01 · Univers et événements¶
Intuition
Avant de calculer une probabilité, il faut décider de quoi on parle. C'est l'étape que les débutants sautent, et c'est celle qui produit l'immense majorité des erreurs.
Modéliser une expérience aléatoire, c'est répondre à deux questions :
- Quels sont les résultats possibles ? → l'univers \(\Omega\).
- Quels regroupements de résultats m'intéressent ? → les événements.
Et la découverte du chapitre est que ces regroupements sont exactement des parties de \(\Omega\) : tout le vocabulaire probabiliste est du vocabulaire ensembliste traduit.
1. Expérience aléatoire et univers¶
Définitions
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prédire lequel se produira.
L'univers \(\Omega\) est l'ensemble de tous les résultats possibles. Un élément \(\omega\in\Omega\) est une issue ou un résultat élémentaire.
Exemples.
| Expérience | Univers \(\Omega\) | \(\operatorname{Card}\Omega\) |
|---|---|---|
| Lancer d'un dé | \(\{1,2,3,4,5,6\}\) | 6 |
| Lancer d'une pièce | \(\{P,F\}\) | 2 |
| Deux dés discernables | \(\{1,\dots,6\}^2\) | 36 |
| Tirage de 5 cartes sur 52 | Parties à 5 éléments | \(\binom{52}{5}\) |
| Durée de vie d'un composant | \([0;+\infty[\) | infini non dénombrable |
Le choix de \(\Omega\) n'est pas unique — mais il n'est pas libre
Pour deux dés, on peut prendre \(\Omega = \{1,\dots,6\}^2\) (36 couples ordonnés, dés discernables) ou l'ensemble des paires non ordonnées (21 éléments).
Seul le premier est équiprobable. Avec le second, la paire \(\{1,2\}\) est deux fois plus probable que \(\{1,1\}\), et le calcul « nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles » devient faux.
C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre suivant. Règle : choisir un univers où toutes les issues sont également probables, quitte à distinguer artificiellement des objets identiques.
2. Événements¶
Définition
Un événement est une partie de \(\Omega\) : \(A \subset \Omega\).
L'événement \(A\) est réalisé si l'issue observée appartient à \(A\).
Cas particuliers.
| Événement | Description |
|---|---|
| \(\varnothing\) | Impossible — jamais réalisé |
| \(\Omega\) | Certain — toujours réalisé |
| \(\{\omega\}\) | Élémentaire — une seule issue |
Exemple. Pour un dé, \(A\) = « obtenir un nombre pair » \(= \{2,4,6\}\).
3. Le dictionnaire¶
La table de traduction — à connaître par cœur
| Langage courant | Langage ensembliste | Notation |
|---|---|---|
| \(A\) et \(B\) | Intersection | \(A\cap B\) |
| \(A\) ou \(B\) | Réunion | \(A\cup B\) |
| non \(A\), contraire de \(A\) | Complémentaire | \(\overline A\) |
| \(A\) mais pas \(B\) | Différence | \(A\setminus B = A\cap\overline B\) |
| \(A\) implique \(B\) | Inclusion | \(A\subset B\) |
| \(A\) et \(B\) incompatibles | Intersection vide | \(A\cap B=\varnothing\) |
| Exactement un des deux | Différence symétrique | \(A\Delta B\) |
Tout le chapitre Algèbre 02 s'applique donc directement — y compris les lois de De Morgan, qui sont l'outil le plus utilisé :
La traduction la plus rentable
Avec \(n\) événements \(A_1,\dots,A_n\) :
Calculer « au moins un » directement demande un crible à \(2^n\) termes. Passer par le complémentaire demande une multiplication si les événements sont indépendants. C'est le réflexe numéro un de tout le module.
Le « ou » est inclusif
« \(A\) ou \(B\) » inclut le cas où les deux se produisent. Le « ou » exclusif du langage courant correspond à \(A\Delta B\).
4. Systèmes complets d'événements¶
Définition
Une famille \((A_1,\dots,A_n)\) forme un système complet d'événements si :
- les \(A_i\) sont non vides ;
- ils sont deux à deux incompatibles : \(A_i\cap A_j=\varnothing\) pour \(i\neq j\) ;
- ils recouvrent \(\Omega\) : \(A_1\cup\dots\cup A_n = \Omega\).
C'est exactement une partition de \(\Omega\) au sens du chapitre Algèbre 02.
Le système complet le plus simple : \((A, \overline A)\) pour tout événement \(A\) non trivial.
Pourquoi c'est central
Un système complet permet de découper un calcul en cas disjoints. C'est l'hypothèse exacte de la formule des probabilités totales (chapitre 04) :
5. Choisir son univers : la méthode¶
Le protocole de modélisation
- Décrire l'expérience en une phrase, en identifiant ce qui est tiré et comment.
- L'ordre compte-t-il ? Tirage successif → oui. Tirage simultané → non.
- Y a-t-il remise ? Le même objet peut-il sortir deux fois ?
- Écrire \(\Omega\) et calculer \(\operatorname{Card}\Omega\) avec les outils de combinatoire.
- Vérifier l'équiprobabilité : toutes les issues sont-elles également vraisemblables ?
| Tirage | Ordre | Remise | \(\operatorname{Card}\Omega\) |
|---|---|---|---|
| Successif avec remise | oui | oui | \(n^k\) |
| Successif sans remise | oui | non | \(A_n^k\) |
| Simultané | non | non | \(\binom nk\) |
Exemples traités¶
Exemple 1 — Deux dés
On lance deux dés discernables. Décrire \(\Omega\) et les événements :
- \(A\) : « la somme vaut 7 » ;
- \(B\) : « les deux dés donnent le même résultat » ;
- \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(\overline A\).
\(\Omega = \{1,\dots,6\}^2\), de cardinal 36 (couples ordonnés, univers équiprobable).
\(A\cap B = \varnothing\) : la somme de deux nombres égaux est paire, donc jamais 7. \(A\) et \(B\) sont incompatibles.
\(\operatorname{Card}(A\cup B) = 6+6-0 = 12\).
\(\overline A\) : « la somme ne vaut pas 7 », de cardinal \(36-6 = 30\).
Exemple 2 — Traduire un énoncé
Trois composants fonctionnent indépendamment. Soit \(F_i\) l'événement « le composant \(i\) tombe en panne ». Traduire :
| Phrase | Écriture |
|---|---|
| Les trois tombent en panne | \(F_1\cap F_2\cap F_3\) |
| Aucun ne tombe en panne | \(\overline{F_1}\cap\overline{F_2}\cap\overline{F_3}\) |
| Au moins un tombe en panne | \(F_1\cup F_2\cup F_3\) |
| Exactement un tombe en panne | \((F_1\cap\overline{F_2}\cap\overline{F_3}) \cup (\overline{F_1}\cap F_2\cap\overline{F_3}) \cup (\overline{F_1}\cap\overline{F_2}\cap F_3)\) |
| Au plus un tombe en panne | « aucun » \(\cup\) « exactement un » |
Vérification par De Morgan : « au moins un » est bien le contraire de « aucun » :
Exemple 3 — Le piège de l'univers non équiprobable
On lance deux dés indiscernables. Quelle est la probabilité d'obtenir un double 6 ?
Mauvaise modélisation : \(\Omega'\) = ensemble des paires non ordonnées, de cardinal 21. On conclurait \(P = \frac{1}{21}\).
C'est faux. Les issues de \(\Omega'\) ne sont pas équiprobables : la paire \(\{1,2\}\) correspond à deux couples physiques \((1,2)\) et \((2,1)\), alors que \(\{6,6\}\) n'en correspond qu'à un.
Bonne modélisation : \(\Omega = \{1,\dots,6\}^2\), de cardinal 36, où toutes les issues sont équiprobables. On distingue artificiellement les dés — un dé rouge et un dé bleu — même s'ils sont physiquement identiques.
La règle
Quand des objets sont physiquement identiques mais distinguables en pensée, distinguez-les. L'indiscernabilité est une propriété de notre perception, pas du hasard.
Exemple 4 — Système complet
Une urne contient des boules rouges, vertes et bleues. On en tire une.
\((R, V, B)\) est un système complet : une boule a exactement une couleur, et il n'y en a pas d'autre.
En revanche \((R, V)\) ne l'est pas — il ne recouvre pas \(\Omega\) — et \((R, \text{« rouge ou verte »})\) non plus : les deux événements ne sont pas incompatibles.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Univers non équiprobable | Distinguer les objets identiques |
| Confondre « ou » inclusif et exclusif | Le « ou » mathématique est inclusif |
| \(\overline{A\cup B} = \overline A\cup\overline B\) | De Morgan échange \(\cup\) et \(\cap\) |
| « Au moins un » calculé directement | Passer par le complémentaire |
| Système complet sans recouvrement | Les trois conditions sont requises |
| Oublier de préciser \(\Omega\) | C'est la première ligne de toute solution |
Exercices¶
★ Exercice 1. Décrire \(\Omega\) et donner son cardinal.
a) Lancer de trois pièces b) Tirage successif avec remise de 2 boules dans une urne de 5 c) Tirage simultané de 3 cartes dans un jeu de 32 d) Lancer d'un dé jusqu'au premier 6
★ Exercice 2. Pour un lancer de dé, écrire en extension :
a) \(A\) : « obtenir un multiple de 3 » b) \(B\) : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » c) \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(\overline{A}\cap B\)
★★ Exercice 3. Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois événements. Écrire en langage ensembliste :
a) Seul \(A\) se réalise b) Au moins deux se réalisent c) Exactement deux se réalisent d) Aucun ne se réalise
★★ Exercice 4. Simplifier.
a) \((A\cap B)\cup(A\cap\overline B)\) b) \(\overline{\overline A\cup\overline B}\) c) \(A\cup(\overline A\cap B)\)
★★ Exercice 5. On lance deux dés. Décrire les événements suivants et donner leur cardinal.
a) « La somme est paire » b) « Le produit est impair » c) « Le premier dé est strictement supérieur au second »
★★★ Exercice 6. Un mot de passe fait 4 caractères pris parmi 26 lettres.
a) Décrire \(\Omega\) et son cardinal.
b) Décrire l'événement « toutes les lettres sont distinctes » et son cardinal.
c) Décrire « le mot contient au moins un a » et calculer son cardinal par le
complémentaire.
★★★ Exercice 7. Montrer que si \((A_1,\dots,A_n)\) est un système complet, alors pour tout événement \(B\) :
et que ces \(n\) événements sont deux à deux incompatibles.
★★★ Exercice 8. On tire successivement sans remise 3 boules dans une urne contenant 4 rouges et 6 bleues.
a) Décrire \(\Omega\) et son cardinal si l'on retient l'ordre. b) Même question si l'on ne retient que le nombre de rouges obtenues. Cet univers est-il équiprobable ? c) Conclure sur le choix à faire.
★★★★ Exercice 9 — lien informatique. Un générateur pseudo-aléatoire produit des entiers de 32 bits.
a) Décrire \(\Omega\) pour un tirage.
b) On veut un entier uniforme dans \([\![0;9]\!]\). Pourquoi
rand() % 10 n'est-il pas uniforme ? Quantifier le biais.
c) Proposer une méthode correcte (rejet) et justifier son uniformité.
d) Quelle est l'espérance du nombre de tirages avant acceptation ?
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(\Omega = \{P,F\}^3\), \(\operatorname{Card}\Omega = 2^3 = 8\).
b) \(\Omega = \{1,\dots,5\}^2\), \(\operatorname{Card}\Omega = 25\).
c) \(\Omega\) = ensemble des parties à 3 éléments d'un ensemble à 32, \(\operatorname{Card}\Omega = \binom{32}{3} = 4960\).
d) \(\Omega = \mathbb{N}^*\) (le rang du premier 6) — univers infini dénombrable. On peut aussi y adjoindre l'issue « jamais de 6 », de probabilité nulle.
Corrigé — Exercice 2
a) \(A = \{3,6\}\). b) \(B = \{4,5,6\}\). c) \(A\cap B = \{6\}\) ; \(A\cup B = \{3,4,5,6\}\) ; \(\overline A\cap B = \{4,5\}\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(A\cap\overline B\cap\overline C\).
b) \((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\).
(Cette écriture inclut le cas des trois — c'est bien « au moins deux ».)
c) \((A\cap B\cap\overline C)\cup(A\cap\overline B\cap C) \cup(\overline A\cap B\cap C)\).
d) \(\overline A\cap\overline B\cap\overline C = \overline{A\cup B\cup C}\).
Corrigé — Exercice 4
a) Distributivité : \(A\cap(B\cup\overline B) = A\cap\Omega = A\).
b) De Morgan : \(\overline{\overline A}\cap\overline{\overline B} = A\cap B\).
c) Distributivité : \((A\cup\overline A)\cap(A\cup B) = \Omega\cap(A\cup B) = A\cup B\).
Corrigé — Exercice 5
\(\Omega = \{1,\dots,6\}^2\), cardinal 36.
a) La somme est paire ssi les deux dés ont la même parité. \(3\times3\) (deux pairs) \(+\ 3\times3\) (deux impairs) \(= 18\).
b) Le produit est impair ssi les deux sont impairs : \(3\times3=9\).
c) Les couples \((a,b)\) avec \(a>b\). Par symétrie, il y en a autant que de couples avec \(a<b\), et il y a 6 couples avec \(a=b\) :
Vérification : \(5+4+3+2+1+0 = 15\) ✓ (pour \(b=1,\dots,6\)).
Corrigé — Exercice 6
a) \(\Omega = \{a,\dots,z\}^4\), \(\operatorname{Card}\Omega = 26^4 = 456\,976\).
b) Arrangements de 4 lettres parmi 26 :
c) Complémentaire : aucun a, soit 25 choix par position :
\(25^4 = 390\,625\).
Corrigé — Exercice 7
Égalité. Comme \(\bigcup A_i = \Omega\) :
(distributivité de \(\cap\) sur \(\cup\), chapitre Algèbre 02). \(\blacksquare\)
Incompatibilité. Pour \(i\neq j\) :
\(\blacksquare\)
C'est le squelette des probabilités totales
Cette décomposition permettra d'écrire \(P(B) = \sum_i P(B\cap A_i)\) par additivité, puis \(P(B) = \sum_i P(B\mid A_i)P(A_i)\) au chapitre 04.
Corrigé — Exercice 8
a) Tirage successif sans remise de 3 boules parmi 10 numérotées :
Univers équiprobable ✓
b) \(\Omega' = \{0,1,2,3\}\) (nombre de rouges), de cardinal 4.
Cet univers n'est PAS équiprobable. Par exemple :
Les issues « 1 rouge » et « 3 rouges » ont des probabilités très différentes.
c) On raisonne toujours dans l'univers équiprobable (a), où le comptage « favorables sur possibles » est licite. \(\Omega'\) n'est pas un mauvais objet — c'est l'ensemble des valeurs d'une variable aléatoire, notion du chapitre 06 — mais on ne peut pas y compter naïvement.
Corrigé — Exercice 9
a) \(\Omega = [\![0;2^{32}-1]\!]\), de cardinal \(2^{32} = 4\,294\,967\,296\), supposé équiprobable.
b) \(2^{32} = 429\,496\,729\times10 + 6\).
En calculant rand() % 10, les restes \(0,1,2,3,4,5\) sont atteints
\(429\,496\,730\) fois, tandis que \(6,7,8,9\) ne le sont que
\(429\,496\,729\) fois.
Biais :
L'écart relatif est de l'ordre de \(2\times10^{-9}\) — négligeable ici, mais il devient énorme quand le modulo est du même ordre que \(2^{32}\).
Exemple critique : pour rand() % 3000000000, les valeurs inférieures à
\(2^{32}-3\times10^9 \approx 1{,}29\times10^9\) sont deux fois plus
probables que les autres.
c) Méthode du rejet.
def uniforme_0_9(rand32):
"""rand32() renvoie un entier uniforme sur [0, 2**32 - 1]."""
seuil = (2**32 // 10) * 10 # = 4294967290
while True:
r = rand32()
if r < seuil:
return r % 10
Justification. On ne garde que les valeurs de \([\![0;\text{seuil}-1]\!]\), dont le cardinal \(4\,294\,967\,290\) est exactement divisible par 10. Sur cet ensemble tronqué, chaque reste modulo 10 est atteint exactement \(429\,496\,729\) fois : la distribution est exactement uniforme. \(\blacksquare\)
d) Espérance du nombre de tirages.
La probabilité d'acceptation à chaque tirage est
Le nombre de tirages suit une loi géométrique de paramètre \(p\) (chapitre 07), d'espérance
En pratique, la boucle s'exécute une seule fois, sauf environ une fois
sur 700 millions. Le coût de la correction est nul, et c'est ce qu'implémente
random.randrange en Python — contrairement au % naïf du C.
Chapitre suivant : Axiomes et propriétés.