02 · Axiomes et propriétés¶
Intuition
Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 attribué à chaque événement, de façon cohérente. « Cohérente » se ramène à trois exigences seulement, et tout le reste — les formules du complémentaire, du crible, de la croissance — s'en déduit.
C'est la grande économie de l'axiomatique de Kolmogorov (1933) : trois lignes d'axiomes remplacent des siècles de raisonnements au cas par cas.
1. Les axiomes de Kolmogorov¶
Définition
Une probabilité sur \(\Omega\) est une application \(P\) qui à tout événement associe un réel, vérifiant :
| Axiome | Énoncé |
|---|---|
| A1 — Positivité | \(P(A) \geqslant 0\) pour tout \(A\) |
| A2 — Normalisation | \(P(\Omega) = 1\) |
| A3 — Additivité | \(A\cap B = \varnothing \implies P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) |
(Pour un univers infini, A3 s'étend à une réunion dénombrable d'événements deux à deux incompatibles : c'est la \(\sigma\)-additivité.)
Le triplet \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) s'appelle un espace probabilisé.
L'additivité exige l'incompatibilité
\(P(A\cup B) = P(A)+P(B)\) est faux si \(A\cap B\neq\varnothing\) : on compterait deux fois l'intersection.
C'est l'erreur numéro un du chapitre, et elle donne souvent des « probabilités » supérieures à 1 — ce qui devrait alerter immédiatement.
2. Conséquences immédiates¶
Les six propriétés à connaître
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Complémentaire | \(P(\overline A) = 1-P(A)\) |
| Événement impossible | \(P(\varnothing)=0\) |
| Bornes | \(0\leqslant P(A)\leqslant1\) |
| Croissance | \(A\subset B \implies P(A)\leqslant P(B)\) |
| Différence | \(P(B\setminus A) = P(B)-P(A\cap B)\) |
| Crible | \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) |
Démonstrations
Complémentaire. \(A\) et \(\overline A\) sont incompatibles et leur réunion est \(\Omega\). Par A3 et A2 :
Impossible. \(\varnothing = \overline\Omega\), donc \(P(\varnothing) = 1-P(\Omega) = 0\).
Bornes. \(P(A)\geqslant0\) par A1 ; et \(P(A) = 1-P(\overline A)\leqslant1\) puisque \(P(\overline A)\geqslant0\).
Croissance. Si \(A\subset B\), alors \(B = A\cup(B\setminus A)\), réunion disjointe. Donc \(P(B) = P(A)+P(B\setminus A)\geqslant P(A)\).
Crible. Décomposons \(A\cup B\) en trois morceaux disjoints : \(A\setminus B\), \(A\cap B\), \(B\setminus A\). Alors
et comme \(P(A) = P(A\setminus B)+P(A\cap B)\), de même pour \(B\), on obtient en additionnant \(P(A)+P(B) = P(A\cup B)+P(A\cap B)\). \(\blacksquare\)
\(P(A) = 0\) ne signifie pas « impossible »
Sur un univers infini, un événement de probabilité nulle peut se produire. Tirer un réel au hasard dans \([0;1]\) : la probabilité d'obtenir exactement \(\frac12\) est nulle, et pourtant un nombre sort.
De même, \(P(A)=1\) ne signifie pas « certain » mais « presque sûr ».
Sur un univers fini, en revanche, \(P(A)=0\) équivaut bien à \(A=\varnothing\).
Crible à trois événements :
Les signes alternent, exactement comme pour les cardinaux au chapitre Algèbre 02.
3. Probabilité uniforme¶
Cas équiprobable
Si \(\Omega\) est fini et si toutes les issues ont la même probabilité, alors pour tout événement \(A\) :
Cette formule n'est valable QUE dans le cas équiprobable
Elle suppose que chaque issue a la probabilité \(\frac{1}{\operatorname{Card}\Omega}\). Si l'univers n'est pas équiprobable — dés pipés, boules de tailles différentes, univers mal choisi — elle est fausse.
C'est pourquoi le chapitre précédent insistait tant sur le choix de \(\Omega\).
Conséquence : dans le cas uniforme, calculer une probabilité est un dénombrement. C'est tout l'objet du chapitre suivant.
4. Loi de probabilité sur un univers fini¶
Quand \(\Omega = \{\omega_1,\dots,\omega_n\}\), définir \(P\) revient à se donner les \(p_i = P(\{\omega_i\})\) avec
La probabilité d'un événement est alors la somme des probabilités de ses issues :
Vérification systématique
Devant toute loi de probabilité proposée, vérifiez que la somme vaut 1. C'est le premier contrôle, et il attrape la plupart des erreurs d'énoncé comme de calcul.
5. Stratégie de calcul¶
Les quatre réflexes
- « Au moins un » → passer au complémentaire « aucun ».
- « Ou » → crible, sauf si incompatibles.
- Événements disjoints → additionner directement.
- Univers équiprobable → dénombrer.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Complémentaire
On lance 4 dés. Probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
Directement, il faudrait un crible à 4 termes. Passons au complémentaire.
\(\Omega = \{1,\dots,6\}^4\), de cardinal \(6^4 = 1296\), équiprobable.
« Aucun 6 » : 5 choix par dé, soit \(5^4 = 625\) issues.
Le problème du chevalier de Méré
C'est le problème historique posé à Pascal en 1654 : parier sur au moins un 6 en 4 lancers d'un dé est légèrement favorable (51,8 %), alors que parier sur au moins un double 6 en 24 lancers de deux dés est légèrement défavorable : \(\displaystyle 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}4914\)
La correspondance Pascal-Fermat sur cette question a fondé le calcul des probabilités.
Exemple 2 — Crible
Dans une promotion, 60 % suivent l'option A, 45 % l'option B, et 20 % les deux. Quelle proportion ne suit aucune des deux ?
15 % ne suivent aucune option.
Vérification par partition : A seul \(0{,}40\) + B seul \(0{,}25\) + les deux \(0{,}20\) + aucune \(0{,}15\) = \(1{,}00\) ✓
Exemple 3 — Loi non uniforme
Un dé pipé donne 6 avec probabilité \(\frac13\), les autres faces étant équiprobables entre elles. Calculer \(P(\text{pair})\).
Les faces 1 à 5 se partagent \(1-\frac13 = \frac23\), donc chacune vaut \(\frac{2}{15}\).
Vérification : \(5\times\frac{2}{15}+\frac13 = \frac23+\frac13 = 1\) ✓
À comparer au dé équilibré, où \(P(\text{pair}) = \frac12\).
Exemple 4 — Le paradoxe des anniversaires
Dans un groupe de \(n\) personnes, quelle est la probabilité que deux partagent leur date d'anniversaire ? (365 jours, équiprobables.)
Complémentaire : toutes les dates distinctes.
\(\Omega\) = suites de \(n\) dates, cardinal \(365^n\). « Toutes distinctes » : arrangements, \(A_{365}^n\).
| \(n\) | \(P(n)\) |
|---|---|
| 10 | 0,117 |
| 20 | 0,411 |
| 23 | 0,507 |
| 30 | 0,706 |
| 50 | 0,970 |
| 70 | 0,999 |
À partir de 23 personnes, il est plus probable que deux partagent leur anniversaire qu'aucune.
Pourquoi c'est contre-intuitif
On pense au nombre de personnes (23), alors que ce qui compte est le nombre de paires : \(\binom{23}{2} = 253\). Chaque paire a une chance sur 365 de coïncider, et 253 essais suffisent à rendre l'événement probable.
C'est exactement le raisonnement derrière l'attaque des anniversaires en cryptographie : trouver une collision dans une fonction de hachage sur \(n\) bits demande environ \(2^{n/2}\) essais, pas \(2^n\). C'est pourquoi SHA-256 offre 128 bits de sécurité contre les collisions, pas 256.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) sans incompatibilité | Crible |
| Utiliser \(\frac{\text{fav}}{\text{poss}}\) sur un univers non uniforme | Vérifier l'équiprobabilité |
| Obtenir \(P>1\) et ne pas s'alerter | Contrôle immédiat |
| « \(P(A)=0\) donc \(A\) impossible » | Faux en univers infini |
| Oublier de vérifier \(\sum p_i=1\) | Premier contrôle |
| Calculer « au moins un » directement | Complémentaire |
Exercices¶
★ Exercice 1. \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calculer :
a) \(P(A\cup B)\) b) \(P(\overline A)\) c) \(P(A\setminus B)\) d) \(P(\overline A\cap\overline B)\)
★ Exercice 2. On lance un dé équilibré. Calculer la probabilité :
a) d'obtenir un nombre pair b) d'obtenir au moins 5 c) d'obtenir un nombre premier
★★ Exercice 3. Une urne contient 5 boules rouges, 3 vertes, 2 bleues. On en tire une.
a) Vérifier que la loi est bien définie. b) Calculer \(P(\text{rouge ou verte})\). c) Calculer \(P(\text{pas bleue})\) de deux façons.
★★ Exercice 4. On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité que :
a) la somme vaille 7 b) la somme soit supérieure ou égale à 10 c) au moins un dé donne 6 d) les deux dés donnent des résultats différents
★★ Exercice 5. Une pièce truquée donne pile avec probabilité \(p\). On la lance 3 fois.
a) Écrire la probabilité d'obtenir exactement 2 piles. b) Calculer pour \(p=0{,}6\). c) Vérifier que la somme des probabilités des 4 issues (0, 1, 2 ou 3 piles) vaut 1.
★★★ Exercice 6. Démontrer l'inégalité de Boole :
Indication : récurrence sur \(n\), en utilisant le crible.
Dans quel cas y a-t-il égalité ?
★★★ Exercice 7. Dans une population, 30 % lisent le journal A, 25 % le journal B, 20 % le C ; 10 % lisent A et B, 8 % A et C, 5 % B et C, et 3 % les trois.
a) Quelle proportion lit au moins un journal ? b) Quelle proportion en lit exactement un ?
★★★ Exercice 8. On tire 5 cartes dans un jeu de 52. Calculer la probabilité d'obtenir :
a) exactement une paire (et rien de mieux) b) au moins un as c) un brelan (exactement trois cartes de même valeur)
★★★★ Exercice 9. Le problème des rencontres. \(n\) personnes déposent leur chapeau et le reprennent au hasard. Soit \(A_i\) l'événement « la personne \(i\) récupère son propre chapeau ».
a) Calculer \(P(A_i)\), puis \(P(A_i\cap A_j)\) pour \(i\neq j\). b) Par le crible généralisé, montrer que
c) En déduire que \(P(\text{personne ne retrouve son chapeau}) \to e^{-1}\). d) Calculer numériquement pour \(n=4\) et \(n=10\).
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. L'attaque des anniversaires sur une fonction de hachage produisant \(b\) bits.
a) En reprenant le calcul de l'exemple 4 avec \(N=2^b\) valeurs possibles, montrer que la probabilité de collision parmi \(n\) empreintes vérifie
Indication : \(\ln(1-x)\approx -x\) pour \(x\) petit. b) En déduire le nombre \(n\) d'empreintes pour atteindre \(P=\frac12\). c) Application à MD5 (\(b=128\)) et SHA-256 (\(b=256\)). d) Vérifier numériquement la formule sur le cas des anniversaires (\(N=365\)).
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(0{,}4+0{,}5-0{,}2 = 0{,}7\).
b) \(1-0{,}4 = 0{,}6\).
c) \(P(A)-P(A\cap B) = 0{,}4-0{,}2 = 0{,}2\).
d) De Morgan : \(\overline A\cap\overline B = \overline{A\cup B}\), donc \(1-0{,}7 = 0{,}3\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(\frac36 = \frac12\). b) \(\{5,6\}\), soit \(\frac26 = \frac13\). c) Premiers dans \(\{1,\dots,6\}\) : \(\{2,3,5\}\) (1 n'est pas premier), soit \(\frac36 = \frac12\).
Corrigé — Exercice 3
a) 10 boules, chacune de probabilité \(\frac{1}{10}\). \(P(R)=\frac12\), \(P(V)=\frac3{10}\), \(P(B)=\frac15\). Somme : \(\frac{5+3+2}{10} = 1\) ✓
b) Incompatibles : \(P(R\cup V) = \frac12+\frac3{10} = \frac{8}{10} = \frac45\).
c) Méthode 1 : \(P(\overline B) = 1-\frac15 = \frac45\). Méthode 2 : \(P(R\cup V) = \frac45\) ✓ (même chose, puisque \((R,V,B)\) est un système complet).
Corrigé — Exercice 4
\(\Omega\) de cardinal 36.
a) 6 couples donnent 7 : \(\frac{6}{36} = \frac16\).
b) Somme \(\geqslant10\) : \((4,6),(5,5),(6,4)\) pour 10 ; \((5,6),(6,5)\) pour 11 ; \((6,6)\) pour 12. Soit 6 couples : \(\frac16\).
c) Complémentaire — aucun 6 : \(5^2=25\) couples.
d) Complémentaire — résultats égaux : 6 couples.
Corrigé — Exercice 5
a) Les issues à exactement 2 piles sont \(PPF\), \(PFP\), \(FPP\) — il y en a \(\binom32 = 3\). Chacune a pour probabilité \(p^2(1-p)\) (les lancers étant indépendants).
b) \(3\times0{,}36\times0{,}4 = 0{,}432\).
c) Avec \(q = 1-p\) :
C'est le binôme de Newton — et c'est la loi binomiale du chapitre 07.
Numériquement pour \(p=0{,}6\) : \(0{,}064+0{,}288+0{,}432+0{,}216 = 1{,}000\) ✓
Corrigé — Exercice 6
Récurrence sur \(n\).
Initialisation \(n=1\) : égalité triviale.
Hérédité. Supposons l'inégalité vraie au rang \(n\). Posons \(B = \bigcup_{i=1}^{n}A_i\). Par le crible :
Par hypothèse de récurrence, \(P(B)\leqslant\sum_{i=1}^n P(A_i)\), d'où
\(\blacksquare\)
Cas d'égalité : il faut \(P(A_i\cap A_j)=0\) pour tous \(i\neq j\) — c'est-à-dire des événements deux à deux presque incompatibles. Sur un univers fini, cela signifie exactement incompatibles.
L'usage de Boole
Cette inégalité, aussi appelée borne de l'union, est l'outil de majoration le plus utilisé en probabilités appliquées : elle borne la probabilité qu'au moins un « mauvais » événement survienne, sans rien supposer sur leurs dépendances. Elle est omniprésente en analyse d'algorithmes randomisés.
Corrigé — Exercice 7
a) Crible à trois événements :
55 % lisent au moins un journal.
b) Exactement un. Pour A seul :
(On retranche les deux intersections, ce qui retire deux fois le triple comptage ; on le rajoute une fois.)
B seul : \(0{,}25-0{,}10-0{,}05+0{,}03 = 0{,}13\). C seul : \(0{,}20-0{,}08-0{,}05+0{,}03 = 0{,}10\).
Total : \(0{,}38\), soit 38 %.
Vérification : exactement deux journaux : \((0{,}10-0{,}03)+(0{,}08-0{,}03)+(0{,}05-0{,}03) = 0{,}14\). Somme : \(0{,}38+0{,}14+0{,}03 = 0{,}55\) ✓
Corrigé — Exercice 8
\(\operatorname{Card}\Omega = \binom{52}{5} = 2\,598\,960\).
a) Exactement une paire.
- Choisir la valeur de la paire : 13 ;
- choisir 2 couleurs parmi 4 : \(\binom42 = 6\) ;
- choisir 3 valeurs distinctes parmi les 12 restantes : \(\binom{12}{3} = 220\) ;
- choisir une couleur pour chacune : \(4^3 = 64\).
b) Au moins un as. Complémentaire : \(\binom{48}{5} = 1\,712\,304\).
c) Brelan exactement.
- Valeur du brelan : 13 ; couleurs : \(\binom43=4\) ;
- deux valeurs distinctes parmi les 12 restantes : \(\binom{12}{2}=66\) ;
- une couleur pour chacune : \(4^2 = 16\).
Corrigé — Exercice 9
a) La personne \(i\) a une chance sur \(n\) de retrouver son chapeau :
(numérateur : les \(n-1\) autres chapeaux permutés librement).
De même,
Plus généralement, pour \(k\) indices fixés : \(P = \frac{(n-k)!}{n!}\).
b) Crible généralisé.
Il y a \(\binom nk\) termes dans la somme intérieure, chacun valant \(\frac{(n-k)!}{n!}\) :
D'où
\(\blacksquare\)
c) La probabilité que personne ne retrouve son chapeau est
On reconnaît la somme partielle de la série de \(e^x\) en \(x=-1\) :
\(\blacksquare\)
d)
La convergence est fulgurante
Dès \(n=7\), \(D_n\) coïncide avec \(e^{-1}\) à \(10^{-4}\) près. Le résultat est donc pratiquement indépendant de \(n\) : qu'il y ait 10 ou 10 000 personnes, environ 37 % des configurations ne laissent personne retrouver son chapeau.
Ces permutations sans point fixe s'appellent des dérangements, et leur nombre est \(!n = n!\,D_n\), l'entier le plus proche de \(\frac{n!}{e}\).
Corrigé — Exercice 10
a) Avec \(N\) valeurs possibles et \(n\) empreintes tirées uniformément :
En prenant le logarithme et en utilisant \(\ln(1-x)\approx-x\) :
b) On veut \(e^{-n^2/(2N)} = \frac12\), soit
c) Applications.
| Fonction | \(b\) | \(N=2^b\) | \(n\) pour \(P=\frac12\) |
|---|---|---|---|
| MD5 | 128 | \(3{,}4\times10^{38}\) | \(\approx 2{,}2\times10^{19} = 2^{64{,}2}\) |
| SHA-256 | 256 | \(1{,}2\times10^{77}\) | \(\approx 4{,}0\times10^{38} = 2^{128{,}2}\) |
Le seuil est en \(\sqrt N = 2^{b/2}\) : une fonction de hachage sur \(b\) bits n'offre que \(\frac b2\) bits de sécurité contre les collisions.
C'est pourquoi SHA-256 est requis là où l'on veut 128 bits de sécurité, et pourquoi MD5 — dont le seuil théorique de \(2^{64}\) est aujourd'hui atteignable, et dont des attaques bien plus efficaces existent depuis 2004 — est totalement abandonné.
d) Vérification numérique sur \(N=365\).
import math
def exact(n, N=365):
p = 1.0
for k in range(n):
p *= (N - k) / N
return 1 - p
def approx(n, N=365):
return 1 - math.exp(-n * n / (2 * N))
for n in (10, 20, 23, 30, 50):
print(f"n={n:3d} exact={exact(n):.4f} approx={approx(n):.4f}")
# seuil theorique
n_th = math.sqrt(2 * 365 * math.log(2))
print(f"seuil approche = {n_th:.2f}")
Résultats.
| \(n\) | Exact | Approché |
|---|---|---|
| 10 | 0,1169 | 0,1280 |
| 20 | 0,4114 | 0,4219 |
| 23 | 0,5073 | 0,5155 |
| 30 | 0,7063 | 0,7085 |
| 50 | 0,9704 | 0,9674 |
Le seuil approché vaut \(\sqrt{2\times365\times\ln2} \approx 22{,}49\), à comparer à la valeur exacte de 23. L'approximation est excellente, et c'est elle qu'on utilise en cryptographie où \(N\) est astronomique.
Chapitre suivant : Dénombrement et équiprobabilité.