11 · Nombres complexes : forme exponentielle¶
Intuition
La forme algébrique \(a+ib\) répond à la question « où est ce point ? » en coordonnées cartésiennes. La forme exponentielle \(re^{i\theta}\) y répond en coordonnées polaires : à quelle distance de l'origine, et dans quelle direction.
Le changement de point de vue transforme la multiplication. En cartésien, multiplier est un calcul pénible ; en polaire, c'est multiplier les longueurs et additionner les angles. Une puissance centième devient triviale.
C'est le même principe que la diagonalisation d'une matrice : trouver les coordonnées dans lesquelles l'opération devient simple.
1. Module et argument¶
Définition
Tout \(z\in\mathbb{C}^*\) s'écrit
avec \(r = |z| > 0\) le module et \(\theta\) un argument de \(z\), noté \(\arg(z)\).
L'argument est défini modulo \(2\pi\)
Il n'y a pas « un » argument mais une infinité, tous égaux modulo \(2\pi\). On appelle argument principal celui qui appartient à \(]-\pi;\pi]\).
Le nombre 0 n'a pas d'argument : sa direction n'est pas définie.
Passage algébrique → exponentiel. Pour \(z=a+ib\) :
Ne jamais utiliser \(\arctan\frac ba\) seul
\(\arctan\) prend ses valeurs dans \(\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[\) : il ne distingue pas \(z\) de \(-z\).
Pour \(z=-1-i\), \(\frac ba = 1\) et \(\arctan 1 = \frac\pi4\) — mais l'argument est \(-\frac{3\pi}{4}\).
La méthode sûre : calculer \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\), puis identifier l'angle à partir des deux signes. Le quadrant est alors déterminé sans ambiguïté.
Passage exponentiel → algébrique : \(a = r\cos\theta\), \(b=r\sin\theta\).
2. La notation exponentielle¶
Définition
On pose
de sorte que tout complexe non nul s'écrit
Pourquoi cette notation. Parce qu'elle vérifie la propriété fondamentale de l'exponentielle :
C'est exactement l'écriture complexe des formules d'addition de \(\cos\) et \(\sin\), établies au chapitre 04 et redémontrées matriciellement en Algèbre 05.
Propriétés.
Valeurs remarquables.
L'identité d'Euler
Elle relie en cinq symboles les cinq constantes fondamentales des mathématiques : \(0\), \(1\), \(i\), \(\pi\) et \(e\).
3. Opérations en forme exponentielle¶
Le tableau qui justifie tout le chapitre
Avec \(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\) et \(z_2 = r_2e^{i\theta_2}\) :
| Opération | Résultat |
|---|---|
| Produit | \(r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) |
| Quotient | \(\dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\) |
| Puissance | \(r_1^n\,e^{in\theta_1}\) |
| Conjugué | \(r_1 e^{-i\theta_1}\) |
| Inverse | \(\dfrac{1}{r_1}e^{-i\theta_1}\) |
On multiplie les modules et on additionne les arguments.
Rien de tel pour l'addition
Il n'existe aucune formule simple pour \(r_1e^{i\theta_1}+r_2e^{i\theta_2}\).
Règle pratique : addition et soustraction en forme algébrique ; produit, quotient et puissance en forme exponentielle. On change de forme selon l'opération.
4. Formules de Moivre et d'Euler¶
Formule de Moivre
Elle permet d'exprimer \(\cos n\theta\) et \(\sin n\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) — c'est la duplication généralisée.
Formules d'Euler
Elles permettent l'opération inverse : linéariser \(\cos^n\theta\) ou \(\sin^n\theta\) en somme de cosinus et sinus d'angles multiples — ce qui est exactement ce qu'il faut pour intégrer.
Les deux directions
| Objectif | Outil |
|---|---|
| \(\cos(n\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\) | Moivre + binôme |
| \(\cos^n\theta\) en somme de \(\cos(k\theta)\) | Euler + binôme |
La seconde direction s'appelle la linéarisation et sert à intégrer des puissances de fonctions trigonométriques.
5. Racines \(n\)-ièmes de l'unité¶
Théorème
L'équation \(z^n = 1\) admet exactement \(n\) solutions dans \(\mathbb{C}\) :
Démonstration. En posant \(z = re^{i\theta}\), l'équation \(r^ne^{in\theta}=1\) impose \(r^n=1\) (donc \(r=1\), car \(r>0\) réel) et \(n\theta \equiv 0\pmod{2\pi}\), soit \(\theta = \frac{2k\pi}{n}\). Les valeurs \(k=0,\dots,n-1\) donnent \(n\) solutions distinctes, et \(k=n\) redonne \(k=0\). \(\blacksquare\)
Interprétation géométrique
Les racines \(n\)-ièmes de l'unité sont les sommets du polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant en \(1\).
Propriété remarquable : leur somme est nulle pour \(n\geqslant2\).
C'est une somme géométrique de raison \(e^{2i\pi/n}\neq1\) : \(\frac{(e^{2i\pi/n})^n - 1}{e^{2i\pi/n}-1} = \frac{1-1}{\cdot} = 0\).
Racines \(n\)-ièmes d'un complexe quelconque \(w = \rho e^{i\varphi}\) :
Elles s'obtiennent en multipliant une racine par les racines \(n\)-ièmes de l'unité.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Mise sous forme exponentielle
Écrire \(z = -1+i\sqrt3\) sous forme exponentielle.
Module : \(|z| = \sqrt{1+3} = 2\).
Argument :
Cosinus négatif, sinus positif : deuxième quadrant. L'angle dont le cosinus vaut \(-\frac12\) et le sinus \(\frac{\sqrt3}{2}\) est \(\frac{2\pi}{3}\).
Si l'on avait utilisé \(\arctan\)
\(\arctan\frac{\sqrt3}{-1} = \arctan(-\sqrt3) = -\frac\pi3\) — un angle du quatrième quadrant, faux de \(\pi\).
Exemple 2 — Puissance
Calculer \((1+i)^{20}\).
Forme exponentielle : \(|1+i| = \sqrt2\), et \(\cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}\) donne \(\theta = \frac\pi4\).
Or \(5\pi \equiv \pi\pmod{2\pi}\), donc \(e^{5i\pi} = e^{i\pi} = -1\).
À comparer : le calcul par développement du binôme demanderait 21 termes.
Exemple 3 — Linéarisation par Euler
Linéariser \(\cos^3\theta\) et en déduire \(\int\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta\).
Par Euler :
Binôme de Newton :
On regroupe les termes conjugués :
Vérification en \(\theta=0\) : \(1 = \frac14+\frac34\) ✓
Primitive :
Exemple 4 — Moivre
Exprimer \(\cos 3\theta\) en fonction de \(\cos\theta\).
Par Moivre :
Développons avec le binôme, en notant \(c=\cos\theta\), \(s=\sin\theta\) :
Par identification des parties réelles :
Vérification en \(\theta=0\) : \(1 = 4-3\) ✓ En \(\theta = \frac\pi3\) : \(\cos\pi = -1\) et \(4\cdot\frac18 - 3\cdot\frac12 = \frac12-\frac32 = -1\) ✓
Exemple 5 — Racines cubiques
Résoudre \(z^3 = 8i\).
Forme exponentielle du second membre : \(|8i| = 8\) et \(\arg(8i) = \frac\pi2\), donc \(8i = 8e^{i\pi/2}\).
Les solutions sont
| \(k\) | Argument | Forme algébrique |
|---|---|---|
| 0 | \(\frac\pi6\) | \(2\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac i2\right) = \sqrt3+i\) |
| 1 | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(-\sqrt3+i\) |
| 2 | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(-2i\) |
Vérification : \((-2i)^3 = -8i^3 = 8i\) ✓ Et \((\sqrt3+i)^3\) : module \(2^3=8\), argument \(3\times\frac\pi6=\frac\pi2\) ✓
Somme des racines : \((\sqrt3+i)+(-\sqrt3+i)+(-2i) = 0\) ✓ (cohérent avec l'absence de terme en \(z^2\) dans \(z^3-8i\)).
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| \(\arg z = \arctan\frac ba\) | Ambigu — utiliser \(\cos\) et \(\sin\) |
| Additionner en forme exponentielle | Repasser en algébrique |
| Oublier que \(\arg\) est défini mod \(2\pi\) | Réduire dans \(]-\pi;\pi]\) |
| \(\lvert e^{i\theta}\rvert = \theta\) | Vaut toujours 1 |
| Oublier des racines \(n\)-ièmes | Il y en a exactement \(n\) |
| Chercher \(\arg(0)\) | Non défini |
Exercices¶
★ Exercice 1. Mettre sous forme exponentielle.
a) \(z=1+i\) b) \(z=-2\) c) \(z=3i\) d) \(z=\sqrt3-i\)
★ Exercice 2. Mettre sous forme algébrique.
a) \(2e^{i\pi/3}\) b) \(e^{-i\pi/4}\) c) \(4e^{i\pi}\) d) \(e^{5i\pi/6}\)
★★ Exercice 3. Calculer en passant par la forme exponentielle.
a) \((1+i)^{12}\) b) \(\left(\dfrac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{6}\) c) \((-1+i)^{10}\)
★★ Exercice 4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\).
a) \(z^4=1\) b) \(z^3=-1\) c) \(z^6=64\)
★★ Exercice 5. Linéariser.
a) \(\sin^2\theta\) b) \(\cos^4\theta\) c) \(\sin^3\theta\)
★★★ Exercice 6. Exprimer \(\sin 3\theta\) en fonction de \(\sin\theta\), puis \(\cos 4\theta\) en fonction de \(\cos\theta\).
★★★ Exercice 7. Soit \(\omega = e^{2i\pi/5}\).
a) Calculer \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\). b) En déduire que \(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5} = -\frac12\). c) Sachant que \(\cos\frac{4\pi}{5}=2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1\), en déduire la valeur exacte de \(\cos\frac{2\pi}{5}\).
★★★ Exercice 8. Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,\mathrm{d}\theta\) en utilisant la linéarisation de l'exercice 5b, puis vérifier avec la formule de Wallis (\(I_4 = \frac{3\pi}{16}\), chapitre 08).
★★★★ Exercice 9. Soit \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)\) pour \(\theta\not\equiv0\pmod{2\pi}\).
a) Montrer que \(S_n = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}\right)\). b) Calculer cette somme géométrique. c) En déduire une expression close de \(S_n\). Indication : factorisez par l'« angle moitié » \(e^{i\theta/2}\) au numérateur et au dénominateur.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. La transformée de Fourier discrète (TFD) d'un signal \((x_0,\dots,x_{N-1})\) est
a) Quel est le lien avec les racines \(N\)-ièmes de l'unité ? b) Combien de multiplications complexes la définition demande-t-elle ? c) La FFT de Cooley-Tukey exploite la relation \(e^{-2i\pi k(n+N/2)/N} = -e^{-2i\pi kn/N}\) pour \(N\) pair. En séparant les indices pairs et impairs, montrer que le coût \(C(N)\) vérifie \(C(N)=2C(N/2)+O(N)\), et en déduire \(C(N)=O(N\log N)\). d) Implémenter la TFD naïve et une FFT récursive, et vérifier qu'elles coïncident sur un signal de taille 8.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(|1+i|=\sqrt2\), \(\cos\theta=\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}\) donne \(\theta=\frac\pi4\).
b) \(|-2|=2\), \(\cos\theta=-1\), \(\sin\theta=0\) donne \(\theta=\pi\).
c) \(|3i|=3\), \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\) donne \(\theta=\frac\pi2\).
d) \(|\sqrt3-i| = \sqrt{3+1}=2\), \(\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\theta=-\frac12\) : quatrième quadrant, \(\theta=-\frac\pi6\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right) = 2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) = 1+i\sqrt3\).
b) \(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\).
c) \(4(\cos\pi+i\sin\pi) = -4\).
d) \(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}+\frac i2\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}\), donc
(\(3\pi\equiv\pi\pmod{2\pi}\).)
b) \(\frac{1+i\sqrt3}{2}\) a pour module \(\frac12\sqrt{1+3}=1\) et pour argument \(\frac\pi3\) : c'est \(e^{i\pi/3}\).
c) \(|-1+i|=\sqrt2\), \(\cos\theta=-\frac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\theta = \frac{\sqrt2}{2}\) : deuxième quadrant, \(\theta = \frac{3\pi}{4}\).
\(\frac{15\pi}{2} = 7\pi+\frac\pi2 \equiv \pi+\frac\pi2 = \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}\), donc \(e^{15i\pi/2} = -i\).
Corrigé — Exercice 4
a) \(z_k = e^{2ik\pi/4} = e^{ik\pi/2}\) pour \(k=0,1,2,3\) :
b) \(-1 = e^{i\pi}\), donc \(z_k = e^{i(\pi+2k\pi)/3}\) pour \(k=0,1,2\) :
c) \(64 = 64e^{i0}\), donc \(z_k = 64^{1/6}e^{2ik\pi/6} = 2e^{ik\pi/3}\) pour \(k=0,\dots,5\) :
Ce sont les sommets d'un hexagone régulier de rayon 2.
Corrigé — Exercice 5
a)
✓ (on retrouve la formule du chapitre 04).
b)
Vérification en \(\theta=0\) : \(\frac18+\frac12+\frac38 = 1\) ✓
c)
Vérification en \(\theta=\frac\pi2\) : \(1 = \frac{3-(-1)}{4}\) ✓
Corrigé — Exercice 6
\(\sin3\theta\). Reprenons le développement de l'exemple 4 :
Par identification des parties imaginaires :
Vérification en \(\theta=\frac\pi6\) : \(\sin\frac\pi2 = 1\) et \(3\cdot\frac12 - 4\cdot\frac18 = \frac32-\frac12 = 1\) ✓
\(\cos4\theta\). Par Moivre à l'ordre 4 :
Partie réelle :
Avec \(s^2 = 1-c^2\) :
Vérification en \(\theta=0\) : \(1 = 8-8+1\) ✓ En \(\theta=\frac\pi4\) : \(\cos\pi = -1\) et \(8\cdot\frac14 - 8\cdot\frac12+1 = 2-4+1 = -1\) ✓
Corrigé — Exercice 7
a) C'est la somme des racines cinquièmes de l'unité, donc 0.
(Ou par la somme géométrique : \(\frac{\omega^5-1}{\omega-1} = \frac{0}{\omega-1} = 0\).)
b) Prenons la partie réelle de la somme nulle :
Or \(\cos\frac{6\pi}{5} = \cos\left(2\pi-\frac{4\pi}{5}\right) = \cos\frac{4\pi}{5}\) et de même \(\cos\frac{8\pi}{5} = \cos\frac{2\pi}{5}\).
\(\blacksquare\)
c) Posons \(x = \cos\frac{2\pi}{5}\). L'indication donne \(\cos\frac{4\pi}{5} = 2x^2-1\), d'où
\(\Delta = 4+16 = 20\), racines \(\frac{-2\pm2\sqrt5}{8} = \frac{-1\pm\sqrt5}{4}\).
Comme \(\frac{2\pi}{5} = 72^\circ\) est dans le premier quadrant, \(x>0\) :
Vérification : \(\cos 72^\circ = 0{,}30902\) ✓
Le lien avec le nombre d'or
\(\frac{\sqrt5-1}{4} = \frac{1}{2\varphi}\) où \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\) est le nombre d'or rencontré en Algèbre 09.
C'est la raison pour laquelle le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas, et pourquoi le nombre d'or y apparaît partout — ses diagonales sont dans le rapport \(\varphi\) avec ses côtés.
Corrigé — Exercice 8
D'après l'exercice 5b :
En \(\theta = \frac\pi2\) : \(\sin 2\pi = 0\), \(\sin\pi = 0\), donc il ne reste que le terme linéaire.
Vérification : c'est exactement \(I_4\) obtenu par la formule de Wallis ✓
Deux méthodes, un résultat
La récurrence de Wallis et la linéarisation par Euler donnent la même valeur. La première est plus rapide quand on veut plusieurs \(I_n\) ; la seconde donne aussi la primitive, pas seulement l'intégrale définie.
Corrigé — Exercice 9
a) \(e^{ik\theta} = \cos k\theta + i\sin k\theta\), donc \(\operatorname{Re}(e^{ik\theta}) = \cos k\theta\). Par linéarité de la partie réelle :
b) C'est une somme géométrique de raison \(q = e^{i\theta}\neq1\) (car \(\theta\not\equiv0\pmod{2\pi}\)) :
c) Factorisation par l'angle moitié. Au numérateur :
Au dénominateur, de même :
En divisant, les \(2i\) s'annulent :
Le facteur \(\frac{\sin(\cdot)}{\sin(\cdot)}\) est réel, donc la partie réelle est immédiate :
Vérification \(n=1\) : \(S_1 = 1+\cos\theta\). La formule donne \(\cos\frac\theta2\cdot\frac{\sin\theta}{\sin\frac\theta2} = \cos\frac\theta2\cdot\frac{2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} = 2\cos^2\frac\theta2 = 1+\cos\theta\) ✓
La technique de l'angle moitié
C'est la technique pour toute somme trigonométrique. Elle sert en traitement du signal (noyau de Dirichlet), en analyse de Fourier, et dans l'analyse des filtres numériques.
Corrigé — Exercice 10
a) Posons \(\omega_N = e^{-2i\pi/N}\), racine \(N\)-ième de l'unité. Alors
La TFD est donc l'évaluation du polynôme \(P(z)=\sum x_n z^n\) en les \(N\) racines \(N\)-ièmes de l'unité : \(X_k = P(\omega_N^k)\).
C'est exactement la structure du chapitre — et la raison pour laquelle la TFD est inversible : la matrice de Vandermonde des racines de l'unité est inversible (déterminant non nul, voir Algèbre 07, exercice 8).
b) Chaque \(X_k\) demande \(N\) multiplications complexes, et il y a \(N\) valeurs de \(k\) : \(N^2\) multiplications.
Pour \(N = 10^6\) (un extrait audio d'environ 20 secondes), cela ferait \(10^{12}\) opérations, soit plusieurs minutes.
c) Séparons les indices pairs et impairs :
Or \(\omega_N^2 = e^{-4i\pi/N} = e^{-2i\pi/(N/2)} = \omega_{N/2}\).
Donc \(E_k\) et \(O_k\) sont exactement des TFD de taille \(N/2\) — sur les échantillons pairs et impairs respectivement.
De plus, pour \(k\) et \(k+\frac N2\) :
d'où
Une seule multiplication \(\omega_N^k O_k\) sert pour deux sorties : c'est le « papillon ».
Le coût vérifie donc
En déroulant sur \(\log_2 N\) niveaux, chacun coûtant \(\frac N2\) :
Gain pour \(N=10^6\) : \(\frac{10^6}{2}\times20 = 10^7\) opérations au lieu de \(10^{12}\) — cent mille fois moins.
L'algorithme qui a rendu le numérique possible
Sans la FFT, il n'y aurait ni MP3, ni JPEG, ni téléphonie mobile, ni imagerie médicale. Et son ingrédient mathématique unique est la relation \(\omega_N^{N/2} = -1\) — c'est-à-dire \(e^{i\pi} = -1\), l'identité d'Euler.
d) Implémentation.
import cmath
def tfd_naive(x):
N = len(x)
return [sum(x[n] * cmath.exp(-2j * cmath.pi * k * n / N)
for n in range(N))
for k in range(N)]
def fft(x):
N = len(x)
if N == 1:
return list(x)
assert N % 2 == 0, "taille doit etre une puissance de 2"
E = fft(x[0::2])
O = fft(x[1::2])
X = [0] * N
for k in range(N // 2):
t = cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * O[k]
X[k] = E[k] + t
X[k + N // 2] = E[k] - t
return X
signal = [1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1]
a, b = tfd_naive(signal), fft(signal)
assert all(abs(u - v) < 1e-10 for u, v in zip(a, b))
print("TFD == FFT :", [f"{v.real:.3f}{v.imag:+.3f}i" for v in b])
Sortie : les deux méthodes coïncident à \(10^{-10}\) près. Le premier coefficient \(X_0 = 20\) est la somme des échantillons — la composante continue.
Fin de la partie Analyse. Chapitre suivant : Probabilité — PROB11.