}58\) | \(\approx 8{,}47\times10^{9}\) |
Donc \(10^7 < n_0 < 10^8\).
Affinons : pour \(n = 1{,}3\times10^7\), \(\log_2 n \approx 23{,}63\), d'où \(C \approx 3\times1{,}3\times10^7\times23{,}63 + 6{,}5\times10^7 \approx 9{,}87\times10^8\). Encore un peu en dessous.
Pour \(n = 1{,}35\times10^7\) : \(C\approx 1{,}03\times10^9\). C'est dépassé.
Ce que dit ce résultat
Un algorithme en \(O(n\log n)\) traite treize millions d'éléments dans un milliard d'opérations. Un algorithme en \(O(n^2)\) n'en traiterait que \(\sqrt{10^9}\approx 31\,600\) — quatre cents fois moins.
C'est le genre de comparaison chiffrée que demande le module de modélisation.
Chapitre suivant : Limites et continuité.