Mathématiques du S1 de la FISA — ENSIIE¶

Cours complet de l'unité d'enseignement [MATH11] Mathématiques, premier semestre de la formation initiale sous statut apprenti (FISA) de l'ENSIIE.

Ce document couvre l'intégralité du programme officiel de l'UE — algèbre, analyse 1, probabilité, modélisation mathématique — en partant d'un niveau seconde. Aucune notion n'est supposée acquise au-delà de ce niveau : les fractions, le calcul littéral, la notion de fonction et le vocabulaire mathématique de base sont réenseignés dans une partie préliminaire avant d'être utilisés.

Objectif¶

À la fin de ce cours, vous devez être capable de :

conduire une démonstration par récurrence correcte, et repérer celles qui ne le sont pas ;
calculer avec des matrices : produit, déterminant, inverse par pivot de Gauss et par comatrice, valeurs propres, diagonalisation, puissance \(n\)-ième ;
dénombrer correctement une situation en choisissant le bon modèle (ordonné ou non, avec ou sans remise) ;
manipuler l'arithmétique modulaire : PGCD, algorithme d'Euclide étendu, identité de Bézout, inverse modulaire, théorème des restes chinois — et comprendre pourquoi ces objets sont la fondation de RSA ;
étudier une fonction d'une variable réelle de bout en bout : limites, continuité, dérivation, variations, asymptotes ;
calculer une intégrale par les trois techniques du programme : intégration par parties, changement de variable, décomposition en éléments simples — et statuer sur la convergence d'une intégrale impropre ;
utiliser les nombres complexes sous leurs trois formes, et s'en servir en géométrie comme en algèbre ;
construire un modèle probabiliste à partir d'un énoncé, calculer des probabilités conditionnelles, appliquer la formule de Bayes ;
travailler avec des variables aléatoires discrètes et continues, connaître les lois usuelles, calculer espérances et variances ;
manipuler des couples et des vecteurs aléatoires, une matrice de covariance, un vecteur gaussien — et savoir pourquoi l'indépendance et la corrélation nulle ne sont pas la même chose, sauf dans le cas gaussien ;
modéliser un problème concret, le résoudre par l'outil informatique, et critiquer la qualité du résultat obtenu.

Public visé¶

Trois profils, avec des parcours différents décrits dans le parcours de lecture :

futur apprenti FISA qui veut arriver préparé au premier semestre ;
apprenti en cours de S1 qui cherche un cours complet en parallèle des séances, avec des exercices corrigés en nombre ;
autodidacte qui veut le socle mathématique d'une école d'ingénieurs en informatique, sans nécessairement viser l'ENSIIE.

Prérequis¶

Niveau seconde. Concrètement : savoir ce qu'est une fraction, une puissance, une équation. Rien de plus. La partie Prérequis reconstruit tout le reste — calcul littéral, identités remarquables, inéquations, fonctions affines et polynômes du second degré, et le langage mathématique lui-même (quantificateurs, implication, notations \(\sum\) et \(\prod\)).

Si vous sortez d'une terminale avec spécialité mathématiques, la partie Prérequis se survole en une heure. Si vos maths datent, elle est le cœur du cours et mérite une semaine.

Durée et difficulté¶


Chapitres	46, répartis en 5 parties
Exercices	Plus de 300, tous corrigés
Lecture seule	18 à 22 h
Travail complet, exercices compris	90 à 130 h
Difficulté de départ	★☆☆☆ — niveau seconde
Difficulté d'arrivée	★★★★ — niveau L1/L2 d'école d'ingénieurs

Le cours officiel représente 56 séances de 1 h 45, soit environ 98 heures encadrées. L'ordre de grandeur du travail personnel demandé ici est donc comparable au volume réel de l'UE.

Les cinq parties¶

Prérequis — remettre le socle en place ¶

Cinq chapitres pour redémarrer de zéro : nombres et calcul, calcul littéral, équations et inéquations, fonctions et graphes, et le langage mathématique. C'est la partie qui rend le reste lisible sans jamais devoir chercher ailleurs.

Algèbre — ALGE11 ¶

Treize chapitres suivant exactement le programme du module : preuve par récurrence, ensembles et applications, combinatoire, calcul matriciel complet (opérations, pivot de Gauss, déterminant, inversion, valeurs propres, diagonalisation), puis arithmétique jusqu'au théorème des restes chinois.

Analyse 1 — ANAL11 ¶

Onze chapitres : fonctions d'une variable réelle de A à Z, calcul intégral avec ses trois techniques, et nombres complexes sous leurs trois formes.

Probabilité — PROB11 ¶

Douze chapitres, de la définition d'un univers jusqu'aux vecteurs gaussiens et aux théorèmes limites, en passant par le dénombrement, Bayes, et les lois usuelles discrètes et continues.

Modélisation mathématique — MOMA11 ¶

Cinq chapitres sur la seule compétence de l'UE qui ne soit pas un calcul : transformer un problème concret en modèle, le résoudre par l'ordinateur, et juger si la réponse obtenue vaut quelque chose.

Annexes ¶

Formulaire complet, glossaire de tous les termes introduits, et sources.

Comment ce cours est construit¶

Chaque chapitre suit la même structure :

Intuition — de quoi il s'agit, en français, avant toute formule.
Leçon — définitions, propriétés, démonstrations. Chaque symbole employé dans une formule est défini juste après elle.
Exemples traités — des calculs menés intégralement, sans étape sautée.
Erreurs fréquentes — ce qui fait perdre des points, et pourquoi.
Exercices — de 6 à 12 par chapitre, cotés ★ à ★★★★, explorant volontairement des angles différents : calcul direct, démonstration, contre-exemple, modélisation, lien avec l'informatique.
Corrigés — en fin de chapitre, repliés pour ne pas être lus par accident, et rédigés intégralement.

Comment lire un cours de maths

Si vous n'avez jamais travaillé un cours de mathématiques sérieusement, le chapitre Comment travailler ce cours explique la méthode — et elle change tout. Lire un cours de maths comme on lit un article ne fonctionne pas.

Origine du contenu¶

Le programme couvert est celui de la brochure officielle des enseignements de la FISA, version 2026-2027 du 28 avril 2026, module [MATH11] et ses quatre sous-modules ALGE11, ANAL11, PROB11 et MOMA11. La liste des notions est reproduite fidèlement dans l'index de chaque partie.

Le contenu pédagogique — leçons, démonstrations, exemples, exercices, corrigés — est entièrement rédigé pour ce cours. L'ENSIIE ne publie pas ses supports de cours ; ce document n'est donc pas une reproduction du cours de l'école, mais un cours indépendant couvrant le même programme.

Le module MOMA11 n'a pas de contenu publié

La rubrique « Contenu » du module de modélisation mathématique est vide dans les brochures 2024-2025 et 2026-2027. Seule la méthode est décrite. La partie Modélisation enseigne donc cette méthode et l'illustre sur des séances-types construites pour ce cours — elles ne prétendent pas être les sujets réellement traités à l'ENSIIE.

Créé le 30 août 2026 · programme de référence : brochure des enseignements FISA 2026-2027, version du 28 avril 2026 · niveau de départ : seconde · sources