Prérequis — remettre le socle en place¶
Cette partie existe parce que le reste du cours serait illisible sans elle.
Le programme de l'UE [MATH11] indique « Prérequis : Aucun ». C'est vrai au sens administratif : aucun diplôme particulier n'est exigé. Ce n'est pas vrai au sens mathématique — la première séance d'algèbre manipule des sommes indexées, des quantificateurs et du calcul littéral sans les redéfinir.
Les cinq chapitres qui suivent comblent cet écart. Ils partent du niveau seconde et s'arrêtent exactement là où le programme officiel commence.
Ce que vous allez apprendre¶
| Chapitre | Contenu | Sert immédiatement à |
|---|---|---|
| 01 · Nombres et calcul | Ensembles de nombres, fractions, puissances, racines, valeur absolue, intervalles | Tout le cours |
| 02 · Calcul littéral | Développer, factoriser, identités remarquables, manipuler des expressions | Algèbre, analyse |
| 03 · Équations et inéquations | Premier degré, second degré, tableaux de signes, systèmes | Analyse, pivot de Gauss |
| 04 · Fonctions et graphes | Fonction, image, antécédent, courbe, fonctions de référence, composition | Toute l'analyse |
| 05 · Langage mathématique | Quantificateurs, implication, négation, contre-exemple, \(\sum\) et \(\prod\) | Récurrence, ensembles, toute démonstration |
Faut-il vraiment tout faire ?¶
Testez-vous. Si vous répondez juste aux cinq questions ci-dessous sans hésiter et sans calculatrice, vous pouvez survoler les chapitres 01 à 04 et n'étudier sérieusement que le 05.
Test d'entrée — 5 questions, 10 minutes
Q1. Calculer \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}\).
Q2. Simplifier \(\dfrac{a^5 b^{-2}}{a^2 b^{3}}\) pour \(a \neq 0\), \(b \neq 0\).
Q3. Factoriser \(9x^2 - 24x + 16\).
Q4. Résoudre \(\dfrac{2x-1}{x+3} \leqslant 0\).
Q5. Traduire en français : \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ |u_n - 3| < \varepsilon\).
Réponses.
R1. Priorité à la multiplication : \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\). Donc le résultat est \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} = 0\).
R2. \(\dfrac{a^5 b^{-2}}{a^2 b^{3}} = a^{5-2} b^{-2-3} = a^3 b^{-5} = \dfrac{a^3}{b^5}\).
R3. \(9x^2 - 24x + 16 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 4 + 4^2 = (3x-4)^2\).
R4. Tableau de signes. Le numérateur \(2x - 1\) s'annule en \(x = \frac12\), le dénominateur \(x + 3\) en \(x = -3\) (valeur interdite). Le quotient est négatif ou nul pour \(x \in \left]-3\,;\ \tfrac12\right]\).
R5. « La suite \((u_n)\) converge vers 3 » — c'est-à-dire : quelle que soit la marge d'erreur \(\varepsilon\) qu'on se fixe, aussi petite soit-elle, il existe un rang \(N\) à partir duquel tous les termes de la suite sont à moins de \(\varepsilon\) de 3.
4 ou 5 bonnes réponses → survolez 01 à 04, travaillez le 05. 2 ou 3 → faites les cinq chapitres, mais rapidement. 0 ou 1 → faites-les intégralement, avec tous les exercices. C'est le meilleur investissement de tout le cours : ces cinq chapitres portent 100 % du reste.
Une remarque sur le niveau¶
Ne confondez pas « facile » et « élémentaire ». Le calcul littéral est élémentaire — il est enseigné en quatrième. Il n'est pas facile : c'est la première cause d'erreur dans les copies de première année d'école d'ingénieurs, loin devant les notions du programme lui-même. Un étudiant perd beaucoup plus de points sur un signe moins mal distribué que sur une diagonalisation mal comprise.
Ces cinq chapitres méritent donc d'être travaillés pour de vrai, même — et surtout — s'ils vous semblent en dessous de votre niveau.
Chapitre suivant : Nombres et calcul.