Glossaire

Tous les termes techniques introduits dans le cours, avec un lien vers le chapitre où ils sont développés.

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A

Absence de mémoire — Propriété d'une loi telle que \(P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t)\) : le passé n'informe pas sur l'avenir. Seules la loi géométrique (discrète) et la loi exponentielle (continue) la possèdent. → Proba 07, Proba 09

Antisymétrique (matrice) — \(\mathbf{A}^\top = -\mathbf{A}\). Son déterminant est nul en dimension impaire. → Algèbre 07

Arrangement — Tirage ordonné sans remise de \(k\) objets parmi \(n\) : \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\). → Algèbre 04

Asymptote — Droite dont la courbe s'approche indéfiniment. Verticale, horizontale ou oblique. Elle peut être traversée. → Analyse 05

B

Bayes (formule de) — Retourne un conditionnement : \(P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\). L'a posteriori est proportionnel à la vraisemblance fois l'a priori. → Proba 05

Bézout (identité de) — Il existe \(u,v\) entiers tels que \(au+bv = \operatorname{pgcd}(a,b)\). Fournit l'inverse modulaire. → Algèbre 12

Bijection — Application à la fois injective et surjective : chaque élément de l'arrivée a exactement un antécédent. → Algèbre 03

C

Cayley-Hamilton (théorème de) — Toute matrice annule son polynôme caractéristique : \(\chi_{\mathbf A}(\mathbf A)=\mathbf 0\). → Algèbre 09

Combinaison — Tirage non ordonné sans remise : \(\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}\). → Algèbre 04

Conditionnement — \(\kappa(\mathbf A) = \lVert\mathbf A\rVert\lVert\mathbf A^{-1}\rVert\). Mesure l'amplification des erreurs. Propriété du problème, pas de l'algorithme. → Modélisation 05

Congruence — \(a\equiv b\pmod n\) signifie \(n\mid(a-b)\) : mêmes restes. → Algèbre 13

Convexe (fonction) — \(f''\geqslant0\) : la courbe est au-dessus de ses tangentes. Garantit l'unicité du minimum. → Analyse 03

Corrélation (coefficient de) — \(\rho = \frac{\operatorname{Cov}}{\sigma_X \sigma_Y}\in[-1;1]\). Mesure la dépendance linéaire uniquement. → Proba 10

Covariance — \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y\). Nulle si indépendantes ; la réciproque est fausse. → Proba 10

Crible (formule du) — Inclusion-exclusion : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), avec signes alternés au-delà. → Proba 02

D

Densité de probabilité — Fonction \(f\geqslant0\) d'intégrale 1, telle que \(P(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^b f\). Peut dépasser 1. → Proba 08

Dérangement — Permutation sans point fixe. Leur proportion tend vers \(e^{-1}\). → Proba 02

Déterminant — Nombre associé à une matrice carrée, nul si et seulement si elle est singulière. En dimension 2, c'est l'aire signée. → Algèbre 07

Diagonalisable — \(\mathbf A = \mathbf{PDP}^{-1}\) avec \(\mathbf D\) diagonale. Équivaut à \(\sum\dim E_\lambda = n\). → Algèbre 10

Dichotomie — Recherche de racine par bissection. Précision doublée par itération, robustesse totale. → Analyse 02

E

Équiprobable — Univers où toutes les issues ont la même probabilité. Seul cas où \(P(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}\). → Proba 01

Espérance — Moyenne pondérée d'une variable aléatoire. Linéaire même sans indépendance — la propriété la plus utile du module. → Proba 06

Euclide étendu (algorithme d') — Calcule le PGCD et les coefficients de Bézout. Complexité \(O(\log)\). → Algèbre 12

Euler (indicatrice d') — \(\varphi(n)\) = nombre d'entiers de \([\![1;n]\!]\) premiers avec \(n\). \(\varphi(pq)=(p-1)(q-1)\) pour RSA. → Algèbre 13

Événement — Partie de l'univers \(\Omega\). → Proba 01

F

Fermeture transitive — Relation « il existe un chemin de \(i\) à \(j\) ». Calculée par l'algorithme de Warshall en \(O(n^3)\). → Modélisation 04

Fonction de répartition — \(F(x)=P(X\leqslant x)\). Continue pour une variable à densité, en escalier dans le cas discret. → Proba 08

Forme indéterminée — \(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(0\times\infty\), \(\infty-\infty\). La forme ne suffit pas à conclure. → Analyse 02

G

Gauss (pivot de) — Algorithme d'échelonnement d'un système linéaire, en \(O(n^3)\). Base de la résolution et de l'inversion. → Algèbre 06

Gauss (théorème de) — \(a\mid bc\) et \(a\wedge b=1\) \(\implies\) \(a\mid c\). → Algèbre 12

Gaussien (vecteur) — Vecteur aléatoire dont toute combinaison linéaire est normale. Marginales normales ne suffisent pas. → Proba 11

H

Hérédité — Deuxième étape d'une récurrence : \(P(n)\implies P(n+1)\). → Algèbre 01

Hessienne — Matrice des dérivées secondes. Son signe détermine la nature d'un point critique. (Hors programme du S1, vue en S3.) → Analyse 03

I

Image réciproque — \(f^{-1}(B) = \{x\mid f(x)\in B\}\). Existe pour toute application, même non bijective. → Algèbre 03

Indépendance — \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). À ne pas confondre avec l'incompatibilité, qui est une dépendance maximale. → Proba 05

Injective — Deux entrées distinctes ont des images distinctes : rien n'est écrasé. → Algèbre 03

Intégrale impropre — Intégrale sur un intervalle infini ou avec une singularité. Définie comme une limite. → Analyse 09

Involution — Application vérifiant \(f\circ f = \operatorname{id}\). Le XOR par une constante en est une. → Algèbre 03

K

König-Huygens (formule de) — \(\operatorname{V}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2\). Toujours l'utiliser en calcul. → Proba 06

L

Landau (notations de) — \(o\), \(O\), \(\sim\) pour comparer des ordres de grandeur. Développées en Analyse 2 au S2. → Analyse 02

Loi conjointe / marginale — La conjointe donne \(P(X=x,Y=y)\) ; les marginales s'obtiennent en sommant. Les marginales ne déterminent pas la conjointe. → Proba 10

Loi des grands nombres — La moyenne empirique converge vers l'espérance. Justifie l'interprétation fréquentiste. → Proba 12

M

Médiane — Valeur \(m\) telle que \(F(m)=\frac12\). Robuste aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne. → Proba 08

Mineur / cofacteur — Déterminant obtenu en supprimant une ligne et une colonne ; le cofacteur y ajoute le signe \((-1)^{i+j}\). → Algèbre 07

Moindres carrés — Critère minimisant \(\sum(y_i-\hat y_i)^2\). Dérivable, formule close, optimal sous erreurs gaussiennes — mais sensible aux valeurs aberrantes. → Modélisation 03

Moivre (formule de) — \((\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta\). → Analyse 11

Monte-Carlo — Estimation par simulation aléatoire. Erreur en \(O(n^{-1/2})\), indépendante de la dimension. → Modélisation 02

Multiplicité algébrique / géométrique — Ordre de \(\lambda\) comme racine de \(\chi_{\mathbf A}\) / dimension de \(E_\lambda\). Toujours \(m_g\leqslant m_a\). → Algèbre 09

N

Nilpotente (matrice) — \(\mathbf N^k = \mathbf 0\). Jamais diagonalisable si non nulle, mais permet le calcul de puissances par le binôme. → Algèbre 05

Normale (loi) — \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). Loi limite universelle par le TCL. Règle 68-95-99,7. → Proba 09

P

PageRank — Score d'une page = composante du vecteur propre associé à la valeur propre 1 de la matrice de transition amortie. → Modélisation 04

Partition / système complet — Famille de parties non vides, deux à deux disjointes, recouvrant l'ensemble. Hypothèse des probabilités totales. → Algèbre 02, Proba 01

Permutation — Rangement ordonné de \(n\) objets. Il y en a \(n!\). → Algèbre 04

PGCD — Plus grand commun diviseur. Calculé par Euclide en \(O(\log)\), jamais par factorisation. → Algèbre 11

Poisson (loi de) — \(\mathcal{P}(\lambda)\), loi des événements rares. Signature : \(\mathbb{E}=\operatorname{V}=\lambda\). → Proba 07

Polynôme caractéristique — \(\chi_{\mathbf A}(\lambda)=\det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)\). Ses racines sont les valeurs propres. → Algèbre 09

Primitive — Fonction \(F\) telle que \(F'=f\). Unique à une constante près sur un intervalle. → Analyse 06

Principe des tiroirs — Ranger \(n\) objets dans \(p<n\) tiroirs force une collision. Base de l'attaque des anniversaires. → Algèbre 03

R

\(R^2\) — Part de variance expliquée par un modèle. Un \(R^2\) élevé ne valide pas un modèle — voir le quartet d'Anscombe. → Modélisation 03

Récurrence — Schéma de démonstration : initialisation + hérédité. Les deux étapes sont indispensables. → Algèbre 01

Restes chinois (théorème des) — Un système de congruences à modules deux à deux premiers entre eux admet une solution unique modulo leur produit. → Algèbre 13

RSA — Chiffrement asymétrique fondé sur l'asymétrie entre Euclide étendu (facile) et la factorisation (difficile). → Algèbre 13

S

Semi-définie positive — \(\mathbf u^\top\mathbf\Sigma\mathbf u\geqslant0\) pour tout \(\mathbf u\). Toute matrice de covariance l'est. → Proba 11

Simpson (méthode de) — Quadrature par paraboles, erreur en \(O(h^4)\), exacte pour les polynômes de degré \(\leqslant3\). → Analyse 07

Spectral (théorème) — Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée, à valeurs propres réelles. → Algèbre 10

Stochastique (matrice) — Coefficients positifs, lignes de somme 1. Admet toujours 1 comme valeur propre. → Algèbre 08

Sur-ajustement — Modèle trop souple qui apprend le bruit. Détecté par l'erreur sur des données non vues. → Modélisation 03

Surjective — Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent. → Algèbre 03

T

TCL (théorème central limite) — La moyenne empirique normalisée converge vers \(\mathcal{N}(0,1)\), quelle que soit la loi de départ, si la variance est finie. → Proba 12

Tchebychev (inégalité de) — \(P(|X-\mu|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\). Grossière mais universelle. → Proba 06

Trace — Somme des coefficients diagonaux. Vaut la somme des valeurs propres, et \(\operatorname{tr}(\mathbf{AB})=\operatorname{tr}(\mathbf{BA})\). → Algèbre 05

TVI (théorème des valeurs intermédiaires) — Une fonction continue prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\). L'unicité exige la stricte monotonie. → Analyse 02

U

Univers — Ensemble \(\Omega\) de toutes les issues possibles. Son choix détermine si le comptage naïf est licite. → Proba 01

V

Valeur propre / vecteur propre — \(\mathbf{Ax}=\lambda\mathbf x\) avec \(\mathbf x\neq\mathbf 0\) : direction que la transformation ne fait que dilater. → Algèbre 09

Variable aléatoire — Application de \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}\). Ni variable, ni aléatoire : c'est une fonction. → Proba 06

Variance — Mesure de dispersion : \(\operatorname{V}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]\). Non additive sans indépendance. → Proba 06

W

Wallis (intégrales de) — \(I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n\), vérifiant \(I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\). Mènent à la formule de Stirling. → Analyse 08

Warshall (algorithme de) — Fermeture transitive en \(O(n^3)\). L'ordre des boucles est critique. → Modélisation 04

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