Algèbre — ALGE11¶
Cette partie couvre l'intégralité du module [ALGE11] Algèbre du programme officiel de l'UE MATH11.
Contenu au programme (brochure FISA 2026-2027) : preuve par récurrence — calcul matriciel : opérations de base, déterminant, inversion (par pivot de Gauss et par comatrice), valeurs et vecteurs propres, diagonalisation — ensembles et fonctions : base de la théorie des ensembles, injection / surjection / bijection — combinatoire : permutations, arrangements, combinaisons — arithmétique : PGCD, identité de Bézout / algorithme d'Euclide étendu, théorème des restes chinois.
15 séances de cours/TD + 1 examen. Évaluation : (CC + 2×EXAM)/3.
L'objectif annoncé par la brochure est explicite : « donner une compréhension et des éléments de base d'algèbre nécessaires pour le reste des matières de la formation ». C'est un module de service — chaque outil y est enseigné pour ce qu'il permettra de faire ailleurs. Le cours ci-dessous signale systématiquement où chaque notion resservira.
Les cinq blocs, et leur logique¶
Le programme paraît hétéroclite : on y trouve de la logique, des matrices et de l'arithmétique. Il y a pourtant une progression.
Bloc 1 — Prouver. Récurrence. C'est le seul outil du module qui ne soit pas un calcul mais un raisonnement. Il est placé en tête parce que tout le reste s'en sert : la validité du pivot de Gauss, les formules de dénombrement, la terminaison de l'algorithme d'Euclide.
Bloc 2 — Structurer. Ensembles et applications. Le vocabulaire de base de toute la formation, et le prérequis direct des probabilités du même semestre.
Bloc 3 — Compter. Combinatoire. Permutations, arrangements, combinaisons. C'est la charnière avec les probabilités : toute probabilité uniforme sur un ensemble fini est un dénombrement.
Bloc 4 — Calculer. Matrices, systèmes linéaires, déterminant, inversion, valeurs propres, diagonalisation. Six chapitres, le plus gros bloc du module, et de loin le plus long à travailler.
Bloc 5 — Chiffrer. Divisibilité et PGCD, Bézout et Euclide étendu, congruences et restes chinois. Ce bloc n'est pas là par tradition : c'est l'infrastructure mathématique de RSA.
Les treize chapitres¶
| # | Chapitre | Difficulté | Temps |
|---|---|---|---|
| 01 | Preuve par récurrence | ★★ | 2 h |
| 02 | Ensembles | ★★ | 2 h |
| 03 | Applications : injection, surjection, bijection | ★★★ | 2 h 30 |
| 04 | Combinatoire | ★★★ | 3 h |
| 05 | Matrices : opérations de base | ★★ | 2 h 30 |
| 06 | Systèmes linéaires et pivot de Gauss | ★★★ | 3 h |
| 07 | Déterminant | ★★★ | 2 h 30 |
| 08 | Inversion de matrice | ★★★ | 2 h 30 |
| 09 | Valeurs et vecteurs propres | ★★★ | 3 h |
| 10 | Diagonalisation | ★★★★ | 3 h |
| 11 | Divisibilité et PGCD | ★★ | 2 h |
| 12 | Bézout et algorithme d'Euclide étendu | ★★★ | 2 h 30 |
| 13 | Congruences et théorème des restes chinois | ★★★★ | 3 h |
Total : environ 33 heures de travail effectif.
Ordre de lecture¶
L'ordre du tableau est l'ordre recommandé, mais trois parcours partiels sont cohérents :
- Bloc matriciel seul (05 → 10) : possible si vous maîtrisez déjà le calcul littéral. Aucun prérequis dans les chapitres 01 à 04.
- Bloc arithmétique seul (11 → 13) : possible en autonomie, à condition d'avoir lu le chapitre 01 sur la récurrence, utilisé pour les démonstrations.
- Bloc préparatoire aux probabilités (02 → 03 → 04) : c'est le strict minimum à avoir fait avant d'attaquer Probabilités 03.
Où chaque notion resservira¶
| Notion d'ALGE11 | Réutilisée dans |
|---|---|
| Récurrence | Logique (S2), complexité des algorithmes (3A), preuve en Coq (3A) |
| Ensembles, applications | Probabilités (S1), logique (S2), langages formels (S4) |
| Combinatoire | Probabilités (S1), recherche opérationnelle (S4), algorithmes quantiques (3A) |
| Diagonalisation | Optimisation (S3), analyse en composantes principales (S3), vecteurs gaussiens (S1) |
| Pivot de Gauss | Systèmes linéaires partout, programmation linéaire (S4) |
| Arithmétique modulaire | Cryptographie, sécurité des SI (S4), algorithme de Shor (3A) |
Le fil rouge du module
Deux chapitres du bloc matriciel convergent avec les probabilités du même semestre : une matrice de covariance est symétrique réelle, donc diagonalisable, et cette diagonalisation est l'analyse en composantes principales enseignée deux ans plus tard. Le chapitre 10 et le chapitre Probabilités 11 sont les deux moitiés du même objet.
Chapitre suivant : Preuve par récurrence.