07 · Déterminant¶

Intuition

Le déterminant d'une matrice répond à une question et une seule : la transformation écrase-t-elle l'espace ?

En dimension 2, \(\det\mathbf{A}\) est l'aire du parallélogramme construit sur les colonnes de \(\mathbf{A}\) — comptée avec un signe. Si les deux colonnes sont alignées, le parallélogramme est plat, l'aire est nulle, et la transformation a écrasé le plan sur une droite : de l'information a été perdue, on ne peut plus revenir en arrière.

D'où le théorème central : \(\det\mathbf{A}\neq0\) si et seulement si \(\mathbf{A}\) est inversible. Tout le reste du chapitre n'est que la machinerie de calcul.

1. Déterminant d'ordre 2¶

\[ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc \]

Les barres verticales sont la notation traditionnelle.

Exemple. \(\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix} = 12-2 = 10\).

Interprétation géométrique. Les colonnes \((3,2)\) et \((1,4)\) engendrent un parallélogramme d'aire 10. Le signe indique l'orientation : positif si les deux vecteurs tournent dans le sens direct, négatif sinon.

2. Déterminant d'ordre 3¶

2.1 Règle de Sarrus¶

Uniquement valable en dimension 3. On recopie les deux premières colonnes à droite, puis on somme les trois diagonales descendantes et on retranche les trois montantes.

\[ \begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi \]

Sarrus ne se généralise PAS

Il n'existe aucun analogue de Sarrus en dimension 4 ou plus. Un « Sarrus \(4\times4\) » donnerait 8 termes alors que le déterminant d'ordre 4 en compte \(4! = 24\). C'est une erreur classique et elle est fatale.

Au-delà de l'ordre 3, il faut le développement de Laplace ou, mieux, le pivot.

2.2 Développement de Laplace¶

Cette méthode-là se généralise à tout ordre.

Cofacteur

Le mineur \(M_{ij}\) est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\).

Le cofacteur est \(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\).

Développement selon la ligne \(i\) :

\[ \det\mathbf{A} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij} = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} \]

Le développement selon une colonne s'écrit de même.

Le damier des signes :

\[ \begin{pmatrix} +&-&+&-\\ -&+&-&+\\ +&-&+&-\\ -&+&-&+ \end{pmatrix} \]

Choisir la bonne ligne

Le résultat ne dépend pas de la ligne ou colonne choisie. Choisissez celle qui contient le plus de zéros : chaque zéro supprime un mineur à calculer.

Mieux encore : créez des zéros par opérations élémentaires avant de développer.

2.3 Exemple¶

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix}2&0&1\\3&-1&4\\1&2&0\end{pmatrix} \]

Développons selon la deuxième ligne… ou plutôt selon la troisième colonne, qui contient un zéro :

\[ \det\mathbf{A} = (+1)\begin{vmatrix}3&-1\\1&2\end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix}2&0\\1&2\end{vmatrix} + 0 \]

Attention aux signes : le coefficient \(a_{13}=1\) a pour signe \((-1)^{1+3}=+\), le coefficient \(a_{23}=4\) a pour signe \((-1)^{2+3}=-\), et \(a_{33}=0\) ne compte pas.

\[ = 1\times(6+1) - 4\times(4-0) = 7-16 = -9 \]

Vérification par Sarrus : \(2(-1)(0) + 0(4)(1) + 1(3)(2) - 1(-1)(1) - 2(4)(2) - 0(3)(0)\) \(= 0+0+6+1-16-0 = -9\) ✓

3. Propriétés¶

Ce sont elles qui permettent de calculer vite. Il faut les connaître.

Les propriétés à retenir

Propriété	Énoncé
Transposée	\(\det(\mathbf{A}^\top) = \det\mathbf{A}\)
Produit	\(\det(\mathbf{AB}) = \det\mathbf{A}\cdot\det\mathbf{B}\)
Puissance	\(\det(\mathbf{A}^n) = (\det\mathbf{A})^n\)
Scalaire	\(\det(\lambda\mathbf{A}) = \lambda^n\det\mathbf{A}\) pour \(\mathbf A\) d'ordre \(n\)
Triangulaire	\(\det\) = produit des coefficients diagonaux
Deux lignes égales	\(\det = 0\)
Une ligne nulle	\(\det = 0\)

Trois pièges de signe et d'échelle

\(\det(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \neq \det\mathbf{A}+\det\mathbf{B}\). Le déterminant n'est pas linéaire en la matrice — il l'est seulement par rapport à chaque ligne prise séparément.
\(\det(\lambda\mathbf{A}) = \lambda^n\det\mathbf{A}\), pas \(\lambda\det\mathbf{A}\) : on multiplie les \(n\) lignes.
\(\det(-\mathbf{A}) = (-1)^n\det\mathbf{A}\) : en dimension paire, le signe ne change pas.

3.1 Effet des opérations élémentaires¶

C'est le tableau qui rend le calcul efficace.

Opération	Effet sur \(\det\)
\(L_i\leftrightarrow L_j\)	Change de signe
\(L_i\leftarrow\lambda L_i\)	Multiplié par \(\lambda\)
\(L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\)	Inchangé

La méthode de calcul efficace

On échelonne la matrice en n'utilisant que la troisième opération, qui ne change rien, en comptant les échanges de lignes. Le déterminant est alors le produit des coefficients diagonaux, multiplié par \((-1)^{\text{nb échanges}}\).

Coût : \(O(n^3)\), contre \(O(n!)\) pour Laplace développé récursivement. Pour \(n = 20\), c'est la différence entre \(8000\) opérations et \(2{,}4\times10^{18}\).

Exemple.

\[ \begin{vmatrix}1&2&3\\2&5&7\\3&7&11\end{vmatrix} \]

\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\), \(L_3\leftarrow L_3-3L_1\) (déterminant inchangé) :

\[ = \begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&1&2\end{vmatrix} \]

\(L_3\leftarrow L_3-L_2\) :

\[ = \begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix} = 1\times1\times1 = 1 \]

4. Le théorème central¶

Théorème

Soit \(\mathbf{A}\) une matrice carrée d'ordre \(n\). Les affirmations suivantes sont équivalentes :

\(\det\mathbf{A}\neq0\) ;
\(\mathbf{A}\) est inversible ;
le système \(\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\) admet une solution unique pour tout \(\mathbf{b}\) ;
le système homogène \(\mathbf{Ax}=\mathbf{0}\) n'a que la solution nulle ;
les colonnes de \(\mathbf{A}\) sont linéairement indépendantes ;
le rang de \(\mathbf{A}\) vaut \(n\).

Une matrice de déterminant nul est dite singulière.

Conséquence immédiate : si \(\mathbf{A}\) est inversible,

\[ \det(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\det\mathbf{A}} \]

car \(\det(\mathbf{A})\det(\mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{I}) = 1\).

5. Formules de Cramer¶

Pour un système \(\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\) de taille \(n\times n\) avec \(\det\mathbf{A}\neq0\) :

\[ x_i = \frac{\det\mathbf{A}_i}{\det\mathbf{A}} \]

où \(\mathbf{A}_i\) est \(\mathbf{A}\) dont la \(i\)-ème colonne a été remplacée par \(\mathbf{b}\).

Exemple. \(\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-1\end{cases}\)

\(\det\mathbf{A} = -6-1 = -7\).

\[ x = \frac{\begin{vmatrix}5&1\\-1&-3\end{vmatrix}}{-7} = \frac{-15+1}{-7} = 2 \qquad y = \frac{\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}{-7} = \frac{-2-5}{-7} = 1 \]

Cramer ne sert jamais en pratique

Résoudre un système \(n\times n\) par Cramer demande de calculer \(n+1\) déterminants. Même en les calculant par pivot, c'est \((n+1)\) fois plus cher que de résoudre directement par pivot de Gauss.

Cramer a un intérêt théorique — il donne une formule explicite, utile pour montrer que la solution dépend continûment des données — et un intérêt pratique uniquement en dimension 2 ou 3, pour aller vite à la main.

6. Comatrice¶

La comatrice de \(\mathbf{A}\) est la matrice des cofacteurs :

\[ \operatorname{com}(\mathbf{A})_{ij} = C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \]

Formule fondamentale

\[ \mathbf{A}\cdot\big(\operatorname{com}\mathbf{A}\big)^\top = \det(\mathbf{A})\cdot\mathbf{I}_n \]

D'où, si \(\det\mathbf A\neq0\) :

\[ \boxed{\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det\mathbf{A}}\big(\operatorname{com}\mathbf{A}\big)^\top} \]

C'est l'une des deux méthodes d'inversion au programme ; elle sera exploitée au chapitre 08.

Cas \(2\times2\), à connaître par cœur :

\[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]

Mnémotechnique : on échange les termes de la diagonale principale, on change le signe de l'autre, on divise par le déterminant.

Exemples traités¶

Exemple 1 — Déterminant \(4\times4\) par le pivot

\[ D = \begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 2&3&1&0\\ 0&1&2&1\\ 1&0&1&2 \end{vmatrix} \]

\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\), \(L_4\leftarrow L_4-L_1\) :

\[ D = \begin{vmatrix}1&2&0&1\\0&-1&1&-2\\0&1&2&1\\0&-2&1&1\end{vmatrix} \]

Développons selon la première colonne : un seul terme non nul.

\[ D = 1\times\begin{vmatrix}-1&1&-2\\1&2&1\\-2&1&1\end{vmatrix} \]

\(L_2\leftarrow L_2+L_1\), \(L_3\leftarrow L_3-2L_1\) :

\[ = \begin{vmatrix}-1&1&-2\\0&3&-1\\0&-1&5\end{vmatrix} = -1\times\begin{vmatrix}3&-1\\-1&5\end{vmatrix} = -1\times(15-1) = -14 \]

\(D = -14\).

Exemple 2 — Déterminant avec paramètre

Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice suivante est-elle inversible ?

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix} \]

\(L_2\leftarrow L_2-L_1\), \(L_3\leftarrow L_3-L_1\) :

\[ \det\mathbf A = \begin{vmatrix}1&1&1\\0&m-1&0\\0&0&m-1\end{vmatrix} = (m-1)^2 \]

\(\mathbf{A}\) est inversible si et seulement si \(m\neq1\).

Cohérence : pour \(m=1\), les trois lignes sont identiques — la matrice est manifestement singulière.

Exemple 3 — Déterminant de Vandermonde \(3\times3\)

\[ V = \begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix} \]

\(C_2\leftarrow C_2-C_1\), \(C_3\leftarrow C_3-C_1\) (les opérations sur les colonnes obéissent aux mêmes règles) :

\[ = \begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\a^2&b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}b-a&c-a\\(b-a)(b+a)&(c-a)(c+a)\end{vmatrix} \]

On factorise \((b-a)\) dans la première colonne et \((c-a)\) dans la seconde :

\[ = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) \]

Conséquence

\(V \neq 0\) si et seulement si \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts. C'est exactement la condition d'existence et d'unicité du polynôme interpolateur de degré 2 passant par trois points, entrevue à l'exercice 8 du chapitre 06.

Exemple 4 — Utiliser \(\det(\mathbf{AB})=\det\mathbf A\det\mathbf B\)

Soit \(\mathbf{A}\) carrée d'ordre 3 telle que \(\mathbf{A}^2 = -\mathbf{I}\). Montrer que c'est impossible sur \(\mathbb{R}\).

En prenant le déterminant :

\[ \det(\mathbf{A}^2) = (\det\mathbf A)^2 = \det(-\mathbf I_3) = (-1)^3 = -1 \]

Le carré d'un réel ne peut pas valoir \(-1\). Contradiction. \(\blacksquare\)

En dimension paire, c'est possible

Pour \(n=2\), \(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) vérifie \(\mathbf A^2 = -\mathbf I_2\), et \((\det\mathbf A)^2 = 1 = (-1)^2\) ✓ Cette matrice est la rotation d'angle \(\frac\pi2\) — l'analogue matriciel du nombre complexe \(i\).

Erreurs fréquentes¶

Erreur	Correction
Sarrus en dimension 4	Sarrus n'existe qu'en dimension 3
\(\det(\mathbf A+\mathbf B) = \det\mathbf A+\det\mathbf B\)	Faux
\(\det(\lambda\mathbf A)=\lambda\det\mathbf A\)	C'est \(\lambda^n\)
Oublier le signe \((-1)^{i+j}\) dans Laplace	Le damier
Oublier de compter les échanges de lignes	Chaque échange change le signe
Comatrice sans transposer	\(\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\det}(\operatorname{com}\mathbf A)^\top\)

Exercices¶

★ Exercice 1. Calculer.

a) \(\begin{vmatrix}3&5\\2&4\end{vmatrix}\) b) \(\begin{vmatrix}-1&2\\3&-6\end{vmatrix}\) c) \(\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}\)

★ Exercice 2. Sans calcul, justifier que les déterminants suivants sont nuls.

a) \(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\1&2&3\end{vmatrix}\) b) \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&0&0\\7&8&9\end{vmatrix}\) c) \(\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\5&1&0\end{vmatrix}\)

★★ Exercice 3. Calculer par le pivot.

\[ \begin{vmatrix} 2&1&3&1\\ 1&0&2&2\\ 3&1&1&0\\ 1&2&0&1 \end{vmatrix} \]

★★ Exercice 4. Soit \(\mathbf{A}\) d'ordre 3 avec \(\det\mathbf{A}=5\). Calculer :

a) \(\det(3\mathbf{A})\) b) \(\det(\mathbf{A}^\top\mathbf{A})\) c) \(\det(\mathbf{A}^{-1})\) d) \(\det(2\mathbf{A}^2)\)

★★ Exercice 5. Déterminer les \(m\) pour lesquels la matrice est inversible.

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix} \]

★★★ Exercice 6. Résoudre par les formules de Cramer, puis par le pivot, et comparer le nombre d'opérations.

\[ \begin{cases} 2x+y-z=3\\ x-y+2z=0\\ 3x+2y+z=7 \end{cases} \]

★★★ Exercice 7. Soit \(\mathbf{A}\) une matrice carrée telle que \(\mathbf{A}^\top = -\mathbf{A}\) (antisymétrique).

a) Montrer que \(\det\mathbf{A} = (-1)^n\det\mathbf{A}\). b) En déduire que si \(n\) est impair, alors \(\det\mathbf{A}=0\). c) Donner un exemple d'ordre 2 avec \(\det\mathbf A\neq0\), et un exemple d'ordre 3.

★★★ Exercice 8. Calculer le déterminant de Vandermonde d'ordre 4 :

\[ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3 \end{vmatrix} \]

et conjecturer la formule générale d'ordre \(n\).

★★★★ Exercice 9. Soit \(\mathbf{F} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) et \(\mathbf{F}^n = \begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}\) (établi à l'exercice 10 du chapitre 05).

a) Calculer \(\det\mathbf{F}\). b) En déduire l'identité de Cassini \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2 = (-1)^n\) en une ligne. c) Comparer avec la démonstration par récurrence de l'exercice 6 du chapitre 01. Que gagne-t-on ?

★★★★ Exercice 10 — lien informatique. On souhaite calculer \(\det\mathbf{A}\) pour \(\mathbf{A}\) d'ordre \(n\).

a) Écrire la relation de récurrence donnant le coût \(L(n)\) du développement de Laplace naïf (développement selon la première ligne, récursivement). b) Montrer que \(L(n) \geqslant n!\). c) Comparer à \(\frac{n^3}{3}\) pour \(n = 10\), \(n=20\), \(n=25\). Conclure. d) Un déterminant calculé en flottants sur une matrice mal conditionnée peut sortir « presque nul ». Pourquoi tester det(A) == 0 est-il une mauvaise façon de décider si une matrice est inversible, et que faire à la place ?

Corrigés¶

Corrigé — Exercice 1

a) \(3\times4 - 5\times2 = 12-10 = 2\).

b) \((-1)(-6) - 2\times3 = 6-6 = 0\). La matrice est singulière : la seconde ligne est \(-3\) fois la première.

c) Développons selon la première ligne :

\[ 1\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix} - 0 + 2\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix} = 1(1) + 2(6) = 13 \]

Vérification par Sarrus : \(1(1)(1)+0(0)(0)+2(3)(2)-2(1)(0)-1(0)(2)-0(3)(1) = 1+0+12-0-0-0 = 13\) ✓

Corrigé — Exercice 2

a) Les lignes 1 et 3 sont identiques : \(\det = 0\).

b) La ligne 2 est nulle : \(\det = 0\).

c) La ligne 2 est le double de la ligne 1. En factorisant 2 puis en constatant deux lignes égales : \(\det = 0\).

Le critère général

Dès que les lignes sont linéairement dépendantes — l'une est combinaison des autres — le déterminant est nul. C'est l'équivalence 1 ⟺ 5 du théorème central.

Corrigé — Exercice 3

Échangeons \(L_1\leftrightarrow L_2\) pour avoir un pivot égal à 1 (signe changé, on note \(-\)) :

\[ D = -\begin{vmatrix}1&0&2&2\\2&1&3&1\\3&1&1&0\\1&2&0&1\end{vmatrix} \]

\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\), \(L_3\leftarrow L_3-3L_1\), \(L_4\leftarrow L_4-L_1\) :

\[ D = -\begin{vmatrix}1&0&2&2\\0&1&-1&-3\\0&1&-5&-6\\0&2&-2&-1\end{vmatrix} \]

\(L_3\leftarrow L_3-L_2\), \(L_4\leftarrow L_4-2L_2\) :

\[ D = -\begin{vmatrix}1&0&2&2\\0&1&-1&-3\\0&0&-4&-3\\0&0&0&5\end{vmatrix} \]

Matrice triangulaire : produit des diagonaux \(= 1\times1\times(-4)\times5 = -20\).

\[ D = -(-20) = 20 \]

Corrigé — Exercice 4

a) \(\det(3\mathbf A) = 3^3\times5 = 135\).

b) \(\det(\mathbf A^\top\mathbf A) = \det(\mathbf A^\top)\det(\mathbf A) = 5\times5 = 25\).

c) \(\det(\mathbf A^{-1}) = \dfrac15\).

d) \(\det(2\mathbf A^2) = 2^3\times(\det\mathbf A)^2 = 8\times25 = 200\).

Corrigé — Exercice 5

\(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\) : la première colonne devient constante, égale à \(m+2\).

\[ \det\mathbf A = \begin{vmatrix}m+2&1&1\\m+2&m&1\\m+2&1&m\end{vmatrix} = (m+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix} \]

Le déterminant restant a été calculé dans l'exemple 2 : il vaut \((m-1)^2\).

\[ \det\mathbf{A} = (m+2)(m-1)^2 \]

\(\mathbf{A}\) est inversible si et seulement si \(m\neq1\) et \(m\neq-2\).

Cohérence avec l'exercice 9 du chapitre 06 : c'était exactement le système \(m x+y+z=1\)… dont la discussion distinguait \(m=1\) (infinité) et \(m=-2\) (aucune solution). Le déterminant retrouve les deux cas d'un coup.

La technique de la somme des colonnes

Quand toutes les lignes ont la même somme, l'opération \(C_1\leftarrow C_1+C_2+\dots+C_n\) fait apparaître une colonne constante qu'on factorise. C'est le raccourci standard pour les matrices « circulantes » de ce type.

Corrigé — Exercice 6

Par Cramer.

\[ \det\mathbf A = \begin{vmatrix}2&1&-1\\1&-1&2\\3&2&1\end{vmatrix} \]

Sarrus : \(2(-1)(1)+1(2)(3)+(-1)(1)(2) - (-1)(-1)(3) - 2(2)(2) - 1(1)(1)\) \(= -2+6-2-3-8-1 = -10\).

\[ x = \frac{1}{-10}\begin{vmatrix}3&1&-1\\0&-1&2\\7&2&1\end{vmatrix} \]

Sarrus : \(3(-1)(1)+1(2)(7)+(-1)(0)(2) - (-1)(-1)(7) - 3(2)(2) - 1(0)(1)\) \(= -3+14+0-7-12-0 = -8\). Donc \(x = \frac{-8}{-10} = \frac45\).

\[ y = \frac{1}{-10}\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&0&2\\3&7&1\end{vmatrix} \]

Sarrus : \(0 + 3(2)(3) + (-1)(1)(7) - (-1)(0)(3) - 2(2)(7) - 3(1)(1)\) \(= 0+18-7-0-28-3 = -20\). Donc \(y = 2\).

\[ z = \frac{1}{-10}\begin{vmatrix}2&1&3\\1&-1&0\\3&2&7\end{vmatrix} \]

Sarrus : \(2(-1)(7)+1(0)(3)+3(1)(2) - 3(-1)(3) - 2(0)(2) - 1(1)(7)\) \(= -14+0+6+9-0-7 = -6\). Donc \(z = \frac35\).

Solution : \(\left(\frac45,\ 2,\ \frac35\right)\).

Vérification équation 2 : \(\frac45 - 2 + \frac65 = \frac{4+6}{5}-2 = 0\) ✓

Comparaison du coût.

Cramer : 4 déterminants \(3\times3\). Par Sarrus, chacun coûte 12 multiplications, soit 48 multiplications, plus 3 divisions.
Pivot : d'après la formule du chapitre 06, \(N(3) = 11\) opérations pour l'élimination, plus 3 pour la remontée, soit environ 14.

Cramer est plus de trois fois plus cher dès la dimension 3, et l'écart croît factoriellement.

Corrigé — Exercice 7

a) \(\det\mathbf A = \det(\mathbf A^\top) = \det(-\mathbf A) = (-1)^n\det\mathbf A\).

b) Si \(n\) est impair, \((-1)^n = -1\), donc \(\det\mathbf A = -\det\mathbf A\), soit \(2\det\mathbf A = 0\), donc \(\det\mathbf A = 0\). \(\blacksquare\)

c) Ordre 2 : \(\mathbf A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) vérifie \(\mathbf A^\top = -\mathbf A\), et \(\det\mathbf A = 0-(-1) = 1 \neq0\).

Ordre 3 : \(\mathbf A = \begin{pmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{pmatrix}\). Son déterminant est nécessairement nul d'après b) — vérifions par Sarrus : \(0+ 1(3)(-2) + 2(-1)(-3) - 2(0)(-2) - 0(3)(-3) - 1(-1)(0) = -6+6 = 0\) ✓

Conséquence physique

Une matrice antisymétrique d'ordre impair est toujours singulière. En dimension 3, cela signifie que tout produit vectoriel \(\mathbf{x}\mapsto \mathbf{a}\wedge\mathbf{x}\) — dont la matrice est antisymétrique — a un noyau non trivial : c'est la direction de \(\mathbf a\) elle-même, puisque \(\mathbf a\wedge\mathbf a = \mathbf 0\).

Corrigé — Exercice 8

Même méthode qu'à l'exemple 3. On soustrait \(a\times\) la ligne précédente à chaque ligne, en partant du bas : \(L_4\leftarrow L_4 - aL_3\), \(L_3\leftarrow L_3-aL_2\), \(L_2\leftarrow L_2-aL_1\).

\[ = \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 0&b-a&c-a&d-a\\ 0&b(b-a)&c(c-a)&d(d-a)\\ 0&b^2(b-a)&c^2(c-a)&d^2(d-a) \end{vmatrix} \]

Développons selon la première colonne, puis factorisons \((b-a)\), \((c-a)\), \((d-a)\) dans les colonnes respectives :

\[ = (b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix}1&1&1\\b&c&d\\b^2&c^2&d^2\end{vmatrix} \]

Le déterminant restant est celui de l'exemple 3 avec \((b,c,d)\) : \((c-b)(d-b)(d-c)\).

\[ V_4 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) \]

Formule générale : pour des scalaires \(x_1,\dots,x_n\),

\[ V_n = \prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_j-x_i) \]

Il y a \(\binom n2\) facteurs. \(V_n \neq 0\) si et seulement si les \(x_i\) sont deux à deux distincts.

Corrigé — Exercice 9

a) \(\det\mathbf F = 1\times0 - 1\times1 = -1\).

b) \(\det(\mathbf F^n) = (\det\mathbf F)^n = (-1)^n\).

Or, en calculant directement le déterminant de l'expression matricielle :

\[ \det\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix} = F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2 \]

D'où \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2 = (-1)^n\). \(\blacksquare\)

c) La démonstration par récurrence du chapitre 01 demandait une quinzaine de lignes de manipulations algébriques, avec deux substitutions astucieuses. Ici, deux lignes et aucune astuce.

Ce qu'on gagne : la récurrence vérifie l'identité sans l'expliquer ; la preuve matricielle l'explique — Cassini n'est que la multiplicativité du déterminant. Et elle se généralise sans effort : \(\det(\mathbf F^{m+n}) = \det(\mathbf F^m)\det(\mathbf F^n)\) donne d'autres identités du même type.

La morale

Changer de point de vue — passer des suites aux matrices — transforme un calcul en une évidence. C'est ce que cherche à installer tout le bloc matriciel de ce module.

Corrigé — Exercice 10

a) Développer un déterminant d'ordre \(n\) selon la première ligne demande de calculer \(n\) mineurs d'ordre \(n-1\), puis \(n\) multiplications et \(n-1\) additions :

\[ L(n) = n\,L(n-1) + (2n-1), \qquad L(1) = 0 \]

b) Comme \(L(n) \geqslant n\,L(n-1)\) et que le terme additif est positif, on montre par récurrence que \(L(n)\) croît au moins aussi vite que \(n!\). Plus précisément, en négligeant le terme additif, \(L(n) \geqslant n(n-1)\cdots 2 \cdot L(1) + \dots\), et le comptage exact des multiplications donne \(\sim n!\).

Une façon plus directe de le voir : la formule développée du déterminant comporte exactement \(n!\) termes, chacun produit de \(n\) coefficients. Le développement de Laplace naïf les calcule tous.

c) Comparaison.

\(n\)	\(n!\)	\(n^3/3\)	Rapport
10	\(3{,}6\times10^{6}\)	333	\(\approx 10^{4}\)
20	\(2{,}4\times10^{18}\)	2 667	\(\approx 9\times10^{14}\)
25	\(1{,}6\times10^{25}\)	5 208	\(\approx 3\times10^{21}\)

À \(n=20\), Laplace demande \(2{,}4\times10^{18}\) opérations, soit environ 8 ans à \(10^{10}\) op/s. Le pivot en demande 2 667, soit moins d'une microseconde.

Conclusion : le développement de Laplace est un outil de démonstration et de calcul à la main en petite dimension. Il ne doit jamais être programmé pour \(n\) dépassant 4 ou 5.

d) Deux raisons.

Le déterminant n'a pas d'échelle intrinsèque. Si l'on multiplie une matrice inversible d'ordre 100 par \(10^{-1}\), son déterminant est multiplié par \(10^{-100}\) — il devient indiscernable de zéro en double précision (dont le plus petit normalisé est \(\approx 2{,}2\times10^{-308}\)), alors que la matrice reste parfaitement inversible.

L'arithmétique flottante introduit du bruit. Une matrice exactement singulière donnera rarement un déterminant exactement nul après calcul.

Que faire à la place : calculer le conditionnement \(\kappa(\mathbf A) = \lVert\mathbf A\rVert\cdot\lVert\mathbf A^{-1}\rVert\), ou examiner les valeurs singulières et compter celles qui dépassent un seuil relatif. C'est ce que fait numpy.linalg.matrix_rank, qui ne calcule aucun déterminant.

Le lien avec le module de modélisation

« Tester det(A) == 0 » est un exemple parfait de formule mathématiquement correcte et numériquement inutilisable — exactement le type d'écart que le module MOMA11 demande de savoir critiquer. Voir Modélisation 05.

Chapitre suivant : Inversion de matrice.