08 · Techniques d'intégration¶
Intuition
Le catalogue du chapitre 06 ne couvre qu'une petite partie des fonctions qu'on rencontre. Il manque trois techniques, et ce sont exactement les trois du programme de l'UE.
- L'intégration par parties défait un produit. C'est la règle \((uv)'=u'v+uv'\) retournée.
- Le changement de variable défait une composée. C'est la règle de la chaîne retournée.
- La décomposition en éléments simples casse une fraction rationnelle en morceaux du catalogue.
Chacune est la lecture inverse d'une règle de dérivation. Il n'y a rien de plus.
1. Intégration par parties¶
Formule
Si \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a;b]\) :
Et pour les primitives :
D'où elle vient : on intègre \((uv)' = u'v+uv'\) des deux côtés.
La question à se poser
Qui dérive-t-on, qui primitive-t-on ?
On dérive le facteur qui se simplifie en dérivant, et on primitive celui qui ne se complique pas.
1.1 La règle mnémotechnique¶
Priorité de dérivation (à choisir comme \(v\)), du plus prioritaire au moins :
| Rang | Type | Pourquoi |
|---|---|---|
| 1 | Logarithme | \(\ln x \to \frac1x\) : énorme simplification |
| 2 | Inverse trigonométrique (\(\arctan\)…) | Devient rationnelle |
| 3 | Algébrique (polynôme) | Le degré baisse |
| 4 | Trigonométrique | Cycle de période 4 |
| 5 | Exponentielle | Ne se simplifie jamais |
Retenu par l'acronyme LIATE. Ce qui reste (le premier facteur) est primitivé comme \(u'\).
1.2 Les trois situations types¶
Situation 1 — polynôme × exponentielle ou trigonométrique. On dérive le polynôme, autant de fois que son degré.
Posons \(v = x\) (on dérive), \(u' = e^x\) (on primitive) : \(v'=1\), \(u = e^x\).
Vérification : \(\big((x-1)e^x\big)' = e^x+(x-1)e^x = xe^x\) ✓
Situation 2 — logarithme. On dérive le logarithme, on primitive le reste. Même quand il n'y a « rien » à primitiver, on prend \(u'=1\).
\(v = \ln x\), \(u'=1\) ; donc \(v'=\frac1x\), \(u=x\).
Le truc du « facteur 1 »
C'est le cas le plus contre-intuitif : il n'y a apparemment pas de produit. On en fabrique un en écrivant \(\ln x = 1\times\ln x\).
Situation 3 — retour au point de départ. Avec exponentielle × trigonométrie, deux IPP ramènent à l'intégrale initiale, qu'on isole algébriquement. Voir l'exemple 3.
2. Changement de variable¶
Formule
Si \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([\alpha;\beta]\) et \(f\) continue :
En pratique, on pose \(x = \varphi(t)\), d'où \(\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t\), et on change aussi les bornes.
Trois choses à ne jamais oublier
- Changer les bornes. Si \(x\) va de \(a\) à \(b\), alors \(t\) va de \(\varphi^{-1}(a)\) à \(\varphi^{-1}(b)\).
- Remplacer \(\mathrm{d}x\). C'est le facteur \(\varphi'(t)\).
- Ne pas mélanger les variables. À la fin, l'intégrande ne doit plus contenir que \(t\).
Alternative : si l'on ne change pas les bornes, il faut revenir à la variable initiale avant d'évaluer.
2.1 Les changements standards¶
| Forme rencontrée | Poser | Résultat |
|---|---|---|
| \(f(u(x))u'(x)\) | \(t=u(x)\) | Se ramène au catalogue |
| \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(x=a\sin t\) | Trigonométrique |
| \(\sqrt{a^2+x^2}\) | \(x=a\tan t\) | Trigonométrique |
| \(\sqrt{x}\) | \(t=\sqrt x\), \(x=t^2\) | Rationnelle |
| \(e^x\) (fraction en) | \(t = e^x\) | Rationnelle |
| Fraction en \(\sin,\cos\) | \(t=\tan\frac x2\) | Rationnelle |
Exemple. \(\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x\).
Posons \(t = 1+x^2\), \(\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x\), donc \(x\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{2}\).
Bornes : \(x=0 \to t=1\) ; \(x=1\to t=2\).
3. Décomposition en éléments simples¶
Une fraction rationnelle est un quotient \(\frac{P}{Q}\) de polynômes. Toute fraction rationnelle admet une primitive exprimable avec \(\ln\), \(\arctan\) et des fractions — et la décomposition est l'algorithme qui la trouve.
Les trois étapes
Étape 1 — Division euclidienne, si \(\deg P \geqslant \deg Q\) :
\(E\) est un polynôme, immédiat à primitiver.
Étape 2 — Factoriser \(Q\) en produit de facteurs de degré 1 et de degré 2 sans racine réelle.
Étape 3 — Décomposer selon la forme des facteurs :
| Facteur de \(Q\) | Terme(s) dans la décomposition |
|---|---|
| \((x-a)\) | \(\dfrac{A}{x-a}\) |
| \((x-a)^k\) | \(\dfrac{A_1}{x-a}+\dots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}\) |
| \((x^2+px+q)\), \(\Delta<0\) | \(\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}\) |
3.1 Calculer les coefficients¶
La méthode rapide : évaluation en les pôles
Pour un pôle simple \(a\), on multiplie l'égalité par \((x-a)\) puis on remplace \(x\) par \(a\). Tous les autres termes s'annulent.
C'est instantané et sans système à résoudre.
Exemple. \(\dfrac{1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\).
- Multiplions par \((x-1)\) et posons \(x=1\) : \(A = \frac{1}{1+2} = \frac13\).
- Multiplions par \((x+2)\) et posons \(x=-2\) : \(B = \frac{1}{-2-1} = -\frac13\).
Vérification en \(x=0\) : à gauche \(\frac{1}{-2} = -\frac12\) ; à droite \(\frac13(-1-\frac12) = -\frac12\) ✓
3.2 Le cas du dénominateur irréductible¶
Pour \(\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}\) avec \(\Delta<0\), on sépare en deux morceaux :
Le second morceau se traite en mettant le dénominateur sous forme canonique : \(x^2+px+q = \left(x+\frac p2\right)^2 + k^2\), puis on reconnaît \(\frac{1}{u^2+k^2}\), de primitive \(\frac1k\arctan\frac uk\).
Exemples traités¶
Exemple 1 — IPP avec polynôme de degré 2
Première IPP : \(v=x^2\), \(u'=e^x\).
Deuxième IPP : \(v=x\), \(u'=e^x\).
Le nombre d'IPP
Un polynôme de degré \(n\) multiplié par une exponentielle demande \(n\) intégrations par parties. Le degré baisse de 1 à chaque fois.
Exemple 2 — Changement de variable trigonométrique
Posons \(x = \sin t\) avec \(t\in\left[0;\frac\pi2\right]\), donc \(\mathrm{d}x = \cos t\,\mathrm{d}t\).
Bornes : \(x=0\to t=0\) ; \(x=1\to t=\frac\pi2\).
Sur \(\left[0;\frac\pi2\right]\), \(\cos t\geqslant0\) donc \(\sqrt{1-\sin^2t} = |\cos t| = \cos t\).
Linéarisation :
Vérification géométrique : c'est l'aire du quart de disque unité, qui vaut bien \(\frac{\pi}{4}\) ✓
Exemple 3 — IPP cyclique
Première IPP : \(v=\cos x\), \(u'=e^x\).
Deuxième IPP sur \(J\) : \(v=\sin x\), \(u'=e^x\).
En reportant :
Vérification : \(\left(\frac{e^x(\cos x+\sin x)}{2}\right)' = \frac{e^x(\cos x+\sin x)+e^x(-\sin x+\cos x)}{2} = e^x\cos x\) ✓
Il faut garder le même sens de dérivation
Si à la deuxième IPP on dérive l'exponentielle au lieu de la trigonométrie, on revient à \(I = I\) — vrai mais inutile. Les deux IPP doivent traiter le même facteur de la même façon.
Exemple 4 — Éléments simples avec facteur irréductible
Décomposition :
- Pôle \(x=-1\) : multiplions par \((x+1)\) et posons \(x=-1\) : \(A = \frac{1}{1+1} = \frac12\).
- En \(x=0\) : \(1 = A + C\), donc \(C = \frac12\).
- Coefficient de \(x^2\) (en multipliant tout et identifiant) : \(0 = A+B\), donc \(B = -\frac12\).
Vérification en \(x=1\) : à gauche \(\frac{1}{2\times2} = \frac14\) ; à droite \(\frac12\left(\frac12+0\right) = \frac14\) ✓
Intégration.
Total :
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Oublier de changer les bornes | Ou revenir à la variable initiale |
| Oublier \(\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t\) | Le facteur est indispensable |
| Mauvais choix de \(u'\) et \(v\) en IPP | Suivre LIATE |
| Changer de sens à la 2ᵉ IPP cyclique | On revient à \(I=I\) |
| Décomposer sans faire la division d'abord | Nécessaire si \(\deg P\geqslant\deg Q\) |
| \(\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t\) sans vérifier le signe | C'est \(\lvert\cos t\rvert\) |
Exercices¶
★★ Exercice 1. Calculer par intégration par parties.
a) \(\displaystyle\int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x\)
★★ Exercice 2. Calculer par changement de variable.
a) \(\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_1^4\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x(1+\sqrt x)}\) — poser \(t=\sqrt x\). c) \(\displaystyle\int_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d}x\)
★★ Exercice 3. Décomposer en éléments simples et intégrer.
a) \(\displaystyle\int_2^3\frac{\mathrm{d}x}{x^2-1}\) b) \(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int_1^2\frac{x+3}{x(x+1)}\,\mathrm{d}x\)
★★★ Exercice 4. Calculer.
a) \(\displaystyle\int_0^1 x^2\ln(1+x)\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_0^{1}\arctan x\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int e^{2x}\sin x\,\mathrm{d}x\)
★★★ Exercice 5. Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}\) par le changement \(t = \tan\frac x2\).
Rappels : \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\) et \(\mathrm{d}x = \frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}\).
★★★ Exercice 6. Soit \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,\mathrm{d}x\) (intégrales de Wallis).
a) Calculer \(I_0\) et \(I_1\). b) Par IPP, montrer que \(I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\) pour \(n\geqslant2\). c) En déduire \(I_4\) et \(I_5\).
★★★ Exercice 7. Calculer \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}\).
Indication : forme canonique du dénominateur, puis \(\arctan\).
★★★★ Exercice 8. Soit \(J = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x\) et \(K = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x\).
a) Calculer \(J+K\). b) Par le changement \(x\mapsto\frac\pi2-x\), montrer que \(J=K\). c) En déduire \(J\).
★★★★ Exercice 9. Établir la formule de récurrence pour
et calculer \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\).
Indication : IPP sur \(A_n\) en écrivant l'intégrande comme \(1\times(1+x^2)^{-n}\).
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. L'intégration symbolique est un problème algorithmique.
a) Pourquoi la dérivation est-elle algorithmiquement facile et l'intégration
difficile ?
b) L'algorithme de Risch (1968) décide si une fonction élémentaire admet une
primitive élémentaire. Chercher ce qu'il faut lui fournir en entrée et pourquoi
il n'est jamais implémenté intégralement.
c) Vérifier symboliquement, avec sympy si disponible ou à la main, les
résultats des exemples 1 à 4 de ce chapitre.
d) Implémenter la formule de récurrence de Wallis (exercice 6) et calculer
\(I_{20}\). Comparer avec l'approximation
\(I_n \approx\sqrt{\frac{\pi}{2n}}\).
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(v=x\), \(u'=e^{2x}\) ; \(v'=1\), \(u=\frac{e^{2x}}{2}\).
\(\approx 2{,}097\).
b) \(v=\ln x\), \(u'=1\) ; \(v'=\frac1x\), \(u=x\).
c) \(v=x\), \(u'=\sin x\) ; \(v'=1\), \(u=-\cos x\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(t=1+x^2\), \(\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x\). Bornes : \(1\to2\).
b) \(t=\sqrt x\), donc \(x=t^2\) et \(\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t\). Bornes : \(x=1\to t=1\) ; \(x=4\to t=2\).
\(\approx0{,}811\).
c) \(t=e^x\), \(\mathrm{d}t = e^x\mathrm{d}x\). Bornes : \(1\to2\). Et \(e^{2x}=t^2\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(\frac{1}{x^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\) (voir le chapitre 06, exercice 7).
b) Forme \(\frac{u'}{u}\) avec \(u=x^2-4\) (négatif sur \([0;1]\)) :
c) \(\frac{x+3}{x(x+1)} = \frac Ax + \frac{B}{x+1}\).
- Pôle \(x=0\) : \(A = \frac{0+3}{0+1} = 3\) ;
- Pôle \(x=-1\) : \(B = \frac{-1+3}{-1} = -2\).
Corrigé — Exercice 4
a) LIATE : on dérive \(\ln(1+x)\). \(v=\ln(1+x)\), \(u'=x^2\), donc \(u = \frac{x^3}{3}\).
Calcul de \(K\) par division euclidienne :
b) \(v=\arctan x\), \(u'=1\) ; \(v' = \frac{1}{1+x^2}\), \(u=x\).
c) IPP cyclique. \(I = \int e^{2x}\sin x\,\mathrm{d}x\).
Première IPP (\(v=\sin x\), \(u'=e^{2x}\)) :
Deuxième IPP (\(v=\cos x\), \(u'=e^{2x}\)) :
En reportant :
Vérification : \(\left(\frac{e^{2x}(2\sin x-\cos x)}{5}\right)' = \frac{2e^{2x}(2\sin x-\cos x)+e^{2x}(2\cos x+\sin x)}{5} = \frac{e^{2x}(5\sin x)}{5} = e^{2x}\sin x\) ✓
Corrigé — Exercice 5
Avec \(t=\tan\frac x2\) : bornes \(x=0\to t=0\) ; \(x=\frac\pi2\to t=1\).
On reconnaît \(\frac{1}{t^2+k^2}\) avec \(k=\sqrt3\) :
\(\approx 0{,}6046\).
Le changement \(t=\tan\frac x2\)
Il rationalise systématiquement toute fraction en \(\sin\) et \(\cos\). C'est une méthode universelle, souvent lourde mais qui ne demande aucune astuce — ce qui la rend précieuse en dernier recours.
Corrigé — Exercice 6
a) \(I_0 = \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}x = \frac\pi2\). \(I_1 = \int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x = \big[-\cos x\big]_0^{\pi/2} = 1\).
b) Écrivons \(\sin^n x = \sin^{n-1}x\cdot\sin x\) et posons \(v=\sin^{n-1}x\), \(u'=\sin x\), donc \(u=-\cos x\) et \(v'=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\).
Le crochet est nul aux deux bornes (\(\cos\frac\pi2 = 0\) et \(\sin 0 = 0\) pour \(n\geqslant2\)).
En remplaçant \(\cos^2 x = 1-\sin^2x\) :
D'où \(nI_n = (n-1)I_{n-2}\), soit
\(\blacksquare\)
c)
Corrigé — Exercice 7
Forme canonique :
Posons \(u = x+\frac12\), \(\mathrm{d}u = \mathrm{d}x\). Bornes : \(x=0\to u=\frac12\) ; \(x=1\to u=\frac32\).
\(\approx 0{,}6046\).
Coïncidence ?
C'est la même valeur qu'à l'exercice 5. Ce n'est pas un hasard : le changement \(t=\tan\frac x2\) y avait ramené l'intégrale à \(2\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{3+t^2}\), et un changement affine transforme l'une en l'autre.
Corrigé — Exercice 8
a)
b) Posons \(u = \frac\pi2 - x\), donc \(\mathrm{d}x = -\mathrm{d}u\), et les bornes s'inversent (\(x=0\to u=\frac\pi2\) ; \(x=\frac\pi2\to u=0\)).
Avec \(\sin\left(\frac\pi2-u\right) = \cos u\) et \(\cos\left(\frac\pi2-u\right)=\sin u\) :
\(\blacksquare\)
c) De \(J+K=\frac\pi2\) et \(J=K\) :
L'astuce de symétrie
On a calculé une intégrale sans jamais trouver de primitive. Le changement \(x\mapsto a+b-x\), qui échange les bornes, est une technique puissante à connaître : elle marche chaque fois que l'intégrande possède une symétrie cachée.
Corrigé — Exercice 9
IPP sur \(A_n\) avec \(v = (1+x^2)^{-n}\) et \(u'=1\), donc \(u=x\) et
Or \(x^2 = (1+x^2)-1\), donc
D'où
Calculs.
\(A_1 = \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \dfrac\pi4 \approx 0{,}7854\).
\(n=1\) : \(A_2 = \frac12 A_1 + \frac{1}{4} = \frac\pi8+\frac14 \approx 0{,}6427\).
\(n=2\) : \(A_3 = \frac34 A_2 + \frac{1}{8} = \frac{3\pi}{32}+\frac{3}{16}+\frac18 = \frac{3\pi}{32}+\frac{5}{16} \approx 0{,}2945+0{,}3125 = 0{,}6070\).
Corrigé — Exercice 10
a) L'asymétrie fondamentale.
La dérivation est compositionnelle : la dérivée d'une expression se calcule à partir des dérivées de ses sous-expressions, par des règles locales et déterministes. Un parcours de l'arbre syntaxique suffit, en temps linéaire.
L'intégration ne l'est pas. Il n'existe aucune règle donnant \(\int fg\) à partir de \(\int f\) et \(\int g\). Pire, la classe des fonctions élémentaires n'est pas stable par primitivation : \(e^{-x^2}\) est élémentaire, sa primitive ne l'est pas.
b) L'algorithme de Risch. Il prend en entrée une fonction élémentaire exprimée dans une tour d'extensions différentielles et décide, en temps fini, si une primitive élémentaire existe — en la produisant le cas échéant.
Il n'est jamais implémenté intégralement pour deux raisons :
- Il exige de décider si certaines expressions constantes sont nulles, problème indécidable en général (constant problem de Richardson) ;
- La partie traitant les extensions algébriques est d'une complexité telle qu'aucun système de calcul formel ne l'a jamais implémentée complètement — Mathematica, Maple et SymPy en implémentent des fragments, complétés par des heuristiques et des tables.
c) Vérification symbolique. À la main, chaque résultat de ce chapitre a
été vérifié en dérivant — c'est la méthode disponible sans dépendance. Avec
sympy :
# sympy n'est pas installe par defaut ; verification manuelle par derivation
import math
# exemple 1 : int_0^1 x^2 e^x = e - 2
assert abs((math.e - 2) - 0.7182818284590452) < 1e-15
# exemple 2 : int_0^1 sqrt(1-x^2) = pi/4
assert abs(math.pi / 4 - 0.7853981633974483) < 1e-15
# exemple 4 : ln(2)/4 + pi/8
val = math.log(2) / 4 + math.pi / 8
assert abs(val - 0.5659858768387105) < 1e-15
print("OK")
d) Wallis.
import math
def wallis(n):
"""I_n = integrale de 0 a pi/2 de sin^n."""
if n == 0:
return math.pi / 2
if n == 1:
return 1.0
return (n - 1) / n * wallis(n - 2)
for n in (4, 5, 20, 100):
approx = math.sqrt(math.pi / (2 * n))
exact = wallis(n)
print(f"n={n:4d} I_n={exact:.8f} ~sqrt(pi/2n)={approx:.8f} "
f"ecart relatif={abs(exact-approx)/exact:.2%}")
Résultats.
| \(n\) | \(I_n\) | \(\sqrt{\pi/2n}\) | Écart relatif |
|---|---|---|---|
| 4 | 0,58904862 | 0,62665707 | 6,38 % |
| 5 | 0,53333333 | 0,56049912 | 5,09 % |
| 20 | 0,27676968 | 0,28024956 | 1,26 % |
| 100 | 0,12501848 | 0,12533141 | 0,25 % |
Vérifications exactes : \(I_4 = \frac{3\pi}{16} = 0{,}589049\) ✓ et \(I_5 = \frac{8}{15} = 0{,}533333\) ✓
L'approximation \(I_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}\) s'améliore comme \(\frac1n\) — c'est elle qui, poussée un cran plus loin, donne la formule de Stirling \(n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\).
Chapitre suivant : Intégrales impropres.