06 · Primitives¶
Intuition
Dériver, c'est descendre. Primitiver, c'est remonter : on cherche la fonction dont la dérivée est celle qu'on nous donne.
L'asymétrie est frappante. Dériver est mécanique : toute fonction écrite avec les opérations usuelles se dérive en appliquant des règles, sans réfléchir. Primitiver est un art : il n'existe pas d'algorithme général, et beaucoup de fonctions parfaitement innocentes — \(e^{-x^2}\), par exemple — n'ont aucune primitive exprimable avec les fonctions usuelles.
Ce chapitre installe le catalogue et les réflexes de reconnaissance de formes. Le suivant ajoute les techniques de transformation.
1. Définition¶
Définition
\(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et
Théorème d'unicité à une constante près
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\), alors les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les \(F+C\), \(C\in\mathbb{R}\).
Démonstration
Si \(G\) est une autre primitive, \((G-F)' = f-f = 0\) sur \(I\). Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (conséquence du théorème des accroissements finis). Donc \(G = F+C\). \(\blacksquare\)
L'hypothèse « intervalle » n'est pas décorative
Sur \(\mathbb{R}^*\), qui n'est pas un intervalle, la fonction
est une primitive de \(\frac1x\) qui ne diffère pas de \(\ln|x|\) par une constante unique.
Les constantes peuvent être différentes sur chaque intervalle. On écrit donc toujours « une primitive sur \(I\) ».
Notation. On note \(\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x)+C\).
2. Le catalogue¶
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Sur |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(ax\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\), \(n\neq-1\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\dfrac1x\) | \(\ln\lvert x\rvert\) | \(\mathbb{R}^{+*}\) ou \(\mathbb{R}^{-*}\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt x}\) | \(2\sqrt x\) | \(\mathbb{R}^{+*}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2x}\) | \(\tan x\) | \(\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x\) | \(]-1;1[\) |
Le cas \(n=-1\)
La formule \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) est inapplicable pour \(n=-1\) : elle donnerait une division par zéro. C'est précisément le cas du logarithme, et c'est l'exception la plus importante du tableau.
Le signe de \(\int\sin\)
\(\int\sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C\) — avec le signe moins. C'est l'erreur de signe la plus fréquente de tout le module — vérifiez toujours en dérivant.
3. Formes composées¶
Ce tableau est le cœur du chapitre. Il se lit à l'envers du tableau des dérivées composées du chapitre 03.
| \(f(x)\) | Une primitive |
|---|---|
| \(u'u^n\), \(n\neq-1\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln\lvert u\rvert\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac1u\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) | \(2\sqrt u\) |
| \(u'e^u\) | \(e^u\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
La méthode : faire apparaître \(u'\)
On repère une fonction \(u\) dans l'expression, on calcule \(u'\), et on ajuste la constante multiplicative pour que \(u'\) apparaisse exactement.
Exemple. \(\displaystyle\int x\,e^{x^2}\mathrm{d}x\). Avec \(u = x^2\), \(u' = 2x\). Il manque un facteur 2 :
On ne peut ajuster que par une CONSTANTE
\(\displaystyle\int e^{x^2}\mathrm{d}x \neq \frac{1}{2x}e^{x^2}\).
Il faudrait multiplier par \(\frac{1}{2x}\), qui dépend de \(x\) — ce n'est pas licite, la dérivation d'un produit ferait apparaître un terme supplémentaire.
De fait, \(e^{-x^2}\) n'a aucune primitive exprimable avec les fonctions usuelles : c'est un théorème (Liouville, 1835). La fonction erreur \(\operatorname{erf}\) est définie précisément pour combler ce manque — et c'est elle qu'on rencontre derrière la loi normale en Probabilités 09.
4. Linéarité¶
Il n'y a PAS de règle pour le produit ni le quotient
Contre-exemple immédiat : \(\int x\cdot x\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}\), alors que \(\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}\).
Le produit se traite par intégration par parties, au chapitre suivant.
5. Stratégie¶
L'ordre des réflexes
- Est-ce dans le catalogue ? Alors c'est fini.
- Peut-on développer ou simplifier ? \(\frac{x^2+1}{x} = x+\frac1x\).
- Reconnaît-on une forme composée ? Chercher un \(u\) dont la dérivée apparaît.
- Est-ce une fraction rationnelle ? Division euclidienne, puis éléments simples (chapitre 08).
- Y a-t-il un produit polynôme × (exp, ln, trigo) ? Intégration par parties (chapitre 08).
- Sinon : changement de variable, ou la fonction n'a pas de primitive élémentaire.
Vérifiez toujours en dérivant
C'est le seul chapitre du cours où la vérification est immédiate et infaillible : dérivez votre réponse, vous devez retomber sur \(f\). Trente secondes qui garantissent la justesse.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Reconnaissance de \(\frac{u'}{u}\)
Avec \(u = x^2+3x+7\), on a \(u' = 2x+3\) : c'est exactement le numérateur.
(Le discriminant vaut \(9-28<0\) : \(u>0\) toujours, on peut retirer la valeur absolue.)
Vérification : \(\left(\ln(x^2+3x+7)\right)' = \frac{2x+3}{x^2+3x+7}\) ✓
Exemple 2 — Ajustement de constante
Avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) : il manque un facteur 2.
Exemple 3 — Linéarisation trigonométrique
Le carré n'est pas dans le catalogue. On linéarise avec la formule du chapitre 04 :
Vérification : \(\left(\frac x2+\frac{\sin2x}{4}\right)' = \frac12+\frac{2\cos2x}{4} = \frac{1+\cos2x}{2} = \cos^2x\) ✓
Exemple 4 — Décomposition préalable
On sépare :
Vérification : \(x + \frac2x - \frac{1}{x^2}\) ✓ (attention au signe du dernier terme : \(\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}\)).
Exemple 5 — Puissance d'une composée
Avec \(u = x^2+5\), \(u'=2x\) :
Ne pas développer !
Développer \((x^2+5)^4\) donnerait un polynôme de degré 8, primitivable certes, mais en dix fois plus de temps et avec dix fois plus de risques d'erreur.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| \(\int\sin = \cos\) | \(= -\cos\) |
| \(\int\frac1x = \ln x\) | \(= \ln\lvert x\rvert\) |
| Ajuster par une expression en \(x\) | Seules les constantes sortent |
| \(\int fg = \int f\int g\) | Faux |
| Oublier la constante \(C\) | Elle fait partie de la réponse |
| Appliquer \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) pour \(n=-1\) | Cas du logarithme |
Exercices¶
★ Exercice 1. Déterminer une primitive.
a) \(f(x)=3x^2-4x+5\) b) \(g(x)=\dfrac{1}{x^3}\) c) \(h(x)=\sqrt x\) d) \(k(x)=e^{3x}\)
★ Exercice 2. Déterminer une primitive.
a) \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) b) \(g(x)=\sin(4x)\) c) \(h(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\) d) \(k(x)=\dfrac{3}{1+x^2}\)
★★ Exercice 3. Reconnaître une forme composée.
a) \(\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^3+1}\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int x e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x\) d) \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin^2 x}\,\mathrm{d}x\) e) \(\displaystyle\int \tan x\,\mathrm{d}x\)
★★ Exercice 4. Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) vérifiant la condition.
a) \(f(x)=2x+1\), \(F(0)=3\) b) \(f(x)=e^{-x}\), \(F(0)=0\) c) \(f(x)=\dfrac1x\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\), \(F(1)=2\)
★★ Exercice 5. Linéariser puis primitiver.
a) \(\displaystyle\int\sin^2x\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int\cos^2(3x)\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int\sin x\cos x\,\mathrm{d}x\) — par deux méthodes.
★★★ Exercice 6. Déterminer une primitive.
a) \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+2x+3}\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int\frac{e^x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int\frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x\) d) \(\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+1}\,\mathrm{d}x\)
★★★ Exercice 7. Déterminer une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\) sur \(]1;+\infty[\).
Indication : cherchez \(a,b\) tels que \(\frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}\).
★★★ Exercice 8. Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\).
a) Montrer que \(x\mapsto F(ax+b)\) est une primitive de \(x\mapsto a f(ax+b)\). b) En déduire \(\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{3x+2}\) et \(\displaystyle\int\cos(5x-1)\,\mathrm{d}x\).
★★★★ Exercice 9. Montrer que \(f(x)=e^{-x^2}\) n'admet pas de primitive de la forme \(P(x)e^{-x^2}\) avec \(P\) polynôme.
Indication : dérivez \(P(x)e^{-x^2}\) et comparez les degrés.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. On veut calculer numériquement une primitive de \(f\) à partir de \(F(a)=0\).
a) La méthode d'Euler approche \(F(x+h)\approx F(x)+hf(x)\). Justifier cette formule à partir de la définition de la dérivée. b) Montrer que l'erreur locale est en \(O(h^2)\) si \(f\) est dérivable. Indication : formule de Taylor à l'ordre 2. c) En déduire que l'erreur cumulée sur \([a;b]\) est en \(O(h)\). d) Implémenter et comparer à la valeur exacte sur \(f(x)=e^x\), \([0;1]\), pour \(h = 10^{-2}\), \(10^{-3}\), \(10^{-4}\). Vérifier que l'erreur est bien divisée par 10 à chaque fois.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(F(x)=x^3-2x^2+5x+C\).
b) \(g(x)=x^{-3}\), donc \(G(x)=\dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2x^2}+C\).
c) \(h(x)=x^{1/2}\), donc \(H(x)=\dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x\sqrt x + C\).
d) \(K(x)=\dfrac{e^{3x}}{3}+C\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(F(x)=2\ln|x|+C\). b) \(G(x)=-\dfrac{\cos 4x}{4}+C\). c) \(H(x)=\sqrt x+C\). d) \(K(x)=3\arctan x+C\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(u=x^3+1\), \(u'=3x^2\) : forme \(\frac{u'}{u}\).
b) \(u=-x^2\), \(u'=-2x\) : il faut le facteur \(-\frac12\).
c) \(u=\ln x\), \(u'=\frac1x\) : forme \(u'u\).
d) \(u=\sin x\), \(u'=\cos x\) : forme \(\frac{u'}{u^2}\).
e) \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=\cos x\).
Vérification : \(\left(-\ln|\cos x|\right)' = -\frac{-\sin x}{\cos x} = \tan x\) ✓
Corrigé — Exercice 4
a) \(F(x)=x^2+x+C\). \(F(0)=C=3\), donc \(F(x)=x^2+x+3\).
b) \(F(x)=-e^{-x}+C\). \(F(0)=-1+C=0\), donc \(C=1\) et \(F(x)=1-e^{-x}\).
c) \(F(x)=\ln x + C\). \(F(1)=0+C=2\), donc \(F(x)=\ln x+2\).
Corrigé — Exercice 5
a) \(\sin^2x = \dfrac{1-\cos2x}{2}\).
Contrôle de cohérence : la somme des primitives de \(\cos^2\) et \(\sin^2\) doit être une primitive de 1, donc \(x\). Or \(\left(\frac x2+\frac{\sin2x}4\right)+\left(\frac x2-\frac{\sin2x}4\right) = x\) ✓
b) \(\cos^2(3x) = \dfrac{1+\cos6x}{2}\).
c) Méthode 1 — forme \(u'u\) avec \(u=\sin x\) :
Méthode 2 — linéarisation : \(\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}\), donc
Les deux réponses sont-elles compatibles ?
\(\cos2x = 1-2\sin^2x\), donc \(-\frac{\cos2x}{4} = \frac{2\sin^2x-1}{4} = \frac{\sin^2x}{2}-\frac14\).
Les deux primitives diffèrent de la constante \(\frac14\) — ce qui est exactement ce que dit le théorème d'unicité à une constante près. Deux réponses de formes différentes peuvent toutes deux être justes.
Corrigé — Exercice 6
a) \(u = x^2+2x+3\), \(u'=2x+2 = 2(x+1)\).
(Pas de valeur absolue : \(\Delta = 4-12<0\) donc \(u>0\).)
b) \(u=e^x+1\), \(u'=e^x\) : forme \(\frac{u'}{u}\).
c) \(u=\ln x\), \(u'=\frac1x\) : forme \(\frac{u'}{u}\).
(Sur \(]1;+\infty[\) ou \(]0;1[\), où \(\ln x\neq0\).)
d) \(u=x^3+1\), \(u'=3x^2\) : forme \(\frac{u'}{3}\sqrt u\).
Corrigé — Exercice 7
Décomposition. On cherche \(a,b\) tels que
Il faut donc \(a(x+1)+b(x-1) = 1\) pour tout \(x\).
- En \(x=1\) : \(2a = 1\), donc \(a=\frac12\) ;
- En \(x=-1\) : \(-2b=1\), donc \(b=-\frac12\).
Primitive sur \(]1;+\infty[\) (où \(x-1>0\) et \(x+1>0\)) :
Vérification : \(F' = \frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) = \frac12\cdot\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x^2-1}\) ✓
La technique s'appelle décomposition en éléments simples
Elle est au programme du chapitre 08, où on la généralise. La méthode d'évaluation en les pôles — remplacer \(x\) par la racine du dénominateur — est la plus rapide.
Corrigé — Exercice 8
a) Par la règle de dérivation d'une composée :
\(\blacksquare\)
Conséquence pratique : une primitive de \(x\mapsto f(ax+b)\) est \(\dfrac{1}{a}F(ax+b)\).
b) Pour \(f(x)=\frac1x\), \(F(x)=\ln|x|\) :
Pour \(f=\cos\), \(F=\sin\) :
Corrigé — Exercice 9
Supposons qu'il existe un polynôme \(P\) tel que \(\big(P(x)e^{-x^2}\big)' = e^{-x^2}\).
Dérivons :
Comme \(e^{-x^2}\) ne s'annule jamais, l'égalité impose
Argument de degré. Si \(P\) est de degré \(n\geqslant0\), alors :
- \(P'\) est de degré \(n-1\) (ou nul si \(n=0\)) ;
- \(2xP\) est de degré \(n+1\), de coefficient dominant \(2a_n \neq 0\).
Le terme de degré \(n+1\) ne peut être compensé par rien : le membre de gauche est de degré exactement \(n+1 \geqslant 1\).
Or le membre de droite est de degré 0. Contradiction.
Si \(P\) est le polynôme nul, le membre de gauche vaut 0 ≠ 1.
Il n'existe donc aucun tel polynôme. \(\blacksquare\)
Ce que cela ne démontre pas
On a seulement écarté les primitives de la forme \(Pe^{-x^2}\). Le résultat complet — \(e^{-x^2}\) n'a aucune primitive élémentaire, quelle que soit sa forme — relève de la théorie de Liouville et de l'algèbre différentielle. Il est bien plus difficile, mais l'argument ci-dessus en donne l'intuition : la dérivation fait apparaître un facteur \(-2x\) qu'on ne sait pas neutraliser.
Corrigé — Exercice 10
a) Par définition de la dérivée,
Donc pour \(h\) petit, \(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x)\), soit
b) Formule de Taylor à l'ordre 2 (admise ici, au programme d'ANAL12) :
pour un \(\xi\in]x;x+h[\).
L'erreur locale est donc
si \(|f'|\leqslant M\). C'est bien un \(O(h^2)\). \(\blacksquare\)
c) Sur \([a;b]\), il y a \(N = \frac{b-a}{h}\) pas. Dans le pire des cas, les erreurs locales s'additionnent :
L'erreur globale est en \(O(h)\) : la méthode d'Euler est d'ordre 1. Diviser le pas par 10 divise l'erreur par 10.
d) Implémentation.
import math
def euler(f, a, b, h):
x, F = a, 0.0
n = int(round((b - a) / h))
for _ in range(n):
F += h * f(x)
x += h
return F
exact = math.e - 1 # integrale de e^x sur [0,1]
for h in (1e-2, 1e-3, 1e-4):
approx = euler(math.exp, 0.0, 1.0, h)
print(f"h={h:.0e} approx={approx:.8f} erreur={exact-approx:.3e}")
Sortie :
h=1e-02 approx=1.70970474 erreur=8.577e-03
h=1e-03 approx=1.71742283 erreur=8.590e-04
h=1e-04 approx=1.71819592 erreur=8.591e-05
L'erreur est bien divisée par 10 à chaque fois ✓ — confirmation numérique de l'ordre 1.
Pourquoi on n'utilise pas Euler en pratique
Pour gagner 6 chiffres, il faudrait \(h=10^{-8}\), soit \(10^8\) pas — et les erreurs d'arrondi finiraient par dominer.
Les méthodes réelles sont d'ordre supérieur : la méthode des trapèzes est d'ordre 2, Simpson d'ordre 4, Runge-Kutta 4 d'ordre 4. On les verra au chapitre 07.
Chapitre suivant : Intégrale définie.