05 · Langage mathématique

Intuition

Les mathématiques ne sont pas écrites en français : elles sont écrites dans une langue qui ressemble au français, ce qui est bien pire qu'une langue franchement étrangère. « Il existe un \(x\) pour tout \(y\) » et « pour tout \(y\) il existe un \(x\) » se traduisent par le même charabia en français courant, mais désignent deux énoncés dont un seul est généralement vrai.

Ce chapitre est le plus court des prérequis et le plus rentable. Il n'apprend aucun calcul — il apprend à lire, ce qui conditionne tout le reste.

1. Appartenance et inclusion

1.1 Les deux symboles

\[ x \in A \quad\text{« $x$ appartient à $A$ »} \qquad\text{relie un ÉLÉMENT à un ENSEMBLE} \]

\[ A \subset B \quad\text{« $A$ est inclus dans $B$ »} \qquad\text{relie deux ENSEMBLES} \]

L'erreur de niveau

Écrire \(3 \subset \mathbb{N}\) est une faute : \(3\) est un nombre, pas un ensemble. Écrire \(\{3\} \in \mathbb{N}\) en est une autre : \(\{3\}\) est un ensemble à un élément, ce n'est pas un entier.

Le bon usage : \(3 \in \mathbb{N}\) et \(\{3\} \subset \mathbb{N}\).

Cette distinction paraît pédante. Elle devient déterminante en théorie des ensembles, où l'on manipule des ensembles d'ensembles.

1.2 Notation en compréhension

Un ensemble se décrit soit en extension (on liste ses éléments), soit en compréhension (on donne la propriété qui les caractérise).

\[ \{0, 1, 4, 9, 16\} \qquad\text{ou}\qquad \{\,n^2 \mid n \in \mathbb{N},\ n \leqslant 4\,\} \]

La barre \(\mid\) se lit « tel que ». On rencontre aussi le point-virgule ou les deux-points pour le même rôle.

\[ \mathbb{R}^+ = \{\,x \in \mathbb{R} \mid x \geqslant 0\,\} \]

2. Les quantificateurs

Ce sont les deux symboles les plus importants de tout le cours.

\[ \forall \quad\text{« pour tout », « quel que soit »} \]

\[ \exists \quad\text{« il existe au moins un »} \]

On rencontre aussi \(\exists!\) : « il existe un unique ».

2.1 Écriture d'un énoncé quantifié

\[ \forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0 \]

se lit : « pour tout réel \(x\), \(x^2\) est positif ou nul ». C'est vrai.

\[ \exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 2 \]

se lit : « il existe un réel dont le carré vaut 2 ». C'est vrai — deux, même, mais « il existe » n'exige qu'au moins un.

2.2 L'ordre des quantificateurs change tout

Le point le plus important du chapitre

Deux quantificateurs de nature différente ne commutent pas.

Comparons :

\[ \textbf{(A)} \quad \forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x \]

\[ \textbf{(B)} \quad \exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x \]

(A) dit : « pour n'importe quel réel, on peut en trouver un plus grand ». C'est vrai — il suffit de prendre \(y = x+1\). Remarquez que le \(y\) dépend du \(x\) : il est choisi après lui.

(B) dit : « il existe un réel plus grand que tous les autres ». C'est faux — ce serait un plus grand réel, qui n'existe pas. Ici \(y\) est choisi avant \(x\), donc il doit marcher pour tous les \(x\) à la fois.

La règle de lecture

Un quantificateur ne peut dépendre que de ceux écrits à sa gauche.

Dans \(\forall x, \exists y\), le \(y\) peut dépendre de \(x\). Dans \(\exists y, \forall x\), le \(y\) est fixé une fois pour toutes.

C'est exactement la différence entre « chacun a une mère » et « il y a une mère commune à tout le monde ».

2.3 Application : la définition de la limite

C'est l'énoncé quantifié que vous rencontrerez le plus souvent.

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \quad\text{signifie}\quad \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon \]

Décodage, quantificateur par quantificateur :

Morceau	Signification concrète
\(\forall \varepsilon > 0\)	Quelle que soit la marge d'erreur qu'on exige, aussi petite soit-elle
\(\exists N \in \mathbb{N}\)	il existe un rang — qui dépend de \(\varepsilon\)
\(\forall n \geqslant N\)	tel que tous les termes suivants
\(\lvert u_n - \ell\rvert < \varepsilon\)	sont à moins de \(\varepsilon\) de \(\ell\)

Le fait que \(N\) dépende de \(\varepsilon\) est le cœur de la définition. Plus on exige de précision, plus il faut attendre.

3. Implication et équivalence

3.1 L'implication

\[ P \implies Q \quad\text{« $P$ implique $Q$ », « si $P$ alors $Q$ »} \]

Attention : l'implication ne dit rien quand \(P\) est fausse. Elle affirme seulement qu'on ne peut pas avoir \(P\) vraie et \(Q\) fausse simultanément.

\(P\)	\(Q\)	\(P \implies Q\)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Pourquoi « faux implique n'importe quoi » est vrai

L'énoncé « si \(2 = 3\), alors je suis le pape » est vrai en logique mathématique. Cela choque, mais c'est cohérent : l'implication promet seulement que la conclusion tient quand l'hypothèse tient. Si l'hypothèse ne tient jamais, la promesse n'est jamais mise en défaut.

Conséquence pratique : dans une démonstration, une hypothèse contradictoire permet de démontrer n'importe quoi. C'est ce qui rend le raisonnement par l'absurde valide.

3.2 Réciproque, contraposée, négation

À partir de \(P \implies Q\), on forme trois énoncés à ne pas confondre :

Nom	Énoncé	Lien avec l'original
Réciproque	\(Q \implies P\)	Pas équivalente. Peut être vraie ou fausse indépendamment
Contraposée	\(\text{non } Q \implies \text{non } P\)	Équivalente. Toujours de même valeur de vérité
Négation	\(P\) et non \(Q\)	La nie

Exemple. \(P\) : « \(n\) est divisible par 4 ». \(Q\) : « \(n\) est pair ».

• \(P \implies Q\) : vrai.
• Réciproque \(Q \implies P\) : faux (\(n=6\) est pair, pas divisible par 4).
• Contraposée « \(n\) impair \(\implies\) \(n\) non divisible par 4 » : vrai, comme l'original.

La contraposée est un outil de démonstration

Quand \(P \implies Q\) est difficile à prouver directement, prouver \(\text{non } Q \implies \text{non } P\) est exactement équivalent et souvent beaucoup plus facile.

C'est ce qu'on a fait implicitement en montrant « si \(p^2\) est pair alors \(p\) est pair » : on démontre en réalité la contraposée « si \(p\) est impair alors \(p^2\) est impair », qui, elle, se calcule directement.

3.3 L'équivalence

\[ P \iff Q \quad\text{signifie}\quad (P \implies Q) \ \textbf{et} \ (Q \implies P) \]

Se lit « si et seulement si », abrégé « ssi ».

L'abus le plus courant des copies

Enchaîner des \(\iff\) dans un calcul sans vérifier que chaque étape est réversible. Par exemple :

\[ x = 3 \iff x^2 = 9 \]

est faux : l'implication de gauche à droite est vraie, la réciproque non (\(x = -3\)). Il faut écrire \(\implies\), ou ajouter la condition \(x > 0\).

Règle de sécurité : n'écrivez \(\iff\) que si vous êtes capable de justifier les deux sens. Sinon, écrivez \(\implies\) et vérifiez les solutions à la fin.

4. Nier un énoncé

C'est la compétence qui sert le plus en démonstration, et la plus mal maîtrisée.

4.1 Les règles

Énoncé	Sa négation
\(P\) et \(Q\)	(non \(P\)) ou (non \(Q\))
\(P\) ou \(Q\)	(non \(P\)) et (non \(Q\))
\(\forall x,\ P(x)\)	\(\exists x,\ \text{non } P(x)\)
\(\exists x,\ P(x)\)	\(\forall x,\ \text{non } P(x)\)
\(P \implies Q\)	\(P\) et non \(Q\)
\(x \leqslant a\)	\(x > a\)

La mécanique

Pour nier un énoncé quantifié : on échange chaque \(\forall\) avec \(\exists\) en gardant l'ordre, et on nie la propriété finale.

Exemple. Nier « la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) » :

\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \geqslant N,\ |u_n-\ell|<\varepsilon \]

devient

\[ \exists \varepsilon > 0,\ \forall N,\ \exists n \geqslant N,\ |u_n-\ell| \geqslant \varepsilon \]

Traduction : « il existe une marge \(\varepsilon\) que la suite dépasse encore infiniment souvent, aussi loin qu'on aille ».

4.2 Le contre-exemple

Nier un \(\forall\) produit un \(\exists\). Autrement dit :

Pour réfuter une affirmation universelle, un seul contre-exemple suffit

« Tous les nombres premiers sont impairs » est réfuté par \(2\). Un seul. Il est inutile d'en donner plusieurs, et surtout inutile d'expliquer pourquoi l'affirmation semblait plausible.

Symétriquement : pour prouver un \(\forall\), aucun nombre d'exemples ne suffit. Il faut une démonstration.

5. Les grands schémas de démonstration

Schéma	Quand l'utiliser	Comment
Direct	Cas général	On part de \(P\), on déduit \(Q\)
Contraposée	La négation de \(Q\) est plus maniable que \(P\)	On montre non \(Q \implies\) non \(P\)
Absurde	On veut montrer qu'un objet n'existe pas	On suppose le contraire, on aboutit à une contradiction
Disjonction de cas	La propriété se comporte différemment selon les zones	On découpe et on traite chaque cas
Contre-exemple	Pour réfuter un énoncé universel	Un seul exemple qui échoue
Récurrence	Propriété indexée par \(\mathbb{N}\)	Chapitre Algèbre 01
Double inclusion	Montrer \(A = B\) pour des ensembles	\(A \subset B\) et \(B \subset A\)

6. Les notations \(\sum\) et \(\prod\)

6.1 La somme

\[ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

• \(k\) est l'indice de sommation ;
• \(1\) est la borne inférieure, \(n\) la borne supérieure ;
• \(a_k\) est le terme général.

L'indice est muet

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2\) et \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2\) désignent le même nombre. Le nom de l'indice n'apparaît pas dans le résultat — il n'existe qu'à l'intérieur du symbole somme.

Corollaire : l'indice ne doit jamais apparaître hors du \(\sum\). Écrire « \(S = \sum_{k=1}^{n} k\) donc \(S\) dépend de \(k\) » est une faute de logique.

Nombre de termes : de \(k = p\) à \(k = q\), il y a \(q - p + 1\) termes. De 1 à \(n\), il y en a \(n\). De 0 à \(n\), il y en a \(n+1\).

6.2 Propriétés

\[ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \qquad \sum_{k=1}^{n} \lambda a_k = \lambda \sum_{k=1}^{n} a_k \]

\[ \sum_{k=1}^{n} \lambda = n\lambda \quad\text{(terme constant : } n \text{ termes)} \]

Ce qui est FAUX

\[ \sum_{k=1}^{n} (a_k b_k) \neq \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right) \]

La somme est linéaire, elle n'est pas multiplicative. Contre-exemple avec \(n=2\), \(a = (1,1)\), \(b=(1,1)\) : à gauche \(2\), à droite \(4\).

6.3 Sommes de référence

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

\[ \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \quad (q \neq 1) \]

Ces trois formules seront redémontrées par récurrence au chapitre Algèbre 01. La troisième a déjà été établie par télescopage au chapitre 02.

6.4 Le produit

\[ \prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n \]

Cas particulier fondamental : \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} k = n!\), la factorielle.

Par convention, une somme vide vaut \(0\) et un produit vide vaut \(1\) — d'où \(0! = 1\).

7. Symboles à connaître

Symbole	Lecture	Exemple
\(\in\), \(\notin\)	appartient, n'appartient pas	\(\pi \notin \mathbb{Q}\)
\(\subset\)	est inclus dans	\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)
\(\cup\), \(\cap\)	réunion, intersection	\(A \cap B\)
\(\varnothing\)	ensemble vide	\(\mathcal{S} = \varnothing\)
\(\forall\), \(\exists\)	pour tout, il existe	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\implies\), \(\iff\)	implique, équivaut	\(P \implies Q\)
\(\mid\)	divise (arithmétique) ou « tel que » (ensembles)	\(2 \mid 6\)
\(\setminus\)	privé de	\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
\(\mapsto\)	a pour image	\(x \mapsto x^2\)
\(\blacksquare\), \(\square\)	fin de démonstration	—

Le symbole \(\mid\) a deux sens

Dans \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\), il signifie « tel que ». Dans \(3 \mid 12\), il signifie « divise ». Le contexte tranche sans ambiguïté, mais il faut savoir que les deux existent.

Exemples traités

Exemple 1 — Traduire en symboles

« Tout entier pair supérieur à 2 est somme de deux nombres premiers » (conjecture de Goldbach) :

\[ \forall n \in \mathbb{N},\ \big(n > 2 \text{ et } n \text{ pair}\big) \implies \exists p, q \text{ premiers},\ n = p+q \]

Notez la place du \(\exists\) : les nombres premiers \(p\) et \(q\) dépendent de \(n\). Un même couple ne convient évidemment pas pour tous les \(n\).

Exemple 2 — Nier proprement

Nier : « toute fonction continue sur \([0;1]\) y admet un maximum ».

Forme symbolique : \(\forall f \in \mathcal{C}([0;1]),\ \exists x_0 \in [0;1],\ \forall x \in [0;1],\ f(x) \leqslant f(x_0)\).

Négation :

\[ \exists f \in \mathcal{C}([0;1]),\ \forall x_0 \in [0;1],\ \exists x \in [0;1],\ f(x) > f(x_0) \]

En français : « il existe une fonction continue sur \([0;1]\) telle que pour tout point, un autre point donne une valeur strictement plus grande ».

(L'énoncé original est en fait vrai — c'est le théorème des bornes atteintes. Sa négation est donc fausse, ce qui n'empêche pas de savoir l'écrire.)

Exemple 3 — Réciproque et contraposée

Soit l'énoncé vrai : « si \(x > 2\) alors \(x^2 > 4\) ».

Réciproque : « si \(x^2 > 4\) alors \(x > 2\) ». Fausse : \(x = -3\) donne \(x^2 = 9 > 4\) mais \(x < 2\).

Contraposée : « si \(x^2 \leqslant 4\) alors \(x \leqslant 2\) ». Vraie, puisque équivalente à l'original.

Négation : « il existe \(x > 2\) tel que \(x^2 \leqslant 4\) ». Fausse.

Exemple 4 — Manipulation de sommes

Calculer \(\displaystyle S = \sum_{k=1}^{n} (3k - 2)\).

Par linéarité :

\[ S = 3\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{3n^2+3n-4n}{2} = \frac{n(3n-1)}{2} \]

Vérification pour \(n=3\) : \(1 + 4 + 7 = 12\), et \(\frac{3 \times 8}{2} = 12\) ✓.

Erreurs fréquentes

Erreur	Correction
Intervertir \(\forall\) et \(\exists\)	L'ordre change le sens
Confondre réciproque et contraposée	Seule la contraposée est équivalente
Écrire \(\iff\) sans réversibilité	Vérifier les deux sens
Nier \(P \implies Q\) en \(P \implies\) non \(Q\)	La négation est « \(P\) et non \(Q\) »
Faire apparaître l'indice hors du \(\sum\)	L'indice est muet
\(\sum a_k b_k = (\sum a_k)(\sum b_k)\)	Faux

Exercices

★ Exercice 1. Dire si chaque énoncé est vrai ou faux.

a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0\) b) \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0\) c) \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -1\) d) \(\forall n \in \mathbb{N},\ \exists m \in \mathbb{N},\ m > n\) e) \(\exists m \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ m > n\)

★ Exercice 2. Écrire la négation de chaque énoncé.

a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) > 0\) b) \(\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = 2\) c) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0\)

★ Exercice 3. Calculer.

a) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k+1)\) b) \(\displaystyle\sum_{k=0}^{4} 2^k\) c) \(\displaystyle\prod_{k=1}^{4} k\) d) \(\displaystyle\sum_{k=3}^{7} 1\)

★★ Exercice 4. Pour chaque implication, donner la réciproque et la contraposée, et dire lesquelles sont vraies. On travaille dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{Z}\) selon le contexte.

a) « \(x = 2 \implies x^2 = 4\) » b) « \(n\) divisible par 6 \(\implies\) \(n\) divisible par 3 » c) « \(f\) dérivable \(\implies\) \(f\) continue »

★★ Exercice 5. Réfuter par un contre-exemple.

a) « Pour tous réels \(a, b\) : \(\sqrt{a^2+b^2} = a+b\) » b) « Tout entier dont la somme des chiffres est paire est pair » c) « Si \(A \cap B = A \cap C\) alors \(B = C\) »

★★ Exercice 6. Exprimer avec des quantificateurs.

a) « \(f\) est majorée sur \(\mathbb{R}\) » b) « \(f\) n'est pas majorée sur \(\mathbb{R}\) » c) « \(f\) s'annule au moins une fois sur \([0;1]\) » d) « \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\) »

★★★ Exercice 7. Calculer les sommes suivantes en fonction de \(n\).

a) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 - k)\) b) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)\) — puis interpréter le résultat c) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\)

Indication pour c) : remarquez que \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\).

★★★ Exercice 8. Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions.

a) Montrer que \((P \implies Q)\) équivaut à \((\text{non } P \text{ ou } Q)\), en dressant les tables de vérité. b) En déduire la négation de \(P \implies Q\). c) Montrer que la contraposée \((\text{non }Q \implies \text{non }P)\) est équivalente à \(P \implies Q\).

★★★ Exercice 9. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). On considère les deux énoncés :

\[ \textbf{(A)}\quad \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,y \in \mathbb{R},\ |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon \]

\[ \textbf{(B)}\quad \forall x \in \mathbb{R},\ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall y \in \mathbb{R},\ |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon \]

a) Traduire chacun en français. b) Montrer que (A) \(\implies\) (B). c) La réciproque est-elle vraie ? Indication : considérez \(f(x) = x^2\).

★★★★ Exercice 10. Démontrer par double inclusion que pour tous ensembles \(A\), \(B\), \(C\) :

\[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \]

★★★★ Exercice 11 — lien informatique. Une spécification demande : « la fonction search(t, v) renvoie un indice \(i\) tel que t[i] == v, ou \(-1\) si aucun tel indice n'existe ».

a) Écrire la postcondition avec des quantificateurs, en notant \(n\) la longueur du tableau \(t\) et \(r\) la valeur renvoyée. b) Écrire la négation de « il existe un indice \(i\) tel que t[i] == v », et expliquer pourquoi c'est cette formule que doit vérifier le cas \(r = -1\). c) La spécification est-elle déterministe ? Que faudrait-il ajouter pour qu'elle le soit ?

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Corrigés

Corrigé — Exercice 1

a) Faux. Contre-exemple : \(x = 0\) donne \(x^2 = 0\), qui n'est pas strictement positif.

b) Vrai. Un carré de réel est toujours positif ou nul.

c) Faux dans \(\mathbb{R}\). (Vrai dans \(\mathbb{C}\) — c'est la définition de \(i\).)

d) Vrai. Pour tout \(n\), \(m = n+1\) convient.

e) Faux. Ce serait un plus grand entier naturel. Il n'existe pas : \(m+1\) est toujours plus grand que \(m\).

d) et e) ont les mêmes symboles dans un ordre différent

C'est l'illustration la plus économique de la non-commutativité des quantificateurs.

Corrigé — Exercice 2

a) \(\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant 0\).

b) \(\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \neq 2\).

c) \(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ x+y \neq 0\).

(L'énoncé de départ est vrai : \(y = -x\) convient. Sa négation est donc fausse.)

Corrigé — Exercice 3

a) \(\sum_{k=1}^{5}(2k+1) = 2\sum_{k=1}^{5}k + \sum_{k=1}^{5}1 = 2 \times 15 + 5 = 35\). Vérification directe : \(3+5+7+9+11 = 35\) ✓.

b) \(\sum_{k=0}^{4} 2^k = \frac{2^5-1}{2-1} = 31\). Vérification : \(1+2+4+8+16 = 31\) ✓.

c) \(\prod_{k=1}^{4} k = 4! = 24\).

d) De \(k=3\) à \(k=7\) il y a \(7-3+1 = 5\) termes, tous égaux à 1. La somme vaut \(5\).

Corrigé — Exercice 4

a) Original vrai. Réciproque : « \(x^2=4 \implies x=2\) » — fausse (\(x=-2\)). Contraposée : « \(x^2 \neq 4 \implies x \neq 2\) » — vraie.

b) Original vrai (\(n = 6k = 3(2k)\)). Réciproque : « divisible par 3 \(\implies\) divisible par 6 » — fausse (\(n=9\)). Contraposée : « non divisible par 3 \(\implies\) non divisible par 6 » — vraie.

c) Original vrai (théorème du cours d'analyse). Réciproque : « continue \(\implies\) dérivable » — fausse : \(x \mapsto |x|\) est continue en 0 et n'y est pas dérivable. Contraposée : « non continue \(\implies\) non dérivable » — vraie.

Corrigé — Exercice 5

a) \(a = b = 1\) : \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) alors que \(a+b = 2\). (Encore plus net : \(a = 3, b = 4\) donne \(5 \neq 7\).)

b) \(n = 11\) : somme des chiffres \(= 2\), paire, mais \(11\) est impair. (La règle correcte concerne la somme des chiffres et la divisibilité par 3 ou 9, pas par 2.)

c) \(A = \varnothing\), \(B = \{1\}\), \(C = \{2\}\). Alors \(A \cap B = A\cap C = \varnothing\), mais \(B \neq C\).

Contre-exemple non trivial : \(A = \{1\}\), \(B = \{1,2\}\), \(C = \{1,3\}\) donne \(A\cap B = A\cap C = \{1\}\) avec \(B \neq C\).

Corrigé — Exercice 6

a) \(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant M\).

L'ordre compte : \(M\) ne doit pas dépendre de \(x\), sinon l'énoncé serait trivialement vrai (il suffirait de prendre \(M = f(x)\)).

b) \(\forall M \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ f(x) > M\).

c) \(\exists x \in [0;1],\ f(x) = 0\).

d) \(\exists c \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = c\). Écriture équivalente sans constante : \(\forall x, y \in \mathbb{R},\ f(x) = f(y)\).

Corrigé — Exercice 7

a) Par linéarité :

\[ \sum_{k=1}^{n}(k^2-k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} \]

On factorise par \(\frac{n(n+1)}{6}\) :

\[ = \frac{n(n+1)}{6}\big[(2n+1) - 3\big] = \frac{n(n+1)(2n-2)}{6} = \frac{n(n+1)(n-1)}{3} \]

Vérification \(n=3\) : \(0 + 2 + 6 = 8\), et \(\frac{3\times4\times2}{3} = 8\) ✓.

b)

\[ \sum_{k=1}^{n}(2k-1) = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n = n^2+n-n = n^2 \]

Interprétation : la somme des \(n\) premiers nombres impairs vaut \(n^2\). \(1 = 1\), \(1+3 = 4\), \(1+3+5 = 9\), \(1+3+5+7=16\)… C'est le résultat entrevu à l'exercice 6 du chapitre 02 : l'écart entre carrés consécutifs est la suite des impairs.

c) Télescopage :

\[ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k - \frac{1}{k+1}\right) = \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right) \]

Tous les termes intermédiaires s'annulent deux à deux :

\[ = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]

Vérification \(n=2\) : \(\frac12 + \frac16 = \frac23\) ✓.

Une somme qui converge

Quand \(n \to +\infty\), cette somme tend vers 1. C'est un exemple de série convergente, notion qui sera au programme d'Analyse 2 au deuxième semestre.

Corrigé — Exercice 8

a) Tables de vérité.

\(P\)	\(Q\)	\(P \implies Q\)	non \(P\)	non \(P\) ou \(Q\)
V	V	V	F	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Les colonnes 3 et 5 coïncident : les deux propositions sont équivalentes. \(\blacksquare\)

b) La négation de « non \(P\) ou \(Q\) » est, par la loi de De Morgan, « \(P\) et non \(Q\) ». C'est bien la formule annoncée dans la leçon.

c) En appliquant a) à la contraposée :

\[ (\text{non }Q \implies \text{non }P) \equiv (\text{non non }Q \text{ ou non }P) \equiv (Q \text{ ou non }P) \]

Or « \(Q\) ou non \(P\) » est identique à « non \(P\) ou \(Q\) » (le « ou » est commutatif), qui équivaut à \(P \implies Q\) d'après a). \(\blacksquare\)

Corrigé — Exercice 9

a) (A) est la continuité uniforme : une même largeur \(\delta\) fonctionne partout sur \(\mathbb{R}\), quel que soit l'endroit où l'on se place.

(B) est la continuité (en tout point) : pour chaque point \(x\), il existe une largeur \(\delta\) qui convient — mais elle peut dépendre de \(x\).

La différence tient entièrement à la position de \(\forall x\) : avant le \(\exists \delta\) dans (B), après dans (A).

b) Supposons (A). Soient \(x \in \mathbb{R}\) et \(\varepsilon > 0\) quelconques. (A) fournit un \(\delta > 0\) valable pour tous les couples \((x,y)\) ; en particulier il convient pour ce \(x\)-là. Donc (B) est vérifié. \(\blacksquare\)

c) Non, la réciproque est fausse. Prenons \(f(x) = x^2\), qui est continue sur \(\mathbb{R}\), donc vérifie (B).

Montrons qu'elle ne vérifie pas (A). Prenons \(\varepsilon = 1\) et soit \(\delta > 0\) quelconque. Posons \(y = x + \frac{\delta}{2}\), de sorte que \(|x-y| = \frac\delta2 < \delta\). Alors

\[ |f(x)-f(y)| = |x^2 - (x+\tfrac\delta2)^2| = \left|x\delta + \frac{\delta^2}{4}\right| \]

En choisissant \(x\) assez grand — par exemple \(x = \frac{2}{\delta}\) — cette quantité vaut au moins \(2 > 1 = \varepsilon\).

Donc aucun \(\delta\) ne convient uniformément : (A) est fausse. \(\blacksquare\)

La morale

Deux énoncés composés des mêmes symboles, dans un ordre différent, décrivent deux propriétés mathématiques distinctes — et le théorème de Heine, qui dit qu'elles coïncident sur un segment \([a;b]\), est un résultat non trivial précisément à cause de cet écart.

Corrigé — Exercice 10

On montre les deux inclusions.

Sens \(\subset\). Soit \(x \in A \cap (B\cup C)\). Alors \(x \in A\) et \(x \in B \cup C\), c'est-à-dire \(x \in B\) ou \(x \in C\).

• Si \(x \in B\) : comme \(x \in A\), on a \(x \in A\cap B\).
• Si \(x \in C\) : comme \(x \in A\), on a \(x \in A\cap C\).

Dans les deux cas \(x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)\).

Sens \(\supset\). Soit \(x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)\).

• Si \(x \in A\cap B\) : alors \(x\in A\) et \(x \in B \subset B\cup C\).
• Si \(x \in A\cap C\) : alors \(x\in A\) et \(x \in C \subset B\cup C\).

Dans les deux cas \(x \in A\) et \(x \in B\cup C\), donc \(x \in A\cap(B\cup C)\).

Les deux inclusions donnent l'égalité. \(\blacksquare\)

Le schéma général

Pour montrer \(A = B\) entre ensembles, on montre \(A \subset B\) puis \(B \subset A\). Chaque inclusion se démontre en prenant un élément quelconque du premier et en montrant qu'il appartient au second. C'est la méthode qu'on réutilisera systématiquement en Algèbre 02.

Corrigé — Exercice 11

a) Postcondition, avec \(r\) la valeur renvoyée :

\[ \Big(0 \leqslant r < n \ \text{ et }\ t[r] = v\Big) \quad\text{ou}\quad \Big(r = -1 \ \text{ et }\ \forall i \in [\![0;n-1]\!],\ t[i] \neq v\Big) \]

La notation \([\![0;n-1]\!]\) désigne l'ensemble des entiers de 0 à \(n-1\).

b) La négation de \(\exists i \in [\![0;n-1]\!],\ t[i] = v\) est

\[ \forall i \in [\![0;n-1]\!],\ t[i] \neq v \]

C'est bien la condition que doit satisfaire le cas \(r = -1\) : renvoyer \(-1\) n'est correct que si aucun indice ne convient. Une implémentation qui renverrait \(-1\) « par défaut » sans avoir parcouru tout le tableau violerait cette clause — c'est exactement ce que vérifie un outil de preuve statique.

c) Non, la spécification n'est pas déterministe. Si \(v\) apparaît plusieurs fois, plusieurs valeurs de \(r\) satisfont la postcondition : la spécification autorise n'importe laquelle.

Pour la rendre déterministe, il faut ajouter une clause de minimalité :

\[ \forall j \in [\![0;r-1]\!],\ t[j] \neq v \]

c'est-à-dire « \(r\) est le plus petit indice convenable ».

Pourquoi c'est un vrai sujet

Une spécification non déterministe n'est pas fausse — elle laisse une liberté d'implémentation, ce qui peut être voulu. Mais elle interdit de remplacer une implémentation par une autre sans casser le code appelant qui, lui, supposerait le premier indice. C'est le genre de distinction qu'on formalise en logique du premier ordre au deuxième semestre, dans le module LOMA12.

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Fin de la partie Prérequis. Chapitre suivant : Algèbre — ALGE11.