09 · Intégrales impropres

Intuition

Jusqu'ici, on intégrait une fonction continue sur un segment \([a;b]\) : tout est fini, tout va bien.

Deux situations cassent ce cadre : l'intervalle est infini (\(\int_1^{+\infty}\)), ou la fonction explose à une borne (\(\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x}\)).

Dans les deux cas, la question devient : l'aire est-elle finie ? Et la réponse est surprenante — un domaine infiniment long peut avoir une aire finie, à condition que la fonction décroisse assez vite.

C'est exactement ce qui rendra possibles les lois de probabilité continues : la densité de la loi normale s'étend sur tout \(\mathbb{R}\), et son intégrale vaut pourtant 1.

1. Définition

Borne infinie

Si \(f\) est continue sur \([a;+\infty[\), on pose

\[ \int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{X\to+\infty}\int_a^{X}f(x)\,\mathrm{d}x \]

L'intégrale converge si cette limite existe et est finie ; elle diverge sinon.

Borne singulière

Si \(f\) est continue sur \(]a;b]\) mais non définie (ou non bornée) en \(a\) :

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon\to a^+}\int_{\varepsilon}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \]

Deux singularités = deux limites indépendantes

Pour \(\int_{-\infty}^{+\infty}\), on coupe en un point quelconque :

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f = \int_{-\infty}^{c}f + \int_c^{+\infty}f \]

et l'on exige que chacune converge. On ne calcule jamais \(\lim_{X\to+\infty}\int_{-X}^{X}f\) — cette limite peut exister alors que l'intégrale diverge.

Contre-exemple : \(\int_{-X}^{X}x\,\mathrm{d}x = 0\) pour tout \(X\), mais \(\int_0^{+\infty}x\,\mathrm{d}x = +\infty\). L'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x\) diverge.

(La limite symétrique s'appelle la valeur principale de Cauchy ; c'est un objet différent, et plus faible.)

2. Les intégrales de référence

Intégrales de Riemann

En \(+\infty\) :

\[ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} \quad\text{converge}\iff \boxed{\alpha > 1} \]

En \(0\) :

\[ \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} \quad\text{converge}\iff \boxed{\alpha < 1} \]

Démonstration

Pour \(\alpha\neq1\) :

\[ \int_1^X x^{-\alpha}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^X = \frac{X^{1-\alpha}-1}{1-\alpha} \]

• Si \(\alpha>1\), alors \(1-\alpha<0\) et \(X^{1-\alpha}\to0\) : la limite vaut \(\frac{1}{\alpha-1}\), finie.
• Si \(\alpha<1\), alors \(X^{1-\alpha}\to+\infty\) : divergence.

Pour \(\alpha=1\) : \(\int_1^X\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln X\to+\infty\), divergence.

Le cas en 0 se traite symétriquement. \(\blacksquare\)

Le moyen de retenir

\(\alpha=1\) est la frontière, et elle diverge des deux côtés.

En \(+\infty\), il faut décroître plus vite que \(\frac1x\). En \(0\), il faut exploser moins vite que \(\frac1x\).

Les deux conditions sont incompatibles : aucune puissance ne rend \(\int_0^{+\infty}x^{-\alpha}\mathrm{d}x\) convergente.

Autres références utiles.

\[ \int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda} \quad (\lambda>0) \qquad\text{converge} \]

\[ \int_0^1\ln x\,\mathrm{d}x = -1 \qquad\text{converge} \]

\[ \int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^\beta} \quad\text{converge}\iff\beta>1 \]

3. Critères de convergence

Quand on ne sait pas calculer l'intégrale, on compare.

Critère de comparaison (fonctions positives)

Soient \(0\leqslant f\leqslant g\) sur \([a;+\infty[\).

• Si \(\int_a^{+\infty}g\) converge, alors \(\int_a^{+\infty}f\) converge.
• Si \(\int_a^{+\infty}f\) diverge, alors \(\int_a^{+\infty}g\) diverge.

Critère d'équivalence (fonctions positives)

Si \(f\sim g\) au voisinage de la borne problématique, et si \(f,g\geqslant0\), alors les deux intégrales sont de même nature.

C'est le critère le plus efficace en pratique : on remplace la fonction par son comportement dominant et on compare à une intégrale de Riemann.

Les hypothèses de positivité sont indispensables

Sans elles, les critères sont faux. Pour les fonctions de signe variable, on étudie la convergence absolue : si \(\int|f|\) converge, alors \(\int f\) converge.

La réciproque est fausse — \(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\) converge alors que \(\int_1^{+\infty}\frac{|\sin x|}{x}\mathrm{d}x\) diverge. On parle alors de semi-convergence.

4. Méthode

Le protocole

1. Repérer les points problématiques : bornes infinies, points où \(f\) n'est pas définie ou explose.
2. Découper l'intervalle pour n'avoir qu'un problème par morceau.
3. Pour chaque morceau : déterminer un équivalent au voisinage du point problématique.
4. Comparer à une intégrale de Riemann.
5. Conclure. Si convergence et qu'on sait calculer, calculer.

Une fonction continue en un point n'y pose aucun problème

\(\int_0^1\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\) est faussement impropre : \(\frac{\sin x}{x}\to1\) en 0, la fonction se prolonge par continuité, et l'intégrale est parfaitement ordinaire.

Toujours vérifier si la singularité est réelle avant de sortir l'artillerie.

Exemples traités

Exemple 1 — Calcul direct

\[ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \lim_{X\to+\infty}\left[-\frac1x\right]_1^X = \lim_{X\to+\infty}\left(1-\frac1X\right) = 1 \]

Converge, et vaut 1.

Interprétation : le domaine sous \(\frac{1}{x^2}\) à droite de 1 est infiniment long et pourtant d'aire 1.

Exemple 2 — Divergence logarithmique

\[ \int_1^{X}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln X \xrightarrow[X\to+\infty]{} +\infty \]

Diverge — mais très lentement : pour que l'aire atteigne 10, il faut aller jusqu'à \(X = e^{10}\approx22\,026\). Pour atteindre 100, jusqu'à \(e^{100}\approx2{,}7\times10^{43}\).

La corne de Gabriel

Le solide obtenu en faisant tourner \(\frac1x\) autour de l'axe des abscisses pour \(x\geqslant1\) a un volume fini (\(\pi\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \pi\)) et une surface infinie (proportionnelle à \(\int\frac{\mathrm{d}x}{x}\)).

On pourrait le remplir de peinture, mais pas en peindre l'intérieur. Le paradoxe se dissout quand on remarque que « peindre » suppose une couche d'épaisseur constante, ce que la corne, qui s'affine indéfiniment, ne permet pas.

Exemple 3 — Singularité en 0

\[ \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x} \]

Ici \(\alpha=\frac12 < 1\) : converge d'après le critère de Riemann en 0.

\[ = \lim_{\varepsilon\to0^+}\big[2\sqrt x\big]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon\to0^+}\big(2-2\sqrt\varepsilon\big) = 2 \]

Exemple 4 — Par équivalence

Nature de \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x+3}{x^3+2x+1}\,\mathrm{d}x\).

En \(+\infty\), on garde les termes dominants :

\[ \frac{x+3}{x^3+2x+1} \sim \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2} \]

La fonction est positive sur \([1;+\infty[\), et \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\) converge (\(\alpha=2>1\)).

L'intégrale converge.

Exemple 5 — Découpage

Nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}\).

Deux problèmes : la singularité en 0 et la borne infinie. On coupe en 1.

En 0 : \(\frac{1}{\sqrt x(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt x}\), qui est intégrable (\(\alpha=\frac12<1\)) ✓

En \(+\infty\) : \(\frac{1}{\sqrt x(1+x)}\sim\frac{1}{x^{3/2}}\), intégrable (\(\alpha=\frac32>1\)) ✓

L'intégrale converge.

Calcul. Posons \(t=\sqrt x\), \(x=t^2\), \(\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t\) :

\[ \int_0^{+\infty}\frac{2t\,\mathrm{d}t}{t(1+t^2)} = 2\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = 2\big[\arctan t\big]_0^{+\infty} = 2\cdot\frac\pi2 = \pi \]

Exemple 6 — Une intégrale de probabilité

Montrer que \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) sur \([0;+\infty[\) (avec \(\lambda>0\)) est bien une densité de probabilité.

Il faut \(f\geqslant0\) — évident — et \(\int_0^{+\infty}f = 1\).

\[ \int_0^{X}\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \big[-e^{-\lambda x}\big]_0^X = 1-e^{-\lambda X} \xrightarrow[X\to+\infty]{} 1 \]

✓

C'est la loi exponentielle, qu'on retrouvera en Probabilités 09.

Erreurs fréquentes

Erreur	Correction
Écrire \([F]_a^{+\infty}\) sans passer par la limite	La limite doit être justifiée
Utiliser \(\lim_{X\to\infty}\int_{-X}^{X}\)	Découper et traiter séparément
Appliquer le critère d'équivalence à une fonction de signe variable	Positivité requise
Confondre \(\alpha>1\) (en \(\infty\)) et \(\alpha<1\) (en 0)	Les deux sens sont opposés
Traiter comme impropre une singularité éliminable	Vérifier la limite d'abord
Conclure de \(f\to0\) que \(\int f\) converge	Faux — \(\frac1x\) tend vers 0

Exercices

★ Exercice 1. Étudier la nature et calculer si convergence.

a) \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^3}\) b) \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x}\) c) \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}}\) d) \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,\mathrm{d}x\)

★★ Exercice 2. Déterminer la nature.

a) \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x}\) b) \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x^2+1}{x^4-x+2}\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x}\) d) \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x\)

★★ Exercice 3. Calculer.

a) \(\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\) c) \(\displaystyle\int_0^1\ln x\,\mathrm{d}x\)

★★★ Exercice 4. Déterminer la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}\) pour \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Expliquer pourquoi aucune valeur de \(\alpha\) ne convient.

★★★ Exercice 5. Soit \(\Gamma(s)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t\).

a) Montrer que l'intégrale converge pour \(s>0\). b) Calculer \(\Gamma(1)\). c) Par IPP, montrer que \(\Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s)\). d) En déduire \(\Gamma(n)=(n-1)!\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).

★★★ Exercice 6. Étudier la nature de \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}\,\mathrm{d}x\).

Indication : la fonction change de signe ; étudiez la convergence absolue.

★★★★ Exercice 7. On admet que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt\pi\).

a) Justifier la convergence. Indication : comparez \(e^{-x^2}\) à \(e^{-x}\) pour \(x\geqslant1\). b) En déduire \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\). c) Montrer que

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \]

est une densité de probabilité.

★★★★ Exercice 8. Comparer série et intégrale.

a) Montrer que pour \(f\) décroissante positive sur \([1;+\infty[\) :

\[ \int_1^{n+1}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \sum_{k=1}^{n}f(k) \leqslant f(1)+\int_1^{n}f(x)\,\mathrm{d}x \]

b) En déduire la nature de \(\sum\frac{1}{k^\alpha}\) selon \(\alpha\). c) En déduire un encadrement de \(\sum_{k=1}^{n}\frac1k\) et retrouver le fait que la série harmonique diverge comme \(\ln n\).

★★★★ Exercice 9 — lien informatique. La complexité en moyenne d'un algorithme se calcule souvent par une intégrale impropre.

a) La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Calculer sa durée de vie moyenne \(\int_0^{+\infty}x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x\). b) Un serveur reçoit des requêtes dont le temps de traitement suit une loi de Pareto de densité \(f(x)=\frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}\) sur \([1;+\infty[\). Pour quelles valeurs de \(\alpha\) le temps moyen est-il fini ? c) Pour quelles valeurs la variance est-elle finie ? d) Que signifie concrètement, pour le dimensionnement d'un serveur, un temps moyen infini ?

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Corrigés

Corrigé — Exercice 1

a) \(\alpha=3>1\) : converge.

\[ \int_1^{X}x^{-3}\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^X = \frac12-\frac{1}{2X^2}\to\frac12 \]

b) \(\alpha=\frac12<1\) : diverge. (\(\int_1^X x^{-1/2} = 2\sqrt X - 2\to+\infty\).)

c) En 0, \(\alpha=\frac13<1\) : converge.

\[ \int_\varepsilon^1 x^{-1/3}\,\mathrm{d}x = \left[\frac32 x^{2/3}\right]_\varepsilon^1 \to \frac32 \]

d) Converge : \(\int_0^X e^{-2x} = \frac{1-e^{-2X}}{2}\to\frac12\).

Corrigé — Exercice 2

a) \(\frac{1}{x^2+x}\sim\frac{1}{x^2}\) en \(+\infty\), positive. \(\alpha=2>1\) : converge.

(Calcul possible par éléments simples : \(\frac{1}{x(x+1)} = \frac1x-\frac{1}{x+1}\), d'où \(\int_1^{+\infty} = \big[\ln\frac{x}{x+1}\big]_1^{+\infty} = 0-\ln\frac12 = \ln2\).)

b) \(\frac{x^2+1}{x^4-x+2}\sim\frac{x^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}\), positive au voisinage de \(+\infty\). \(\alpha=2>1\) : converge.

c) Le problème est en 0 cette fois : \(\frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x(x+1)}\sim\frac1x\) en 0. \(\alpha=1\) : diverge.

d) Comparons : pour \(x\) grand, \(\ln x \leqslant x^{1/2}\) (croissances comparées), donc

\[ \frac{\ln x}{x^2}\leqslant\frac{1}{x^{3/2}} \]

à partir d'un certain rang, et \(\alpha=\frac32>1\) : converge.

(Calcul par IPP : \(\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x = 1\).)

Corrigé — Exercice 3

a) IPP : \(v=x\), \(u'=e^{-x}\), \(u=-e^{-x}\).

\[ \int_0^X xe^{-x}\,\mathrm{d}x = \big[-xe^{-x}\big]_0^X + \int_0^X e^{-x}\,\mathrm{d}x = -Xe^{-X} + 1 - e^{-X} \]

Par croissances comparées, \(Xe^{-X}\to0\), donc l'intégrale vaut 1.

b) \(\big[\arctan x\big]_0^{X}\to\dfrac\pi2\).

c) IPP : \(v=\ln x\), \(u'=1\), \(u=x\).

\[ \int_\varepsilon^1\ln x\,\mathrm{d}x = \big[x\ln x - x\big]_\varepsilon^1 = (0-1)-(\varepsilon\ln\varepsilon - \varepsilon) \]

Or \(\varepsilon\ln\varepsilon\to0\) (croissances comparées en 0), donc

\[ \int_0^1\ln x\,\mathrm{d}x = -1 \]

Info

L'intégrale converge alors que \(\ln x\to-\infty\) en 0. La divergence de la fonction est logarithmique, donc trop lente pour empêcher la convergence.

Corrigé — Exercice 4

Découpons en 1 :

\[ \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} = \underbrace{\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}}_{(A)} + \underbrace{\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}}_{(B)} \]

• \((A)\) converge si et seulement si \(\alpha<1\) ;
• \((B)\) converge si et seulement si \(\alpha>1\).

Les deux conditions sont incompatibles : aucun réel \(\alpha\) ne vérifie à la fois \(\alpha<1\) et \(\alpha>1\).

L'intégrale diverge pour tout \(\alpha\). \(\blacksquare\)

Pourquoi c'est instructif

Une fonction puissance ne peut pas être à la fois assez douce en 0 et assez décroissante en \(+\infty\). Pour obtenir une intégrale convergente sur \(]0;+\infty[\), il faut changer de comportement entre les deux bouts — c'est exactement ce que fait la fonction \(\Gamma\) de l'exercice suivant, dont l'intégrande \(t^{s-1}e^{-t}\) est une puissance près de 0 et une exponentielle près de l'infini.

Corrigé — Exercice 5

a) Découpons en 1.

En 0 : \(t^{s-1}e^{-t}\sim t^{s-1} = \frac{1}{t^{1-s}}\). C'est une intégrale de Riemann en 0 avec \(\alpha = 1-s\) ; elle converge ssi \(1-s<1\), c'est-à-dire \(s>0\) ✓

En \(+\infty\) : par croissances comparées, \(t^{s-1}e^{-t} = o\left(\frac{1}{t^2}\right)\) pour tout \(s\), donc

\[ 0\leqslant t^{s-1}e^{-t}\leqslant\frac{1}{t^2} \]

à partir d'un certain rang. Converge ✓

b) \(\Gamma(1) = \int_0^{+\infty}e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1\).

c) IPP avec \(v=t^s\), \(u'=e^{-t}\), \(u=-e^{-t}\) :

\[ \Gamma(s+1) = \int_0^{+\infty}t^{s}e^{-t}\,\mathrm{d}t = \big[-t^se^{-t}\big]_0^{+\infty} + s\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t \]

Le crochet est nul : en 0 car \(s>0\), en \(+\infty\) par croissances comparées.

\[ \Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s) \quad\blacksquare \]

d) Par récurrence. \(\Gamma(1)=1=0!\) ✓

Si \(\Gamma(n)=(n-1)!\), alors \(\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) = n(n-1)! = n!\) ✓ \(\blacksquare\)

La fonction Gamma

\(\Gamma\) prolonge la factorielle aux réels (et aux complexes) non entiers. On a par exemple \(\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi\), ce qui équivaut à l'intégrale de Gauss de l'exercice 7.

Elle apparaît en probabilités (lois gamma, khi-deux, Student), en combinatoire analytique, et dans l'analyse de la complexité en moyenne.

Corrigé — Exercice 6

La fonction \(\frac{\sin x}{x^2}\) change de signe : on ne peut pas appliquer directement le critère d'équivalence.

Convergence absolue. Pour tout \(x\geqslant1\) :

\[ \left|\frac{\sin x}{x^2}\right| \leqslant \frac{1}{x^2} \]

Or \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\) converge (\(\alpha=2>1\)). Par comparaison, \(\int_1^{+\infty}\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|\mathrm{d}x\) converge.

L'intégrale converge absolument, donc converge. \(\blacksquare\)

Le contraste avec \(\frac{\sin x}{x}\)

\(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\) converge aussi, mais pas absolument : \(\int_1^{+\infty}\frac{|\sin x|}{x}\mathrm{d}x\) diverge, parce que \(|\sin x|\) a une valeur moyenne \(\frac2\pi>0\) et que \(\int\frac{\mathrm{d}x}{x}\) diverge.

La convergence de \(\int\frac{\sin x}{x}\) vient des compensations entre arches positives et négatives — c'est une semi-convergence. Sa valeur est \(\frac\pi2\) (intégrale de Dirichlet).

Corrigé — Exercice 7

a) La fonction \(e^{-x^2}\) est paire et positive ; il suffit d'étudier \(\int_0^{+\infty}\).

Sur \([0;1]\), elle est continue : pas de problème.

Sur \([1;+\infty[\) : \(x\geqslant1\) donne \(x^2\geqslant x\), donc \(-x^2\leqslant-x\), donc par croissance de \(\exp\) :

\[ 0 < e^{-x^2} \leqslant e^{-x} \]

Comme \(\int_1^{+\infty}e^{-x}\mathrm{d}x = e^{-1}\) converge, la comparaison donne la convergence. \(\blacksquare\)

b) Posons \(x = \frac{t}{\sqrt2}\), donc \(\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt2}\) et \(x^2 = \frac{t^2}{2}\) :

\[ \sqrt\pi = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}\,\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt2} \]

d'où

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{2\pi} \]

c) \(f\) est continue et strictement positive sur \(\mathbb{R}\), et

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}} = 1 \]

\(f\) est bien une densité de probabilité — c'est celle de la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\). \(\blacksquare\)

Le facteur \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) démystifié

La constante bizarre qui apparaît dans la loi normale n'est rien d'autre que le facteur de normalisation qui force l'intégrale à valoir 1. Elle vient entièrement de l'intégrale de Gauss.

Corrigé — Exercice 8

a) \(f\) étant décroissante, pour \(k\leqslant x\leqslant k+1\) :

\[ f(k+1) \leqslant f(x) \leqslant f(k) \]

En intégrant sur \([k;k+1]\) (de longueur 1) :

\[ f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant f(k) \]

Somme de droite, pour \(k=1\) à \(n\) :

\[ \int_1^{n+1}f \leqslant \sum_{k=1}^{n}f(k) \]

Somme de gauche, pour \(k=1\) à \(n-1\) :

\[ \sum_{k=2}^{n}f(k) \leqslant \int_1^{n}f \]

d'où, en ajoutant \(f(1)\) :

\[ \sum_{k=1}^{n}f(k) \leqslant f(1)+\int_1^n f \]

\(\blacksquare\)

b) Appliquons à \(f(x)=x^{-\alpha}\), décroissante positive pour \(\alpha>0\).

• Si \(\int_1^{+\infty}f\) converge (\(\alpha>1\)), la majoration montre que les sommes partielles sont bornées ; croissantes et bornées, elles convergent : \(\sum\frac{1}{k^\alpha}\) converge.
• Si \(\int_1^{+\infty}f\) diverge (\(\alpha\leqslant1\)), la minoration montre que les sommes partielles tendent vers \(+\infty\) : la série diverge.

(Pour \(\alpha\leqslant0\), le terme général ne tend pas vers 0 : divergence évidente.)

Conclusion : \(\sum\frac{1}{k^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha>1\) — même seuil que l'intégrale.

c) Avec \(\alpha=1\) et \(\int_1^n\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln n\) :

\[ \ln(n+1) \leqslant \sum_{k=1}^n\frac1k \leqslant 1+\ln n \]

Les deux bornes sont équivalentes à \(\ln n\), donc

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac1k \sim \ln n \]

Vérification \(n=100\) : \(\ln 101 = 4{,}615\) et \(1+\ln 100 = 5{,}605\). La valeur réelle est \(5{,}187\) ✓ (dans l'encadrement).

La constante d'Euler-Mascheroni

La différence \(\sum_{k=1}^n\frac1k - \ln n\) converge vers \(\gamma \approx 0{,}5772\). C'est l'une des constantes les plus mystérieuses des mathématiques : on ignore encore si elle est irrationnelle.

Corrigé — Exercice 9

a) C'est l'exercice 3a généralisé. IPP :

\[ \int_0^{+\infty}x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \big[-xe^{-\lambda x}\big]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 0 + \frac{1}{\lambda} \]

Durée de vie moyenne \(= \dfrac{1}{\lambda}\).

b) Temps moyen :

\[ \mathbb{E}[X] = \int_1^{+\infty}x\cdot\frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}\,\mathrm{d}x = \alpha\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{\alpha}} \]

C'est une intégrale de Riemann en \(+\infty\) : elle converge ssi \(\alpha>1\), et vaut alors

\[ \mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha-1} \]

c) Variance : il faut d'abord \(\mathbb{E}[X^2]\).

\[ \mathbb{E}[X^2] = \alpha\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{\alpha-1}} \]

converge ssi \(\alpha-1>1\), soit \(\alpha>2\).

\(\alpha\)	Moyenne	Variance
\(\alpha\leqslant1\)	infinie	infinie
\(1<\alpha\leqslant2\)	finie	infinie
\(\alpha>2\)	finie	finie

d) Interprétation opérationnelle.

Un temps moyen infini ne signifie pas que chaque requête est lente — la plupart sont même très rapides. Il signifie que la moyenne empirique ne se stabilise jamais : plus on observe longtemps, plus on rencontre de requêtes gigantesques, et plus la moyenne grimpe.

Conséquences très concrètes :

1. Dimensionner sur la moyenne est impossible — il n'y en a pas. On dimensionne sur des quantiles (p99, p999).
2. La loi des grands nombres ne s'applique pas : mesurer plus longtemps ne donne pas une meilleure estimation.
3. Le cas \(1<\alpha\leqslant2\) est le plus traître : la moyenne existe, mais la variance est infinie, donc les intervalles de confiance fondés sur le théorème central limite sont invalides.

Les temps de réponse réels de serveurs web suivent typiquement des lois à queue lourde avec \(\alpha\) entre 1 et 2 — d'où l'usage universel des percentiles plutôt que des moyennes dans le suivi de performance.

Ce que l'analyse apporte

Le choix « moyenne ou percentile ? » n'est pas une question de goût : c'est la convergence d'une intégrale impropre qui tranche. C'est exactement le genre de critique que demande le module de modélisation.

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Chapitre suivant : Nombres complexes : forme algébrique.