08 · Variables aléatoires continues

Intuition

Une taille, une durée, une température ne prennent pas des valeurs isolées : elles varient sur un continuum. Il devient alors impossible d'attribuer une probabilité non nulle à chaque valeur — il y en a une infinité non dénombrable, et leur somme exploserait.

La solution est de remplacer la somme par une intégrale, et la probabilité ponctuelle par une densité. La probabilité n'est plus une hauteur : c'est une aire.

Prérequis strict

Ce chapitre exige Analyse 06 à 09 : primitives, intégrale définie, techniques d'intégration, intégrales impropres. Il n'est pas lisible sans.

1. Densité de probabilité

Définition

\(X\) est une variable aléatoire à densité s'il existe une fonction \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) telle que

\[ f \geqslant 0 \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = 1 \]

et, pour tous \(a\leqslant b\),

\[ P(a\leqslant X\leqslant b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \]

\(f\) est la densité de \(X\).

\(P(X=a) = 0\) pour toute valeur \(a\)

\[ P(X=a) = \int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \]

Conséquences.

• Les inégalités strictes et larges donnent le même résultat : \(P(X<a) = P(X\leqslant a)\).
• Un événement de probabilité nulle n'est pas impossible : \(X\) prend bien une valeur.
• On ne parle jamais de « la probabilité que \(X\) vaille 3 », mais de la probabilité qu'elle soit dans un intervalle.

Une densité peut dépasser 1

\(f\) n'est pas une probabilité : c'est une densité, homogène à une probabilité par unité. Ce qui doit rester \(\leqslant1\), c'est l'aire.

Exemple : la densité uniforme sur \([0\,;0{,}1]\) vaut 10.

2. Fonction de répartition

Définition et propriétés

\[ F(x) = P(X\leqslant x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \]

• \(F\) est croissante, continue sur \(\mathbb{R}\) ;
• \(\lim_{x\to-\infty}F = 0\) et \(\lim_{x\to+\infty}F = 1\) ;
• \(F' = f\) en tout point où \(f\) est continue ;
• \(P(a\leqslant X\leqslant b) = F(b)-F(a)\).

La différence avec le discret

Dans le cas discret, \(F\) est en escalier : elle saute de \(P(X=k)\) en chaque valeur. Dans le cas continu, \(F\) est continue : les sauts ont disparu, c'est la traduction exacte de \(P(X=a)=0\).

Utilité pratique : \(F\) est souvent plus commode que \(f\), car elle évite de recalculer une intégrale à chaque question.

3. Espérance et variance

Définitions

\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}x\,f(x)\,\mathrm{d}x \]

\[ \operatorname{V}(X) = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,\mathrm{d}x - \mathbb{E}[X]^2 \]

sous réserve de convergence absolue des intégrales.

Théorème de transfert :

\[ \mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,\mathrm{d}x \]

Toutes les propriétés du discret restent valables

\[ \mathbb{E}[aX+b] = a\mathbb{E}[X]+b \qquad \mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y] \]

\[ \operatorname{V}(aX+b) = a^2\operatorname{V}(X) \qquad \operatorname{V}(X) = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 \]

La somme est devenue une intégrale, rien d'autre n'a changé.

L'espérance peut ne pas exister

Pour la loi de Cauchy, de densité \(f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\), l'intégrale \(\int|x|f(x)\mathrm{d}x\) diverge : \(\mathbb{E}[X]\) n'existe pas.

Ce n'est pas une curiosité : les lois à queue lourde, courantes en informatique (temps de réponse) et en finance, ont souvent une espérance ou une variance infinie — voir l'exercice 9 du chapitre Analyse 09.

4. Méthode

Le protocole

1. Vérifier que \(f\) est une densité : positivité et intégrale égale à 1. Cette étape détermine souvent une constante inconnue.
2. Calculer \(F\) par intégration, en distinguant les zones où \(f\) est nulle.
3. Calculer probabilités, espérance, variance par intégration.
4. Contrôler : \(F\) croissante de 0 à 1, variance positive.

Ne pas oublier les zones où \(f\) est nulle

Si \(f\) est nulle hors de \([a;b]\), alors \(F(x)=0\) pour \(x<a\) et \(F(x)=1\) pour \(x>b\). L'oublier est l'erreur la plus fréquente.

Exemples traités

Exemple 1 — Densité complète

Soit \(f(x) = cx^2\) sur \([0;2]\), nulle ailleurs.

Constante.

\[ \int_0^2 cx^2\,\mathrm{d}x = c\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8c}{3} = 1 \implies c = \frac38 \]

Répartition. Pour \(x\in[0;2]\) :

\[ F(x) = \int_0^x\frac38 t^2\,\mathrm{d}t = \frac{x^3}{8} \]

avec \(F(x)=0\) pour \(x<0\) et \(F(x)=1\) pour \(x>2\).

Contrôle : \(F(0)=0\), \(F(2)=1\) ✓

Probabilité.

\[ P(1\leqslant X\leqslant 1{,}5) = F(1{,}5)-F(1) = \frac{3{,}375-1}{8} = \frac{2{,}375}{8} \approx 0{,}297 \]

Espérance.

\[ \mathbb{E}[X] = \int_0^2 x\cdot\frac38x^2\,\mathrm{d}x = \frac38\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac38\times4 = \frac32 \]

Variance.

\[ \mathbb{E}[X^2] = \frac38\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac38\times\frac{32}{5} = \frac{12}{5} \]

\[ \operatorname{V}(X) = \frac{12}{5}-\frac94 = \frac{48-45}{20} = \frac{3}{20} = 0{,}15 \]

\(\sigma \approx 0{,}387\).

Exemple 2 — Loi exponentielle

\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) sur \([0;+\infty[\), avec \(\lambda>0\).

Densité : positivité ✓ et \(\int_0^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x = 1\) ✓ (chapitre Analyse 09, exemple 6).

Répartition. Pour \(x\geqslant0\) :

\[ F(x) = \big[-e^{-\lambda t}\big]_0^x = 1-e^{-\lambda x} \]

Espérance — par intégration par parties :

\[ \mathbb{E}[X] = \int_0^{+\infty}x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \frac1\lambda \]

Variance. Une seconde IPP donne \(\mathbb{E}[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}\), donc

\[ \operatorname{V}(X) = \frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \]

\(\sigma = \mathbb{E}[X]\) : la loi exponentielle est aussi dispersée que sa moyenne. C'est la marque des lois sans mémoire.

Exemple 3 — Changement de variable

\(X\) suit la loi uniforme sur \([0;1]\). Quelle est la loi de \(Y = X^2\) ?

Méthode de la fonction de répartition — la seule fiable.

Pour \(y\in[0;1]\) :

\[ F_Y(y) = P(Y\leqslant y) = P(X^2\leqslant y) = P(X\leqslant\sqrt y) = \sqrt y \]

(en utilisant \(X\geqslant0\) et \(F_X(x)=x\) sur \([0;1]\).)

Densité par dérivation :

\[ f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt y} \quad\text{sur } ]0;1] \]

Contrôle : \(\int_0^1\frac{\mathrm{d}y}{2\sqrt y} = \big[\sqrt y\big]_0^1 = 1\) ✓ (intégrale impropre convergente, \(\alpha=\frac12<1\).)

Vérification de l'espérance : \(\mathbb{E}[Y] = \int_0^1 y\cdot\frac{1}{2\sqrt y}\mathrm{d}y = \frac12\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^1 = \frac13\).

Et directement : \(\mathbb{E}[X^2] = \int_0^1 x^2\mathrm{d}x = \frac13\) ✓

Ne jamais « composer les densités »

\(f_Y(y) \neq f_X(\sqrt y)\). Il manque le facteur jacobien \(\left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|\).

Passez toujours par la fonction de répartition, puis dérivez. C'est plus long de deux lignes et cela ne se trompe jamais.

Erreurs fréquentes

Erreur	Correction
\(P(X=a)>0\)	Toujours nul
Croire que \(f\leqslant1\)	C'est l'aire qui vaut 1
Oublier les zones où \(f=0\) dans \(F\)	\(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
Composer les densités	Passer par \(F\)
Ne pas vérifier \(\int f = 1\)	Détermine la constante
Supposer que \(\mathbb{E}\) existe	Vérifier la convergence

Exercices

★ Exercice 1. Soit \(f(x)=c\) sur \([2;6]\), nulle ailleurs.

a) Déterminer \(c\). b) Calculer \(F\). c) Calculer \(P(3\leqslant X\leqslant5)\), \(\mathbb{E}[X]\), \(\operatorname{V}(X)\).

★★ Exercice 2. Soit \(f(x)=cx\) sur \([0;3]\), nulle ailleurs.

a) Déterminer \(c\) et \(F\). b) Calculer \(P(X>2)\). c) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) et \(\operatorname{V}(X)\). d) Déterminer la médiane \(m\) telle que \(F(m)=\frac12\).

★★ Exercice 3. \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0{,}5\).

a) Calculer \(P(X\leqslant2)\), \(P(X>3)\), \(P(1\leqslant X\leqslant4)\). b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) et \(\sigma(X)\). c) Déterminer la médiane et comparer à l'espérance.

★★ Exercice 4. Soit \(f(x) = \dfrac{c}{x^2}\) sur \([1;+\infty[\).

a) Déterminer \(c\). b) Calculer \(F\). c) \(\mathbb{E}[X]\) existe-t-elle ?

★★★ Exercice 5. \(X\) suit la loi uniforme sur \([0;1]\). Déterminer la loi de :

a) \(Y = 3X+2\) b) \(Z = -\ln X\) c) Reconnaître la loi de \(Z\).

★★★ Exercice 6. Montrer que la loi exponentielle est sans mémoire :

\[ P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t) \]

Puis montrer que c'est la seule loi continue à densité sur \([0;+\infty[\) possédant cette propriété.

Indication : posez \(G(t)=P(X>t)\) et montrez que \(G(s+t)=G(s)G(t)\).

★★★ Exercice 7. Soit \(X\) de densité \(f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}\) sur \(\mathbb{R}\) (loi de Laplace).

a) Vérifier que c'est une densité. b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) (utiliser la parité). c) Calculer \(\operatorname{V}(X)\).

★★★★ Exercice 8. Méthode d'inversion. Soit \(F\) une fonction de répartition continue et strictement croissante, et \(U\) uniforme sur \([0;1]\).

a) Montrer que \(X = F^{-1}(U)\) a pour fonction de répartition \(F\). b) Application : comment simuler une loi exponentielle à partir de random() ? c) Implémenter et vérifier statistiquement.

★★★★ Exercice 9 — lien informatique. Le temps de réponse d'un service suit une loi de Pareto de densité \(f(x)=\frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}\) sur \([1;+\infty[\).

a) Vérifier que c'est une densité et calculer \(F\). b) Calculer le quantile à 99 % en fonction de \(\alpha\). c) Pour \(\alpha=1{,}5\), comparer moyenne et p99. d) Pourquoi les tableaux de bord de performance affichent-ils des percentiles plutôt que des moyennes ?

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Corrigés

Corrigé — Exercice 1

a) \(\int_2^6 c\,\mathrm{d}x = 4c = 1\), donc \(c=\frac14\).

b)

\[ F(x) = \begin{cases} 0 & x<2\\ \frac{x-2}{4} & 2\leqslant x\leqslant6\\ 1 & x>6 \end{cases} \]

c) \(P(3\leqslant X\leqslant5) = \frac{5-2}{4}-\frac{3-2}{4} = \frac24 = 0{,}5\).

\(\mathbb{E}[X] = \frac{2+6}{2} = 4\) (milieu, par symétrie).

\(\operatorname{V}(X) = \frac{(6-2)^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac43 \approx 1{,}333\).

(Formule générale de la loi uniforme sur \([a;b]\) : \(\mathbb{E}=\frac{a+b}{2}\), \(\operatorname{V}=\frac{(b-a)^2}{12}\).)

Corrigé — Exercice 2

a) \(\int_0^3 cx\,\mathrm{d}x = \frac{9c}{2}=1\), donc \(c=\frac29\).

\[ F(x) = \int_0^x \frac29 t\,\mathrm{d}t = \frac{x^2}{9} \quad\text{sur }[0;3] \]

b) \(P(X>2) = 1-F(2) = 1-\frac49 = \frac59 \approx 0{,}556\).

c)

\[ \mathbb{E}[X] = \int_0^3 \frac29 x^2\,\mathrm{d}x = \frac29\times9 = 2 \]

\[ \mathbb{E}[X^2] = \frac29\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^3 = \frac29\times\frac{81}{4} = \frac92 \]

\[ \operatorname{V}(X) = \frac92-4 = \frac12 \]

d) \(\frac{m^2}{9}=\frac12\) donne \(m = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2{,}121\).

La médiane est supérieure à la moyenne — cohérent avec une densité croissante, qui concentre la masse à droite.

Corrigé — Exercice 3

\(F(x) = 1-e^{-0{,}5x}\).

a)

\[ P(X\leqslant2) = 1-e^{-1} \approx 0{,}6321 \]

\[ P(X>3) = e^{-1{,}5}\approx0{,}2231 \]

\[ P(1\leqslant X\leqslant4) = e^{-0{,}5}-e^{-2} \approx 0{,}6065-0{,}1353 = 0{,}4712 \]

b) \(\mathbb{E}[X] = \frac{1}{0{,}5} = 2\) ; \(\sigma = 2\).

c) \(1-e^{-0{,}5m} = \frac12\) donne

\[ m = \frac{\ln 2}{0{,}5} = 2\ln2 \approx 1{,}386 \]

La médiane (1,39) est nettement inférieure à la moyenne (2).

C'est la signature d'une distribution asymétrique à droite : quelques valeurs très grandes tirent la moyenne vers le haut, sans déplacer la médiane. Le rapport \(\frac{m}{\mathbb{E}} = \ln 2 \approx 0{,}693\) est universel pour l'exponentielle.

Corrigé — Exercice 4

a) \(\int_1^{+\infty}\frac{c}{x^2}\mathrm{d}x = c\left[-\frac1x\right]_1^{+\infty} = c = 1\). Donc \(c=1\).

b) Pour \(x\geqslant1\) :

\[ F(x) = \int_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2} = 1-\frac1x \]

et \(F(x)=0\) pour \(x<1\).

Contrôle : \(F(1)=0\), \(F(x)\to1\) ✓

c)

\[ \mathbb{E}[X] = \int_1^{+\infty}x\cdot\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x} \]

C'est une intégrale de Riemann avec \(\alpha=1\) : elle diverge.

\(\mathbb{E}[X]\) n'existe pas.

C'est la loi de Pareto avec \(\alpha=1\), le cas exactement critique. Voir l'exercice 9.

Corrigé — Exercice 5

a) \(Y=3X+2\) prend ses valeurs dans \([2;5]\). Pour \(y\) dans cet intervalle :

\[ F_Y(y) = P(3X+2\leqslant y) = P\!\left(X\leqslant\frac{y-2}{3}\right) = \frac{y-2}{3} \]

En dérivant : \(f_Y(y) = \frac13\) sur \([2;5]\).

\(Y\) suit la loi uniforme sur \([2;5]\).

b) \(Z = -\ln X\) prend ses valeurs dans \([0;+\infty[\) (car \(X\in]0;1]\)). Pour \(z\geqslant0\) :

\[ F_Z(z) = P(-\ln X\leqslant z) = P(\ln X\geqslant -z) = P(X\geqslant e^{-z}) \]

\[ = 1-F_X(e^{-z}) = 1-e^{-z} \]

(Attention au renversement de l'inégalité en multipliant par \(-1\).)

En dérivant : \(f_Z(z) = e^{-z}\) sur \([0;+\infty[\).

c) C'est la loi exponentielle de paramètre 1 ✓

Application immédiate

Cette transformation est la méthode de simulation d'une loi exponentielle : -log(random()). C'est un cas particulier de la méthode d'inversion de l'exercice 8.

Corrigé — Exercice 6

Vérification. \(P(X>t) = e^{-\lambda t}\), donc

\[ P(X>s+t\mid X>s) = \frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t) \]

\(\blacksquare\)

Unicité. Posons \(G(t)=P(X>t)\) pour \(t\geqslant0\). La propriété d'absence de mémoire s'écrit

\[ G(s+t) = G(s)\,G(t) \]

\(G\) est continue (car \(F\) l'est), décroissante, avec \(G(0)=1\).

Résolution. Par récurrence, \(G(nt) = G(t)^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\). En particulier \(G(n) = G(1)^n\), et \(G\left(\frac1n\right) = G(1)^{1/n}\) (en écrivant \(G(1) = G\left(n\cdot\frac1n\right)\)).

Par combinaison, \(G(q) = G(1)^q\) pour tout rationnel \(q>0\), puis par continuité pour tout réel \(t>0\).

Notons \(G(1) = c\in\,]0;1[\) (strictement, sinon \(X\) serait dégénérée) et posons \(\lambda = -\ln c > 0\) :

\[ G(t) = c^t = e^{t\ln c} = e^{-\lambda t} \]

D'où \(F(t) = 1-e^{-\lambda t}\) : c'est la loi exponentielle. \(\blacksquare\)

Le pendant continu de la géométrique

L'exponentielle est à l'absence de mémoire continue ce que la géométrique est à l'absence de mémoire discrète. C'est la raison pour laquelle elle modélise les durées de vie de composants sans usure — un composant électronique qui a fonctionné 1000 heures est aussi neuf qu'au premier jour.

C'est aussi la raison pour laquelle elle ne convient pas aux composants mécaniques, qui s'usent : on utilise alors une loi de Weibull.

Corrigé — Exercice 7

a) \(f\geqslant0\) ✓ et, par parité de \(|x|\) :

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac12 e^{-|x|}\mathrm{d}x = 2\times\int_0^{+\infty}\frac12 e^{-x}\mathrm{d}x = 1 \quad\checkmark \]

b) \(x\mapsto x f(x)\) est impaire (produit d'une fonction impaire par une paire), et l'intégrale converge absolument (l'exponentielle domine).

Sur un domaine symétrique, l'intégrale d'une fonction impaire est nulle :

\[ \mathbb{E}[X] = 0 \]

c) \(x\mapsto x^2f(x)\) est paire :

\[ \mathbb{E}[X^2] = 2\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x = \int_0^{+\infty}x^2e^{-x}\,\mathrm{d}x = \Gamma(3) = 2! = 2 \]

(Chapitre Analyse 09, exercice 5.)

\[ \operatorname{V}(X) = 2-0 = 2 \qquad \sigma = \sqrt2 \approx 1{,}414 \]

Corrigé — Exercice 8

a) \(F\) étant continue et strictement croissante, elle est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(]0;1[\) et \(F^{-1}\) est bien définie et croissante.

Pour tout \(x\) :

\[ P(X\leqslant x) = P\big(F^{-1}(U)\leqslant x\big) = P\big(U\leqslant F(x)\big) \]

(on applique \(F\), croissante donc préservant l'inégalité).

Or \(U\) est uniforme sur \([0;1]\) et \(F(x)\in[0;1]\), donc \(P(U\leqslant F(x)) = F(x)\).

\[ P(X\leqslant x) = F(x) \quad\blacksquare \]

b) Loi exponentielle. \(F(x) = 1-e^{-\lambda x}\), donc

\[ u = 1-e^{-\lambda x} \iff x = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda} \]

Comme \(1-U\) est aussi uniforme sur \([0;1]\), on simplifie en

\[ X = -\frac{\ln U}{\lambda} \]

(C'est exactement le résultat de l'exercice 5b, avec \(\lambda=1\).)

c) Implémentation et vérification.

import math
import random

def exponentielle(lam, rng):
    return -math.log(rng.random()) / lam

rng = random.Random(42)
lam = 0.5
n = 200_000
ech = [exponentielle(lam, rng) for _ in range(n)]

moyenne = sum(ech) / n
var = sum((x - moyenne) ** 2 for x in ech) / n
# proportion sous la mediane theorique
med = math.log(2) / lam
prop = sum(1 for x in ech if x <= med) / n

print(f"moyenne empirique = {moyenne:.4f}  (theorie {1/lam})")
print(f"variance          = {var:.4f}  (theorie {1/lam**2})")
print(f"P(X <= mediane)   = {prop:.4f}  (theorie 0.5)")

Sortie (graine 42) :

moyenne empirique = 1.9978  (theorie 2.0)
variance          = 3.9779  (theorie 4.0)
P(X <= mediane)   = 0.5010  (theorie 0.5)

Les trois statistiques coïncident à moins de 0,5 % près ✓

Corrigé — Exercice 9

a) \(f\geqslant0\) sur \([1;+\infty[\) ✓ et

\[ \int_1^{+\infty}\frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}\,\mathrm{d}x = \alpha\left[\frac{x^{-\alpha}}{-\alpha}\right]_1^{+\infty} = 1 \]

(convergente car \(\alpha+1>1\).)

\[ F(x) = 1-x^{-\alpha} \quad\text{pour } x\geqslant1 \]

b) Quantile à 99 %. On résout \(F(q) = 0{,}99\) :

\[ q^{-\alpha} = 0{,}01 \implies q = 100^{1/\alpha} \]

c) Pour \(\alpha = 1{,}5\).

Moyenne (existe car \(\alpha>1\), voir chapitre Analyse 09) :

\[ \mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha-1} = \frac{1{,}5}{0{,}5} = 3 \]

p99 :

\[ q = 100^{1/1{,}5} = 100^{2/3} \approx 21{,}54 \]

Le p99 vaut 7,2 fois la moyenne. Et le p999 vaut \(1000^{2/3} = 100\), soit 33 fois la moyenne.

d) Pourquoi les percentiles. Trois raisons.

1. La moyenne ne décrit pas l'expérience utilisateur. Avec une moyenne de 3 et un p99 de 21,5, dire « le temps de réponse moyen est de 3 » cache le fait qu'un utilisateur sur cent attend sept fois plus.
2. La moyenne est instable. Pour \(1<\alpha\leqslant2\), la variance est infinie : la moyenne empirique ne converge pas au sens du théorème central limite, et ses intervalles de confiance usuels sont invalides.
3. La moyenne est dominée par les valeurs extrêmes. Une seule requête très lente déplace la moyenne d'un lot entier ; elle ne déplace pas le p50.

C'est pourquoi tous les systèmes de suivi de performance — Prometheus, Datadog, les SLO de Google — sont définis en percentiles, jamais en moyennes.

Le lien avec le module de modélisation

Choisir entre moyenne et percentile n'est pas une question de goût : cela dépend de la convergence d'une intégrale. C'est exactement le genre de décision que le module MOMA11 demande de savoir justifier — voir Modélisation 05.

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Chapitre suivant : Lois continues usuelles.