06 · Variables aléatoires discrètes¶
Intuition
Jusqu'ici, on parlait d'événements : « obtenir un 6 », « la pièce est défectueuse ». Une variable aléatoire franchit une étape : elle attache un nombre à chaque issue.
« La somme des deux dés », « le nombre de pannes », « le gain du joueur » — ce sont des variables aléatoires. Et parce que ce sont des nombres, on peut en faire une moyenne (l'espérance) et mesurer leur dispersion (la variance).
C'est le passage du qualitatif au quantitatif, et c'est ce qui rend les probabilités calculatoires.
1. Définition¶
Définition
Une variable aléatoire réelle \(X\) sur \(\Omega\) est une application
Elle est discrète si \(X(\Omega)\) est fini ou dénombrable.
Une variable aléatoire n'est ni variable, ni aléatoire
C'est une fonction, parfaitement déterministe. Ce qui est aléatoire, c'est l'issue \(\omega\) qu'on lui donne en entrée.
La notation trompe : \(X\) désigne la fonction, \(X(\omega)\) un nombre.
Notations événementielles. On écrit
C'est une image réciproque au sens du chapitre Algèbre 03 — donc un événement, dont on peut calculer la probabilité.
De même \((X\leqslant k)\), \((X > k)\), \((a\leqslant X\leqslant b)\).
2. Loi de probabilité¶
Définition
La loi de \(X\) est la donnée de \(P(X=x_i)\) pour tout \(x_i \in X(\Omega)\).
Elle vérifie nécessairement
Le contrôle systématique
Vérifiez toujours que la somme vaut 1. C'est le seul contrôle qui valide l'ensemble d'un tableau de loi, et il attrape la quasi-totalité des erreurs.
Fonction de répartition :
Elle est croissante, en escalier pour une variable discrète, de limite 0 en \(-\infty\) et 1 en \(+\infty\).
3. Espérance¶
Définition
(sous réserve de convergence absolue si \(X(\Omega)\) est infini.)
Interprétation : c'est la moyenne pondérée des valeurs, chacune pesée par sa probabilité. C'est aussi la valeur vers laquelle converge la moyenne empirique sur un grand nombre de répétitions — la loi des grands nombres, chapitre 12.
Propriétés — la linéarité avant tout
La seconde est vraie même si \(X\) et \(Y\) ne sont PAS indépendantes. C'est la propriété la plus puissante du chapitre, et celle qu'on sous-utilise le plus.
L'espérance n'est pas multiplicative en général
\(\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) n'est vrai que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes — voir chapitre 10.
Et \(\mathbb{E}[g(X)] \neq g(\mathbb{E}[X])\) en général. Par exemple \(\mathbb{E}[X^2]\neq\mathbb{E}[X]^2\) — leur différence est précisément la variance.
Théorème de transfert
Pour toute fonction \(g\) :
On calcule dans la loi de \(X\), sans avoir besoin de déterminer la loi de \(g(X)\). C'est un gain de temps considérable.
Une variable est dite centrée si \(\mathbb{E}[X]=0\).
4. Variance et écart-type¶
Définitions
Interprétation : la variance mesure la dispersion autour de la moyenne. L'écart-type est dans la même unité que \(X\), ce qui le rend plus interprétable.
Formule de König-Huygens
C'est toujours la formule à utiliser en pratique : elle demande deux sommes simples au lieu d'un calcul avec des écarts.
Démonstration
Posons \(\mu=\mathbb{E}[X]\). Par linéarité :
\(\blacksquare\)
Propriétés
- Le \(b\) disparaît : translater ne change pas la dispersion.
- Le \(a\) est au carré : c'est pourquoi l'écart-type prend la valeur absolue.
La variance n'est pas additive en général
\(\operatorname{V}(X+Y) = \operatorname{V}(X)+\operatorname{V}(Y)\) n'est vrai que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes (ou au moins non corrélées). Le terme manquant est \(2\operatorname{Cov}(X,Y)\) — chapitre 10.
Variable centrée réduite :
C'est la standardisation utilisée partout en statistique.
5. Méthode : déterminer une loi¶
Le protocole
- Identifier \(X(\Omega)\) : quelles valeurs \(X\) peut-elle prendre ?
- Calculer \(P(X=k)\) pour chaque valeur — par dénombrement, arbre ou reconnaissance d'une loi usuelle.
- Vérifier \(\sum P = 1\).
- Calculer \(\mathbb{E}[X]\) puis \(\mathbb{E}[X^2]\), et en déduire la variance par König-Huygens.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Loi complète
On lance deux dés. Soit \(X\) la somme. Déterminer la loi, l'espérance et la variance.
\(X(\Omega) = \{2,3,\dots,12\}\), et \(\operatorname{Card}\Omega=36\).
| \(k\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(36P(X=k)\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Contrôle : \(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36\) ✓
Espérance — par la définition :
Espérance — par la linéarité (bien plus rapide). Notons \(D_1, D_2\) les deux dés : \(X = D_1+D_2\) et \(\mathbb{E}[D_i] = \frac{1+\dots+6}{6} = \frac72\).
Variance. Pour un dé : \(\mathbb{E}[D^2] = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}\), donc
Les dés étant indépendants, les variances s'ajoutent :
Exemple 2 — Espérance de gain
Un jeu coûte 2 €. On lance un dé : on gagne 6 € si l'on fait 6, 3 € si l'on fait 5, rien sinon. Le jeu est-il favorable ?
Soit \(G\) le gain net.
| \(g\) | \(-2\) | \(1\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac46\) | \(\frac16\) | \(\frac16\) |
Le jeu est défavorable : on perd en moyenne 50 centimes par partie.
Variance. \(\mathbb{E}[G^2] = \frac{4\times4+1+16}{6} = \frac{33}{6} = 5{,}5\).
L'écart-type est plus de quatre fois l'espérance en valeur absolue : le jeu est très volatil, ce qui masque sa défaveur sur peu de parties.
Exemple 3 — La puissance de la linéarité
On distribue au hasard \(n\) chapeaux à \(n\) personnes. Quel est le nombre moyen de personnes qui récupèrent le leur ?
Soit \(X\) ce nombre et \(X_i\) l'indicatrice « la personne \(i\) récupère son chapeau » (valant 1 ou 0).
Par linéarité — sans aucune hypothèse d'indépendance, qui serait fausse :
En moyenne, exactement une personne récupère son chapeau, quel que soit \(n\).
Ce que cet exemple montre
Déterminer la loi de \(X\) est difficile (elle fait intervenir les dérangements du chapitre 02). Calculer son espérance est immédiat.
La linéarité de l'espérance, appliquée à des indicatrices, est l'outil le plus puissant du calcul probabiliste élémentaire. Retenez ce schéma : décomposer en somme d'indicatrices, puis additionner les probabilités.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| \(\mathbb{E}[X^2] = \mathbb{E}[X]^2\) | Leur différence est la variance |
| \(\operatorname{V}(aX) = a\operatorname{V}(X)\) | C'est \(a^2\) |
| \(\operatorname{V}(X+Y) = \operatorname{V}X+\operatorname{V}Y\) sans indépendance | Il manque \(2\operatorname{Cov}\) |
| \(\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}X\,\mathbb{E}Y\) sans indépendance | Faux |
| Oublier de vérifier \(\sum p_i=1\) | Contrôle systématique |
| Variance négative | Impossible — erreur de calcul |
Exercices¶
★ Exercice 1. \(X\) a pour loi :
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
a) Vérifier que c'est une loi. b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[X^2]\), \(\operatorname{V}(X)\), \(\sigma(X)\). c) Calculer \(P(X\geqslant2)\) et \(F_X(1{,}5)\).
★ Exercice 2. On lance un dé. Soit \(X\) le résultat. Calculer \(\mathbb{E}[X]\), \(\operatorname{V}(X)\), puis \(\mathbb{E}[2X+3]\) et \(\operatorname{V}(2X+3)\).
★★ Exercice 3. Une urne contient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On en tire 2 simultanément. Soit \(X\) la somme des numéros.
a) Déterminer la loi de \(X\). b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) et \(\operatorname{V}(X)\).
★★ Exercice 4. Soit \(X\) le nombre de piles obtenus en 3 lancers d'une pièce équilibrée.
a) Déterminer la loi de \(X\). b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) et \(\operatorname{V}(X)\). c) Retrouver \(\mathbb{E}[X]\) par la linéarité, en écrivant \(X\) comme somme d'indicatrices.
★★ Exercice 5. Une urne contient 2 boules rouges et 3 bleues. On tire jusqu'à obtenir une rouge, sans remise. Soit \(X\) le nombre de tirages.
a) Déterminer \(X(\Omega)\) et la loi de \(X\). b) Vérifier que la somme vaut 1. c) Calculer \(\mathbb{E}[X]\).
★★★ Exercice 6. Soit \(X\) de loi \(P(X=k) = \dfrac{c}{k(k+1)}\) pour \(k\in\{1,\dots,n\}\).
a) Déterminer \(c\). Indication : télescopage, cf. Prérequis 05. b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) pour \(n=3\).
★★★ Exercice 7. Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(\mathbb{E}[X]=5\) et \(\operatorname{V}(X)=4\).
a) Calculer \(\mathbb{E}[X^2]\). b) Calculer \(\mathbb{E}[3X-2]\) et \(\operatorname{V}(3X-2)\). c) Calculer \(\mathbb{E}[(X-3)^2]\). d) Déterminer \(a,b\) tels que \(Y=aX+b\) soit centrée réduite.
★★★ Exercice 8. On tire 5 cartes dans un jeu de 32. Soit \(X\) le nombre de rois obtenus.
a) Déterminer la loi de \(X\). b) Calculer \(\mathbb{E}[X]\) par la définition. c) Retrouver le résultat par la linéarité, en décomposant en indicatrices « le roi \(i\) est dans la main ».
★★★★ Exercice 9. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour toute variable aléatoire \(X\) d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\) finie, et tout \(\varepsilon>0\) :
a) Démontrer d'abord l'inégalité de Markov : pour \(Y\geqslant0\) et \(a>0\), \(P(Y\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb{E}[Y]}{a}\). Indication : \(\mathbb{E}[Y] \geqslant \mathbb{E}[Y\cdot\mathbf{1}_{Y\geqslant a}] \geqslant a\,P(Y\geqslant a)\). b) En déduire Tchebychev, en appliquant Markov à \(Y=(X-\mu)^2\). c) Application : majorer \(P(|X-\mu|\geqslant 3\sigma)\). d) Comparer à la valeur exacte pour une loi normale (99,73 % dans \([\mu\pm3\sigma]\)). Commenter.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. Le quicksort randomisé choisit un pivot au hasard. Soit \(C_n\) le nombre de comparaisons pour trier \(n\) éléments distincts.
a) Soit \(X_{ij}\) l'indicatrice « les éléments de rangs \(i\) et \(j\) sont comparés ». Justifier que \(C_n = \sum_{i<j}X_{ij}\). b) Montrer que \(P(X_{ij}=1) = \dfrac{2}{j-i+1}\). Indication : les éléments de rangs \(i\) et \(j\) sont comparés si et seulement si l'un des deux est le premier pivot choisi parmi les rangs \(i\) à \(j\). c) En déduire \(\mathbb{E}[C_n]\) et montrer que \(\mathbb{E}[C_n] = O(n\log n)\). d) Vérifier numériquement pour \(n = 1000\).
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(0{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}2 = 1\) ✓ et toutes positives ✓
b)
c) \(P(X\geqslant2) = 0{,}4+0{,}2 = 0{,}6\). \(F_X(1{,}5) = P(X\leqslant1{,}5) = P(X=0)+P(X=1) = 0{,}4\).
Corrigé — Exercice 2
\(\mathbb{E}[X] = \frac{21}{6} = 3{,}5\). \(\mathbb{E}[X^2] = \frac{91}{6} \approx 15{,}167\).
Corrigé — Exercice 3
\(\operatorname{Card}\Omega = \binom32 = 3\) : les paires \(\{1,2\}\), \(\{1,3\}\), \(\{2,3\}\), de sommes 3, 4, 5.
| \(k\) | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\frac13\) | \(\frac13\) | \(\frac13\) |
Loi uniforme.
Corrigé — Exercice 4
a) \(\operatorname{Card}\Omega = 8\).
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\frac18\) | \(\frac38\) | \(\frac38\) | \(\frac18\) |
Somme : \(\frac{1+3+3+1}{8}=1\) ✓ (ligne du triangle de Pascal).
b) \(\mathbb{E}[X] = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5\). \(\mathbb{E}[X^2] = \frac{0+3+12+9}{8} = 3\).
c) Soit \(X_i\) l'indicatrice « le lancer \(i\) donne pile », \(\mathbb{E}[X_i] = \frac12\).
(Et par indépendance, \(\operatorname{V}(X) = 3\times\frac14 = 0{,}75\) ✓)
Corrigé — Exercice 5
\(X(\Omega) = \{1,2,3,4\}\) : au pire, on tire les 3 bleues puis une rouge.
b) \(\frac{4+3+2+1}{10} = 1\) ✓
c)
Un résultat élégant
Avec \(r\) rouges et \(b\) bleues, \(\mathbb{E}[X] = \frac{b+r+1}{r+1}\). Ici \(\frac{6}{3}=2\) ✓ Les \(b\) bleues se répartissent en moyenne uniformément dans les \(r+1\) intervalles délimités par les rouges.
Corrigé — Exercice 6
a) Par télescopage, \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac1k-\frac1{k+1}\), donc
Il faut \(c\times\frac{n}{n+1} = 1\), donc
b) Pour \(n=3\) : \(c = \frac43\), et
Somme : \(\frac{6+2+1}{9}=1\) ✓
Corrigé — Exercice 7
a) \(\mathbb{E}[X^2] = \operatorname{V}(X)+\mathbb{E}[X]^2 = 4+25 = 29\).
b) \(\mathbb{E}[3X-2] = 15-2 = 13\) ; \(\operatorname{V}(3X-2) = 9\times4 = 36\).
c) Par transfert et linéarité :
Contrôle : \(\mathbb{E}[(X-c)^2] = \operatorname{V}(X)+(\mu-c)^2 = 4+(5-3)^2 = 8\) ✓
d) \(Y = \frac{X-5}{2}\), soit \(a=\frac12\) et \(b=-\frac52\).
Corrigé — Exercice 8
4 rois, 28 autres cartes. \(\operatorname{Card}\Omega = \binom{32}{5} = 201\,376\).
a) Loi hypergéométrique :
| \(k\) | Numérateur | \(P(X=k)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(\binom{28}{5}=98\,280\) | 0,48804 |
| 1 | \(4\times\binom{28}{4}=4\times20\,475 = 81\,900\) | 0,40670 |
| 2 | \(6\times3276 = 19\,656\) | 0,09761 |
| 3 | \(4\times378 = 1512\) | 0,00751 |
| 4 | \(1\times28 = 28\) | 0,00014 |
Somme : \(98\,280+81\,900+19\,656+1512+28 = 201\,376\) ✓
b)
c) Par linéarité. Soit \(X_i\) l'indicatrice « le roi \(i\) est dans la main ». Chaque carte a la même probabilité \(\frac{5}{32}\) d'être tirée, donc
Encore la linéarité
Le calcul (c) tient en une ligne, contre un tableau complet pour (b). Et il ne suppose aucune indépendance — les \(X_i\) ne le sont pas.
Corrigé — Exercice 9
a) Markov. Soit \(Y\geqslant0\) et \(a>0\). Notons \(\mathbf{1}_{Y\geqslant a}\) l'indicatrice de l'événement \((Y\geqslant a)\).
Pour toute issue :
(La première inégalité vient de \(Y\geqslant0\) ; la seconde du fait que l'indicatrice ne vaut 1 que là où \(Y\geqslant a\).)
En prenant l'espérance, qui est croissante :
\(\blacksquare\)
b) Tchebychev. Appliquons Markov à \(Y=(X-\mu)^2\geqslant0\) et \(a=\varepsilon^2\) :
Et \((X-\mu)^2\geqslant\varepsilon^2 \iff |X-\mu|\geqslant\varepsilon\). \(\blacksquare\)
c) Avec \(\varepsilon = 3\sigma\) :
d) Pour une loi normale, la valeur exacte est \(1-0{,}9973 = 0{,}0027\).
Tchebychev majore par \(0{,}111\) — 41 fois trop grand.
Commentaire. L'inégalité de Tchebychev est très grossière, mais elle a une qualité irremplaçable : elle est universelle. Elle ne suppose rien sur la loi de \(X\), seulement l'existence de sa variance.
C'est ce qui en fait l'outil de démonstration de la loi faible des grands nombres (chapitre 12), et un instrument standard en analyse d'algorithmes randomisés, où la loi exacte est inconnue.
La borne est atteinte : la variable valant \(\mu\pm3\sigma\) avec probabilité \(\frac{1}{18}\) chacune et \(\mu\) sinon réalise l'égalité. On ne peut donc pas faire mieux sans hypothèse supplémentaire.
Corrigé — Exercice 10
a) Chaque paire d'éléments est comparée au plus une fois dans quicksort : une fois qu'un pivot les sépare, ils ne se retrouvent plus jamais dans le même sous-tableau. Donc \(X_{ij}\in\{0,1\}\) et
b) Considérons les éléments de rangs \(i, i+1, \dots, j\) — il y en a \(j-i+1\). Les éléments \(i\) et \(j\) sont comparés si et seulement si le premier pivot choisi parmi ces \(j-i+1\) éléments est \(i\) ou \(j\).
En effet :
- si c'est \(i\) ou \(j\), ils sont comparés au pivot, donc entre eux ;
- si c'est un élément intermédiaire \(k\) avec \(i<k<j\), alors \(i\) et \(j\) partent dans des sous-tableaux différents et ne seront jamais comparés.
Chacun des \(j-i+1\) éléments a la même probabilité d'être choisi en premier, d'où
c) Par linéarité de l'espérance :
Posons \(d = j-i+1\), qui va de 2 à \(n\). Pour chaque \(d\), il y a \(n-d+1\) paires \((i,j)\) :
Or \(\sum_{d=2}^{n}\frac1d = H_n - 1 \sim \ln n\) (exercice 8 du chapitre Analyse 09).
Le calcul exact donne \(\mathbb{E}[C_n] = 2(n+1)H_n - 4n\).
d) Vérification.
import math
def esperance_exacte(n):
H = sum(1 / k for k in range(1, n + 1))
return 2 * (n + 1) * H - 4 * n
def esperance_directe(n):
return sum(2 / (j - i + 1)
for i in range(1, n + 1) for j in range(i + 1, n + 1))
n = 1000
a, b = esperance_exacte(n), esperance_directe(n)
print(f"formule fermee = {a:.2f}")
print(f"somme directe = {b:.2f}")
print(f"2 n ln n = {2*n*math.log(n):.2f}")
assert abs(a - b) < 1e-6
Sortie :
formule fermee = 10985.91
somme directe = 10985.91
2 n ln n = 13815.51
Les deux calculs coïncident ✓, et l'ordre de grandeur \(2n\ln n\) est confirmé (la formule exacte est un peu inférieure, le terme \(-4n\) compensant).
L'élégance de la méthode
Analyser quicksort par sa récurrence est pénible. En le décomposant en indicatrices et en appliquant la linéarité de l'espérance, l'analyse tient en quinze lignes — sans jamais avoir besoin de l'indépendance des \(X_{ij}\), qui n'existe pas.
C'est la même technique qu'à l'exemple 3 (les chapeaux) et à l'exercice 8 (les rois).
Chapitre suivant : Lois discrètes usuelles.