03 · Équations et inéquations¶
Intuition
Résoudre une équation, c'est répondre à la question : « pour quelles valeurs de l'inconnue cette égalité est-elle vraie ? » La réponse n'est jamais un nombre — c'est un ensemble, qui peut être vide, contenir un élément, plusieurs, ou une infinité.
Toute la technique repose sur une idée unique : transformer l'équation en une équation équivalente — qui a exactement les mêmes solutions — jusqu'à ce que la réponse soit lisible. Les inéquations suivent la même logique, avec un piège supplémentaire : multiplier par un nombre négatif retourne l'inégalité.
1. Le vocabulaire de la résolution¶
Une équation est une égalité contenant une inconnue. Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble \(\mathcal{S}\) de toutes les valeurs de l'inconnue qui la rendent vraie.
Deux équations sont équivalentes — noté \(\iff\) — si elles ont exactement le même ensemble de solutions.
Opérations qui préservent l'équivalence :
- ajouter ou retrancher la même quantité aux deux membres ;
- multiplier ou diviser les deux membres par un nombre non nul.
Deux opérations qui ne préservent PAS l'équivalence
Multiplier par une expression qui peut être nulle. De \(x = 1\), on tire \(x(x-2) = (x-2)\), mais la seconde admet aussi \(x = 2\) comme solution. On a créé une solution parasite.
Élever au carré. De \(x = 3\) on tire \(x^2 = 9\), mais la seconde admet aussi \(x = -3\). C'est pourquoi toute équation résolue par élévation au carré exige une vérification finale des solutions trouvées.
2. Équations du premier degré¶
Forme \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\). Solution unique :
Méthode générale : tout regrouper d'un côté, isoler \(x\).
Cas dégénérés — à connaître, ils tombent en examen :
| Équation | Analyse | Solutions |
|---|---|---|
| \(0 \cdot x = 0\) | Toujours vraie | \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\) |
| \(0 \cdot x = 5\) | Jamais vraie | \(\mathcal{S} = \varnothing\) |
Exemple : \(2(x+3) = 2x + 6\) se réduit à \(0 = 0\), donc \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\). Et \(2(x+3) = 2x + 7\) se réduit à \(6 = 7\), donc \(\mathcal{S} = \varnothing\).
3. Équations produit et quotient¶
3.1 Le théorème du produit nul¶
C'est le résultat le plus utile de tout le chapitre. Il n'a pas d'équivalent pour la somme : \(A + B = 0\) ne dit rien de \(A\) ni de \(B\) pris séparément.
C'est aussi la raison pour laquelle on factorise : une somme nulle ne se résout pas, un produit nul se résout immédiatement.
Le « ou » est inclusif
En mathématiques, « \(A\) ou \(B\) » signifie « \(A\), ou \(B\), ou les deux ». L'ensemble solution est donc une réunion : \(\mathcal{S} = \{-1\,;3\}\).
3.2 Quotient nul¶
Un quotient est nul quand son numérateur l'est — à condition que le dénominateur ne le soit pas, sinon l'expression n'existe pas.
Valeur interdite : \(x \neq 1\). Numérateur nul : \(x = 1\) ou \(x = -1\). La solution \(x = 1\) est exclue. Donc \(\mathcal{S} = \{-1\}\).
4. Le second degré¶
4.1 Forme et discriminant¶
Une équation du second degré s'écrit \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\). On calcule le discriminant :
| Signe de \(\Delta\) | Nombre de racines réelles | Valeurs |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | Deux | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta = 0\) | Une (double) | \(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\) |
| \(\Delta < 0\) | Aucune dans \(\mathbb{R}\) | — |
D'où vient cette formule ? (mise sous forme canonique)
On factorise \(a\) puis on complète le carré :
C'est la forme canonique. L'équation \(= 0\) devient
Le membre de gauche est un carré, donc positif. Le membre de droite a le signe de \(\Delta\). D'où les trois cas : si \(\Delta < 0\), aucune solution ; si \(\Delta = 0\), une seule ; si \(\Delta > 0\), deux, obtenues en prenant les deux racines carrées.
Cette forme canonique resservira en analyse pour trouver le sommet d'une parabole sans dérivation.
4.2 Factorisation¶
Quand \(\Delta \geqslant 0\) et que \(x_1, x_2\) sont les racines :
Ne pas oublier le \(a\)
C'est l'erreur classique. Pour \(2x^2 - 6x + 4\), les racines sont \(1\) et \(2\), mais la factorisation est \(2(x-1)(x-2)\) et non \((x-1)(x-2)\) — sans le facteur \(2\), le coefficient dominant serait faux.
4.3 Somme et produit des racines¶
Très pratique pour trouver des racines évidentes. Pour \(x^2 - 5x + 6 = 0\) : on cherche deux nombres de somme \(5\) et de produit \(6\) — ce sont \(2\) et \(3\), sans calculer \(\Delta\).
Réciproquement, deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les racines de \(X^2 - SX + P = 0\). C'est un outil de résolution de systèmes.
4.4 Racines évidentes¶
Avant de calculer \(\Delta\), testez toujours :
- \(x = 1\) est racine \(\iff a + b + c = 0\) ;
- \(x = -1\) est racine \(\iff a - b + c = 0\).
Si une racine évidente \(x_1\) est trouvée, l'autre s'obtient par le produit : \(x_2 = \frac{c}{a x_1}\). Cela évite tout calcul de discriminant.
5. Signe d'une expression¶
C'est l'outil central pour résoudre les inéquations.
5.1 Signe de \(ax+b\)¶
\(ax+b\) s'annule en \(x = -\frac{b}{a}\) et est du signe de \(a\) après cette racine.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-b/a\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(ax+b\) (\(a>0\)) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(ax+b\) (\(a<0\)) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
5.2 Signe de \(ax^2+bx+c\)¶
La règle à retenir
Un trinôme est du signe de \(a\) partout, sauf entre les racines.
| Cas | Signe |
|---|---|
| \(\Delta < 0\) | Signe de \(a\) sur tout \(\mathbb{R}\), jamais nul |
| \(\Delta = 0\) | Signe de \(a\) partout, nul en \(x_0\) |
| \(\Delta > 0\) | Signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), signe de \(-a\) entre les racines |
Exemple : \(-x^2 + 3x - 2\). Ici \(a = -1 < 0\), \(\Delta = 9 - 8 = 1 > 0\), racines \(1\) et \(2\). Le trinôme est donc négatif à l'extérieur de \([1;2]\) et positif entre \(1\) et \(2\).
5.3 Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient¶
Méthode en quatre étapes :
- Factoriser complètement.
- Repérer les valeurs qui annulent chaque facteur, et les valeurs interdites (celles qui annulent un dénominateur).
- Placer toutes ces valeurs dans un tableau, dans l'ordre croissant.
- Donner le signe de chaque facteur, puis multiplier les signes ligne par ligne.
6. Inéquations¶
6.1 La règle du signe¶
Multiplier par un négatif retourne l'inégalité
Exemple : \(-2x < 6 \iff x > -3\). Le sens a changé.
Corollaire capital : on ne multiplie jamais une inéquation par une expression contenant l'inconnue, puisqu'on ignore son signe. C'est l'erreur numéro un des inéquations à quotient.
6.2 Inéquations avec quotient¶
Ne jamais multiplier en croix
Pour résoudre \(\dfrac{2x-1}{x+3} \leqslant 0\), on ne multiplie pas par \(x+3\) : son signe est inconnu.
La bonne méthode est le tableau de signes. Un quotient a le même signe que le produit correspondant, à ceci près que le dénominateur ne peut pas s'annuler.
Résolution complète de \(\dfrac{2x-1}{x+3} \leqslant 0\) :
Valeur interdite : \(x = -3\). Racine du numérateur : \(x = \frac12\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(\tfrac12\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x-1\) | \(-\) | \(\vert\) \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(\vert\) \(+\) | \(+\) | ||
| Quotient | \(+\) | \(\Vert\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La double barre \(\Vert\) marque la valeur interdite. Le quotient est négatif ou nul sur \(\left]-3\,;\tfrac12\right]\).
Le crochet est fermé en \(\frac12\) (l'égalité à 0 est autorisée) et ouvert en \(-3\) (valeur interdite).
7. Systèmes linéaires 2×2¶
Méthode par substitution : isoler une inconnue dans une équation, la remplacer dans l'autre.
Méthode par combinaison : multiplier les équations pour faire disparaître une inconnue par addition.
On multiplie la première par 2, la seconde par 3, puis on additionne :
Puis \(2 + 3y = 8\) donne \(y = 2\). Solution : \((x,y) = (1,2)\).
Où cela mène
La méthode par combinaison est l'ancêtre direct du pivot de Gauss, qui généralise le procédé à \(n\) équations et \(n\) inconnues et qu'on étudiera en Algèbre 06. Les trois cas possibles d'un système \(2\times2\) — solution unique, aucune solution, une infinité — sont exactement les trois cas du cas général.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Second degré complet
Résoudre \(3x^2 - 5x - 2 = 0\).
\(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49\), et \(\sqrt{49} = 7\).
Vérification par somme et produit : \(x_1 + x_2 = -\frac13 + 2 = \frac53 = -\frac{b}{a}\) ✓ et \(x_1 x_2 = -\frac23 = \frac{c}{a}\) ✓.
Factorisation : \(3x^2-5x-2 = 3\left(x+\frac13\right)(x-2) = (3x+1)(x-2)\).
Exemple 2 — Racine évidente
Résoudre \(2x^2 - 7x + 5 = 0\).
Test : \(a+b+c = 2 - 7 + 5 = 0\), donc \(x = 1\) est racine.
L'autre racine vérifie \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac52\), donc \(x_2 = \frac52\).
\(\mathcal{S} = \left\{1\,;\tfrac52\right\}\), sans avoir calculé de discriminant.
Exemple 3 — Inéquation avec trinôme
Résoudre \(x^2 - x - 6 \geqslant 0\).
\(\Delta = 1 + 24 = 25\), racines \(\frac{1-5}{2} = -2\) et \(\frac{1+5}{2} = 3\).
\(a = 1 > 0\) : le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Les crochets sont fermés car l'inégalité est large (\(\geqslant\)).
Exemple 4 — Équation avec racine carrée
Résoudre \(\sqrt{x+5} = x - 1\).
Étape 1, conditions. Il faut \(x + 5 \geqslant 0\), soit \(x \geqslant -5\). Et surtout, le membre de droite doit être positif puisqu'il égale une racine carrée : \(x - 1 \geqslant 0\), soit \(x \geqslant 1\).
Étape 2, élévation au carré — licite car les deux membres sont maintenant positifs :
\(\Delta = 9 + 16 = 25\), racines \(-1\) et \(4\).
Étape 3, retour aux conditions. \(x = -1\) ne vérifie pas \(x \geqslant 1\) : on l'écarte. Vérification directe : \(\sqrt{-1+5} = 2\) mais \(-1-1 = -2\). Ce n'est effectivement pas une solution.
\(\mathcal{S} = \{4\}\). Vérification : \(\sqrt9 = 3 = 4-1\) ✓.
Toujours vérifier après un carré
L'élévation au carré crée des solutions parasites. La vérification n'est pas une politesse, c'est une étape obligatoire du raisonnement.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Pourquoi c'est faux |
|---|---|
| \(\dfrac{A}{B} \leqslant 0 \iff A \leqslant 0\) (en « multipliant par \(B\) ») | Le signe de \(B\) est inconnu |
| Oublier de retourner l'inégalité en divisant par un négatif | \(-2x<6\) donne \(x>-3\), pas \(x<-3\) |
| \((x-1)(x-2) = 3 \implies x-1=3\) ou \(x-2=3\) | Le théorème du produit nul ne vaut que pour \(=0\) |
| Oublier la valeur interdite dans l'ensemble solution | Elle exclut un point de l'intervalle |
| Ne pas vérifier après élévation au carré | Solutions parasites |
Exercices¶
★ Exercice 1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\).
a) \(4x - 7 = 2x + 5\) b) \(3(x-2) = 3x - 6\) c) \(5(x+1) = 5x + 2\)
★ Exercice 2. Résoudre par le théorème du produit nul.
a) \((x-3)(2x+8) = 0\) b) \(x(x-5)(x+2) = 0\) c) \((3x-1)^2 = 0\)
★ Exercice 3. Résoudre les équations du second degré.
a) \(x^2 - 7x + 12 = 0\) b) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\) c) \(x^2 - 6x + 9 = 0\) d) \(x^2 + x + 1 = 0\)
★★ Exercice 4. Résoudre en utilisant une racine évidente, sans calculer \(\Delta\).
a) \(3x^2 - 8x + 5 = 0\) b) \(5x^2 + 3x - 2 = 0\)
★★ Exercice 5. Résoudre les inéquations.
a) \(-3x + 4 \geqslant 10\) b) \(x^2 - 4 < 0\) c) \(2x^2 - 5x + 2 \geqslant 0\)
★★ Exercice 6. Résoudre \(\dfrac{x-2}{x+1} \geqslant 1\).
Attention : ce n'est pas une inéquation « quotient \(\geqslant 0\) ». Ramenez tout d'un côté d'abord.
★★★ Exercice 7. Résoudre le système :
Puis résoudre :
et interpréter le résultat.
★★★ Exercice 8. Déterminer les valeurs du réel \(m\) pour lesquelles l'équation \(x^2 - 2mx + m + 6 = 0\) admet :
a) deux racines réelles distinctes ; b) une racine double ; c) aucune racine réelle.
★★★ Exercice 9. Résoudre \(\sqrt{2x+3} = x\), puis \(\sqrt{x+7} = x - 5\).
★★★★ Exercice 10. Soit \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).
a) Montrer que \(1\) est racine de \(P\). b) En déduire une factorisation \(P(x) = (x-1)Q(x)\) où \(Q\) est du second degré. Indication : posez \(Q(x) = x^2 + \alpha x + \beta\), développez, et identifiez les coefficients. c) Résoudre \(P(x) = 0\), puis \(P(x) \geqslant 0\).
★★★★ Exercice 11 — lien informatique. Un algorithme de tri effectue \(T(n) = \frac{n(n-1)}{2}\) comparaisons sur un tableau de taille \(n\).
a) Combien de comparaisons pour \(n = 1000\) ? b) À partir de quelle taille \(n\) l'algorithme dépasse-t-il un million de comparaisons ? Résoudre l'inéquation exactement, puis conclure sur le plus petit entier convenable. c) On dispose d'un budget de \(C\) comparaisons. Exprimer la taille maximale \(n\) traitable en fonction de \(C\), et montrer que \(n \approx \sqrt{2C}\) pour \(C\) grand.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(4x-7 = 2x+5 \iff 2x = 12 \iff x = 6\). \(\mathcal{S} = \{6\}\).
b) \(3(x-2) = 3x-6\) donne \(3x-6 = 3x-6\), soit \(0=0\) : toujours vrai. \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\).
c) \(5x+5 = 5x+2\) donne \(5 = 2\) : jamais vrai. \(\mathcal{S} = \varnothing\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(x = 3\) ou \(2x+8=0 \iff x = -4\). \(\mathcal{S} = \{-4\,;3\}\).
b) Trois facteurs : \(\mathcal{S} = \{-2\,;0\,;5\}\).
c) \((3x-1)^2 = 0 \iff 3x-1 = 0 \iff x = \frac13\). \(\mathcal{S} = \left\{\frac13\right\}\) — racine double, mais l'ensemble solution ne contient qu'un élément.
Corrigé — Exercice 3
a) Somme \(7\), produit \(12\) : les racines sont \(3\) et \(4\). \(\mathcal{S} = \{3\,;4\}\).
b) \(\Delta = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt\Delta = 7\). \(x_1 = \frac{-5-7}{4} = -3\), \(x_2 = \frac{-5+7}{4} = \frac12\). \(\mathcal{S} = \left\{-3\,;\frac12\right\}\).
c) \(\Delta = 36-36 = 0\), racine double \(x_0 = 3\). \(\mathcal{S} = \{3\}\). On reconnaît aussi \((x-3)^2\).
d) \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\). \(\mathcal{S} = \varnothing\) dans \(\mathbb{R}\).
Info
Cette équation aura deux solutions dans \(\mathbb{C}\) — voir Analyse 10. Ses racines, \(j = \frac{-1+i\sqrt3}{2}\) et son conjugué, sont les racines cubiques de l'unité autres que 1.
Corrigé — Exercice 4
a) \(a+b+c = 3-8+5 = 0\), donc \(x_1 = 1\). Produit : \(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac53\), donc \(x_2 = \frac53\). \(\mathcal{S} = \left\{1\,;\frac53\right\}\).
b) \(a-b+c = 5-3-2 = 0\), donc \(x_1 = -1\). Produit : \(x_1 x_2 = \frac{-2}{5}\), donc \(x_2 = \frac25\). \(\mathcal{S} = \left\{-1\,;\frac25\right\}\).
Corrigé — Exercice 5
a) \(-3x+4 \geqslant 10 \iff -3x \geqslant 6 \iff x \leqslant -2\) (division par \(-3\), l'inégalité se retourne). \(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;-2\right]\).
b) \(x^2-4 < 0 \iff (x-2)(x+2) < 0\). Trinôme avec \(a>0\), racines \(-2\) et \(2\) : négatif entre les racines. \(\mathcal{S} = \left]-2\,;2\right[\).
c) \(\Delta = 25-16 = 9\), racines \(\frac{5-3}{4} = \frac12\) et \(\frac{5+3}{4} = 2\). \(a = 2 > 0\) : positif à l'extérieur. \(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\frac12\right] \cup \left[2\,;+\infty\right[\).
Corrigé — Exercice 6
Ne surtout pas multiplier par \(x+1\). On ramène tout d'un côté :
Le numérateur est constant et strictement négatif. Le quotient est donc positif si et seulement si \(x+1 < 0\), soit \(x < -1\). L'égalité à 0 est impossible (le numérateur ne s'annule jamais).
Vérification : pour \(x = -2\), \(\frac{-4}{-1} = 4 \geqslant 1\) ✓. Pour \(x = 0\), \(\frac{-2}{1} = -2 \not\geqslant 1\) ✓.
Corrigé — Exercice 7
Premier système. \(x\) et \(y\) sont deux nombres de somme \(7\) et de produit \(12\) : ce sont les racines de
dont les racines sont \(3\) et \(4\).
\(\mathcal{S} = \{(3,4)\,;(4,3)\}\) — les deux couples, car le système est symétrique en \(x\) et \(y\).
Second système. \(X^2 - 4X + 5 = 0\) a pour discriminant \(\Delta = 16-20 = -4 < 0\) : aucune racine réelle.
\(\mathcal{S} = \varnothing\) dans \(\mathbb{R}^2\).
Interprétation. Il n'existe aucun couple de réels dont la somme vaut 4 et le produit 5. Géométriquement : la droite \(x+y=4\) et l'hyperbole \(xy=5\) ne se coupent pas.
On peut le voir autrement : pour une somme fixée \(S\), le produit maximal est atteint quand \(x = y = \frac{S}{2}\), et vaut \(\frac{S^2}{4}\). Ici \(\frac{16}{4} = 4 < 5\) : le produit demandé est hors d'atteinte. C'est l'inégalité arithmético-géométrique.
Corrigé — Exercice 8
\(\Delta = (-2m)^2 - 4(m+6) = 4m^2 - 4m - 24 = 4(m^2 - m - 6)\).
On étudie le signe de \(m^2 - m - 6\). Son discriminant vaut \(1 + 24 = 25\), ses racines \(\frac{1-5}{2} = -2\) et \(\frac{1+5}{2} = 3\). Coefficient dominant positif : positif à l'extérieur de \([-2;3]\).
a) \(\Delta > 0 \iff m \in \left]-\infty;-2\right[ \cup \left]3;+\infty\right[\).
b) \(\Delta = 0 \iff m = -2\) ou \(m = 3\).
c) \(\Delta < 0 \iff m \in \left]-2\,;3\right[\).
Vérification pour \(m = 0\) (qui est dans \(]-2;3[\)) : l'équation devient \(x^2 + 6 = 0\), effectivement sans racine réelle ✓.
Vérification pour \(m = 3\) : \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\), racine double ✓.
Corrigé — Exercice 9
Première équation : \(\sqrt{2x+3} = x\).
Conditions : \(2x+3 \geqslant 0\) et \(x \geqslant 0\), donc \(x \geqslant 0\).
Au carré : \(2x+3 = x^2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0\). \(\Delta = 4+12 = 16\), racines \(-1\) et \(3\).
\(x = -1\) viole \(x \geqslant 0\) : écartée. \(\mathcal{S} = \{3\}\). Vérification : \(\sqrt9 = 3\) ✓.
Seconde équation : \(\sqrt{x+7} = x-5\).
Conditions : \(x \geqslant -7\) et \(x \geqslant 5\), donc \(x \geqslant 5\).
Au carré : \(x+7 = x^2 - 10x + 25 \iff x^2 - 11x + 18 = 0\). \(\Delta = 121 - 72 = 49\), racines \(\frac{11-7}{2} = 2\) et \(\frac{11+7}{2} = 9\).
\(x = 2\) viole \(x \geqslant 5\) : écartée. \(\mathcal{S} = \{9\}\). Vérification : \(\sqrt{16} = 4 = 9-5\) ✓.
Le schéma général
Une équation \(\sqrt{A} = B\) équivaut au système \(\begin{cases} B \geqslant 0 \\ A = B^2 \end{cases}\). La condition \(A \geqslant 0\) est alors automatique, puisque \(A = B^2\).
Corrigé — Exercice 10
a) \(P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\) ✓.
b) Posons \(P(x) = (x-1)(x^2+\alpha x+\beta)\) et développons :
Identification avec \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) :
- terme constant : \(-\beta = -6\), donc \(\beta = 6\) ;
- coefficient de \(x^2\) : \(\alpha - 1 = -6\), donc \(\alpha = -5\) ;
- vérification sur \(x\) : \(\beta - \alpha = 6-(-5) = 11\) ✓.
c) \(x^2-5x+6\) a pour racines \(2\) et \(3\) (somme 5, produit 6). Donc
Signe de \(P\) — tableau à trois facteurs :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x-1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | ||||
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | ||||
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||||
| \(P(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Le signe alterne
Quand toutes les racines sont simples, le signe d'un polynôme alterne à chaque racine, et il est du signe du coefficient dominant après la plus grande racine. Ce raccourci évite le tableau complet une fois qu'on l'a compris.
Corrigé — Exercice 11
a) \(T(1000) = \dfrac{1000 \times 999}{2} = 499\,500\) comparaisons.
b) On résout \(\dfrac{n(n-1)}{2} > 10^6\), soit \(n^2 - n - 2\,000\,000 > 0\).
\(\Delta = 1 + 8\,000\,000 = 8\,000\,001\), et \(\sqrt{8\,000\,001} \approx 2828{,}43\).
Racine positive : \(n = \dfrac{1 + 2828{,}43}{2} \approx 1414{,}71\).
Le trinôme est positif au-delà, donc le plus petit entier convenable est \(n = 1415\).
Vérification : \(T(1414) = \frac{1414 \times 1413}{2} = 998\,991 \leqslant 10^6\), et \(T(1415) = \frac{1415 \times 1414}{2} = 1\,000\,405 > 10^6\) ✓.
c) On résout \(\dfrac{n(n-1)}{2} \leqslant C\), soit \(n^2 - n - 2C \leqslant 0\). La racine positive est
Pour \(C\) grand, \(1 + 8C \approx 8C\), donc
Interprétation. Doubler le budget de comparaisons ne double pas la taille traitable : elle est multipliée par \(\sqrt2 \approx 1{,}41\). C'est la signature d'un algorithme en \(O(n^2)\) — et l'argument concret qui justifie de préférer un tri en \(O(n\log n)\). Ce type de raisonnement est exactement ce que demande le module de modélisation.
Chapitre suivant : Fonctions et graphes.