04 · Fonctions et graphes¶
Intuition
Une fonction est une machine : on lui donne un nombre, elle en rend un autre, et elle rend toujours le même pour la même entrée. C'est tout. La difficulté n'est pas le concept, elle est dans la notation — car une fonction se manipule sous quatre représentations différentes (formule, tableau, courbe, description) et il faut savoir passer de l'une à l'autre sans y penser.
Ce chapitre installe le vocabulaire utilisé sans relâche dans toute la partie Analyse.
1. Définition et vocabulaire¶
1.1 Ce qu'est une fonction¶
Une fonction \(f\) définie sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\) associe à chaque réel \(x\) de \(D\) un et un seul réel, noté \(f(x)\).
On écrit :
- \(D\) est l'ensemble de définition ;
- \(x\) est la variable (ou l'antécédent) ;
- \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\).
La confusion à ne pas faire
\(f\) et \(f(x)\) ne sont pas la même chose.
- \(f\) est la fonction — l'objet, la machine.
- \(f(x)\) est un nombre — la valeur produite pour l'entrée \(x\).
Écrire « la fonction \(f(x) = x^2\) » est un abus toléré au lycée mais qui devient gênant dès qu'on manipule des fonctions comme objets. La notation correcte est « la fonction \(f : x \mapsto x^2\) ».
La flèche \(\mapsto\) (« barre-flèche ») se lit « a pour image ». Elle est différente de \(\to\) (« flèche »), qui relie les ensembles.
1.2 Image et antécédent¶
Ces deux mots vont dans des directions opposées et sont constamment confondus.
| Question | Nombre de réponses | |
|---|---|---|
| Image de \(a\) | Que vaut \(f(a)\) ? | Exactement une |
| Antécédent de \(b\) | Quels \(x\) vérifient \(f(x) = b\) ? | Zéro, une, plusieurs, ou une infinité |
Pour \(f : x \mapsto x^2\) :
- l'image de \(3\) est \(9\) — une seule valeur ;
- les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) — deux valeurs ;
- \(-4\) n'a aucun antécédent ;
- \(0\) a exactement un antécédent.
Test graphique
Une courbe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale la coupe au plus une fois. Un cercle n'est pas la courbe d'une fonction : la verticale \(x=0\) le coupe deux fois.
Corollairement : pour lire les antécédents de \(b\), on trace la droite horizontale \(y = b\) et on relève les abscisses des points d'intersection.
1.3 Ensemble de définition¶
C'est l'ensemble des \(x\) pour lesquels le calcul de \(f(x)\) a un sens. Trois interdits, et trois seulement, à ce niveau du cours :
| Interdit | Condition à imposer |
|---|---|
| Diviser par zéro | Dénominateur \(\neq 0\) |
| Racine carrée d'un négatif | Radicande \(\geqslant 0\) |
| Logarithme d'un négatif ou de zéro | Argument \(> 0\) (vu au chapitre Analyse 04) |
Exemple. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}\).
Il faut \(x - 1 \geqslant 0\) et \(x - 3 \neq 0\), donc \(D_f = [1\,;3[ \ \cup \ ]3\,;+\infty[\).
2. Représentation graphique¶
La courbe représentative de \(f\), souvent notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points de coordonnées \((x\,;f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Ce qui se lit sur une courbe :
| Question | Lecture |
|---|---|
| Image de \(a\) | Ordonnée du point d'abscisse \(a\) |
| Antécédents de \(b\) | Abscisses des points d'ordonnée \(b\) |
| \(f(x) = 0\) | Abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses |
| \(f(x) > 0\) | Intervalles où la courbe est au-dessus de l'axe |
| \(f(x) > g(x)\) | Intervalles où \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) |
3. Variations¶
3.1 Définitions¶
Soit \(I\) un intervalle inclus dans \(D_f\). On dit que \(f\) est :
- croissante sur \(I\) si pour tous \(a, b \in I\) : \(a \leqslant b \implies f(a) \leqslant f(b)\) ;
- décroissante sur \(I\) si \(a \leqslant b \implies f(a) \geqslant f(b)\) ;
- strictement croissante si \(a < b \implies f(a) < f(b)\) ;
- monotone sur \(I\) si elle est croissante sur \(I\) ou décroissante sur \(I\).
En français : une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante le renverse.
Une fonction n'est pas croissante « en un point »
La monotonie est une propriété sur un intervalle. Dire « \(f\) est croissante en \(x=2\) » n'a pas de sens. Et une fonction peut être croissante sur \(]-\infty;0]\) et décroissante sur \([0;+\infty[\) sans être ni l'un ni l'autre sur \(\mathbb{R}\).
Le piège de la fonction inverse
\(x \mapsto \frac1x\) est décroissante sur \(]-\infty;0[\) et décroissante sur \(]0;+\infty[\), mais elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) : on a \(-1 < 1\) et pourtant \(f(-1) = -1 < 1 = f(1)\).
La monotonie ne se recolle pas à travers un trou. Ce détail vaut des points à chaque examen.
3.2 Extremums¶
\(f\) admet un maximum sur \(I\) en \(x_0\) si \(f(x) \leqslant f(x_0)\) pour tout \(x \in I\). Le maximum est la valeur \(f(x_0)\) ; le point \(x_0\) est l'endroit où il est atteint.
4. Les fonctions de référence¶
4.1 Fonction affine¶
Courbe : une droite. \(a\) est le coefficient directeur (la pente), \(b\) l'ordonnée à l'origine.
- \(a > 0\) : croissante ;
- \(a < 0\) : décroissante ;
- \(a = 0\) : constante.
Pente à partir de deux points :
Cette formule est le taux d'accroissement — l'ancêtre direct de la dérivée, qu'on retrouvera au chapitre Analyse 03.
4.2 Fonction carré¶
Courbe : une parabole, sommet en \((0,0)\), tournée vers le haut. Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Paire : \(f(-x) = f(x)\), donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
4.3 Trinôme du second degré¶
Parabole tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\). Le sommet a pour abscisse
et la parabole est symétrique par rapport à la droite verticale \(x = x_S\).
Cette valeur vient directement de la forme canonique établie au chapitre précédent : \(f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + k\), qui est extrémale quand le carré est nul.
4.4 Fonction inverse¶
Courbe : une hyperbole, deux branches. Décroissante sur chaque branche séparément. Impaire : \(f(-x) = -f(x)\), donc symétrique par rapport à l'origine.
Les axes sont des asymptotes : la courbe s'en approche indéfiniment sans les toucher.
4.5 Fonction racine carrée¶
Croissante, concave (elle « s'aplatit »). Elle croît moins vite que toute fonction affine à partir d'un certain point.
4.6 Fonction cube et valeur absolue¶
Le point anguleux de \(|x|\) en \(0\) est important : c'est l'exemple canonique d'une fonction continue mais non dérivable en un point.
4.7 Tableau récapitulatif¶
| Fonction | \(D_f\) | Parité | Variations |
|---|---|---|---|
| \(x \mapsto ax+b\) | \(\mathbb{R}\) | Impaire si \(b=0\) | Monotone selon \(a\) |
| \(x \mapsto x^2\) | \(\mathbb{R}\) | Paire | \(\searrow\) puis \(\nearrow\) |
| \(x \mapsto x^3\) | \(\mathbb{R}\) | Impaire | \(\nearrow\) partout |
| \(x \mapsto 1/x\) | \(\mathbb{R}^*\) | Impaire | \(\searrow\) sur chaque branche |
| \(x \mapsto \sqrt x\) | \([0;+\infty[\) | Ni l'un ni l'autre | \(\nearrow\) |
| \(x \mapsto \lvert x\rvert\) | \(\mathbb{R}\) | Paire | \(\searrow\) puis \(\nearrow\) |
5. Parité¶
- \(f\) est paire si \(D_f\) est symétrique par rapport à 0 et \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\). Courbe symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\).
- \(f\) est impaire si \(D_f\) est symétrique et \(f(-x) = -f(x)\). Courbe symétrique par rapport à l'origine.
Trois erreurs sur la parité
- La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Ce n'est pas une alternative : \(x \mapsto x^2 + x\) n'est ni l'une ni l'autre.
- Une seule fonction est à la fois paire et impaire : la fonction nulle.
- La condition sur \(D_f\) n'est pas décorative. \(x \mapsto x^2\) restreinte à \([0;1]\) n'est pas paire, faute de domaine symétrique.
Intérêt pratique : si \(f\) est paire, on l'étudie sur \(\mathbb{R}^+\) et on complète par symétrie — on divise le travail par deux.
6. Transformations de courbes¶
Soit \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\). Les transformations suivantes sont à connaître : elles permettent de tracer beaucoup de courbes sans aucun calcul.
| Nouvelle fonction | Effet sur la courbe |
|---|---|
| \(f(x) + k\) | Translation verticale de \(k\) (vers le haut si \(k>0\)) |
| \(f(x + k)\) | Translation horizontale de \(-k\) (vers la gauche si \(k>0\)) |
| \(-f(x)\) | Symétrie par rapport à l'axe des abscisses |
| \(f(-x)\) | Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées |
| \(k f(x)\), \(k>0\) | Dilatation verticale de facteur \(k\) |
| \(\lvert f(x)\rvert\) | La partie sous l'axe est rabattue au-dessus |
Le sens contre-intuitif de la translation horizontale
\(f(x+2)\) décale la courbe vers la gauche, pas vers la droite. Raison : pour obtenir la valeur que \(f\) prenait en \(2\), il faut désormais entrer \(x = 0\). Le point s'est donc déplacé de \(2\) vers la gauche.
Vérifiez toujours sur un point concret plutôt que d'essayer de retenir la règle.
7. Composition¶
La composée de \(f\) par \(g\) est la fonction
qui se lit « \(g\) rond \(f\) ». On applique \(f\) d'abord, puis \(g\) — l'ordre de lecture est l'inverse de l'ordre d'application, ce qui est la principale source d'erreur.
Domaine : \(x\) doit être dans \(D_f\), et \(f(x)\) doit être dans \(D_g\).
Exemple. \(f(x) = x - 3\) et \(g(x) = \sqrt{x}\).
Les deux composées sont différentes : la composition n'est pas commutative. C'est une propriété qu'on retrouvera pour le produit matriciel — et ce n'est pas un hasard, le produit de matrices est une composition.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Ensemble de définition
Déterminer \(D_f\) pour \(f(x) = \dfrac{\sqrt{4-x}}{x^2-1}\).
Deux conditions :
- \(4 - x \geqslant 0 \iff x \leqslant 4\) ;
- \(x^2 - 1 \neq 0 \iff x \neq 1\) et \(x \neq -1\).
Exemple 2 — Antécédents
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Déterminer les antécédents de \(-1\).
On résout \(f(x) = -1\), soit \(x^2-4x+4 = 0\), soit \((x-2)^2 = 0\).
Un unique antécédent : \(x = 2\).
Lecture géométrique : la droite \(y = -1\) est tangente à la parabole en son sommet. C'est cohérent — \(x_S = \frac{4}{2} = 2\) et \(f(2) = -1\).
Exemple 3 — Parité
Étudier la parité de \(f(x) = \dfrac{x^3 - x}{x^2+1}\).
\(D_f = \mathbb{R}\) (le dénominateur ne s'annule jamais), symétrique. ✓
\(f\) est impaire.
Exemple 4 — Décomposer une composée
Écrire \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}\) comme composée de fonctions simples.
En partant de l'intérieur :
- \(u(x) = 2x+5\) (affine) ;
- \(v(t) = \sqrt t\) ;
- \(w(s) = \dfrac1s\).
Alors \(h = w \circ v \circ u\). Domaine : il faut \(2x+5 > 0\) (strictement, car la racine est au dénominateur), donc \(D_h = \left]-\frac52;+\infty\right[\).
Pourquoi c'est utile
Savoir décomposer une fonction est ce qui permettra de la dériver : la dérivée d'une composée se calcule couche par couche, dans l'ordre inverse de la construction.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Confondre image et antécédent | L'image est unique, l'antécédent ne l'est pas |
| \(f\) décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) pour \(1/x\) | Décroissante sur chaque branche |
| \(f(x+2)\) décale vers la droite | Vers la gauche |
| \(g \circ f\) signifie « \(g\) puis \(f\) » | Non : \(f\) d'abord |
| Oublier la symétrie de \(D_f\) dans l'étude de parité | C'est une condition nécessaire |
Exercices¶
★ Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition.
a) \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-5}\) b) \(g(x) = \sqrt{3x-6}\) c) \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+2}}\) d) \(k(x) = \dfrac{x}{x^2+4}\)
★ Exercice 2. Soit \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\).
a) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-2)\). b) Déterminer les antécédents de \(0\). c) Déterminer les antécédents de \(1\).
★★ Exercice 3. Étudier la parité.
a) \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) b) \(g(x) = \dfrac{x}{x^2-4}\) c) \(h(x) = x^2 + x\) d) \(k(x) = \lvert x\rvert + x^2\)
★★ Exercice 4. Soit \(f(x) = x^2\). Décrire la courbe de chacune des fonctions suivantes comme transformée de \(\mathcal{C}_f\), et donner les coordonnées du sommet.
a) \(g(x) = (x-3)^2\) b) \(h(x) = x^2 + 4\) c) \(k(x) = -(x+1)^2 + 2\)
★★ Exercice 5. Soient \(f(x) = 3x - 1\) et \(g(x) = x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f \circ g)(x)\). Les comparer en \(x=2\).
★★★ Exercice 6. Soit \(f(x) = \dfrac{2x-1}{x+2}\).
a) Déterminer \(D_f\). b) Montrer que \(f(x) = 2 - \dfrac{5}{x+2}\). c) En déduire les variations de \(f\) sur chacun des intervalles de \(D_f\). d) La courbe admet-elle des asymptotes ? Lesquelles ?
★★★ Exercice 7. Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) vérifie \(f(x+1) = f(x)\) pour tout \(x\) — on dit qu'elle est périodique de période 1.
a) Montrer que \(f(x+n) = f(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Indication : par récurrence, ou par application répétée. b) Montrer que \(f\) est entièrement déterminée par ses valeurs sur \([0;1[\). c) Une fonction périodique non constante peut-elle être monotone sur \(\mathbb{R}\) ? Justifier.
★★★ Exercice 8. Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). On pose
a) Montrer que \(p\) est paire et \(i\) est impaire. b) Montrer que \(f = p + i\). c) Appliquer à \(f(x) = x^2 + 3x - 1\) et vérifier. d) Montrer que cette décomposition est unique.
★★★★ Exercice 9. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que pour tous réels \(x, y\) :
a) Calculer \(f(0)\). b) Montrer que \(f(-x) = -f(x)\). c) Montrer par récurrence que \(f(nx) = nf(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). d) En déduire que \(f(q) = q f(1)\) pour tout \(q \in \mathbb{Q}\).
Remarque : sans hypothèse supplémentaire, on ne peut pas conclure que \(f(x) = xf(1)\) pour tout réel \(x\) — il existe des solutions pathologiques. Avec l'hypothèse « \(f\) est continue », en revanche, si.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. Une fonction de hachage \(h\) envoie un ensemble \(E\) de \(n\) clés distinctes vers \(\{0, 1, \dots, m-1\}\).
a) En termes d'images et d'antécédents, que signifie « il y a une collision » ? b) Si \(n > m\), montrer qu'il y a nécessairement au moins une collision. Indication : c'est le principe des tiroirs. c) On souhaite qu'aucune clé n'ait deux images. Est-ce une contrainte sur \(h\) ? Expliquer pourquoi la question est mal posée.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(x - 5 \neq 0\) : \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{5\}\), soit \(]-\infty;5[\ \cup\ ]5;+\infty[\).
b) \(3x-6 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2\) : \(D_g = [2;+\infty[\).
c) Racine au dénominateur, donc inégalité stricte : \(x+2 > 0 \iff x > -2\). \(D_h = \left]-2;+\infty\right[\).
d) \(x^2+4 > 0\) toujours : \(D_k = \mathbb{R}\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(f(0) = 1\) ; \(f(1) = 2-3+1 = 0\) ; \(f(-2) = 8+6+1 = 15\).
b) \(2x^2-3x+1 = 0\). Test : \(a+b+c = 0\), donc \(x=1\) est racine. L'autre vérifie \(x_1x_2 = \frac12\), donc \(x_2 = \frac12\). Antécédents de 0 : \(1\) et \(\frac12\).
c) \(2x^2-3x+1 = 1 \iff 2x^2-3x = 0 \iff x(2x-3) = 0\). Antécédents de 1 : \(0\) et \(\frac32\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(D_f = \mathbb{R}\), symétrique. \(f(-x) = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\) : paire. (Tous les exposants sont pairs.)
b) \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\), symétrique. ✓ \(g(-x) = \dfrac{-x}{x^2-4} = -g(x)\) : impaire.
c) \(h(-x) = x^2 - x\). Ce n'est ni \(h(x)\) ni \(-h(x)\) : ni paire ni impaire. Contre-test : \(h(1) = 2\), \(h(-1) = 0\). Ni égaux, ni opposés.
d) \(k(-x) = |-x| + x^2 = |x| + x^2 = k(x)\) : paire.
Corrigé — Exercice 4
a) \(g(x) = f(x-3)\) : translation horizontale de \(+3\), donc vers la droite. Sommet en \((3\,;0)\).
b) \(h(x) = f(x) + 4\) : translation verticale de \(+4\). Sommet en \((0\,;4)\).
c) Deux transformations : \(-(x+1)^2\) est la parabole translatée de \(1\) vers la gauche puis retournée ; le \(+2\) la remonte de 2. Sommet en \((-1\,;2)\), parabole tournée vers le bas.
Vérification par la formule : \(k(x) = -(x^2+2x+1)+2 = -x^2-2x+1\), donc \(x_S = -\frac{-2}{2\times(-1)} = -1\) ✓ et \(k(-1) = -1+2+1 = 2\) ✓.
Corrigé — Exercice 5
En \(x=2\) : \((g\circ f)(2) = 25\) et \((f\circ g)(2) = 11\).
Les deux composées diffèrent — la composition n'est pas commutative.
Corrigé — Exercice 6
a) \(x + 2 \neq 0\) : \(D_f = \left]-\infty;-2\right[ \cup \left]-2;+\infty\right[\).
b) On force l'apparition de \(x+2\) au numérateur :
Vérification en \(x=0\) : \(\frac{-1}{2}\) à gauche, \(2 - \frac52 = -\frac12\) à droite ✓.
c) Sur chaque intervalle, \(x \mapsto x+2\) est croissante, donc \(x \mapsto \frac{5}{x+2}\) est décroissante (l'inverse renverse le sens sur un intervalle de signe constant), donc \(x \mapsto -\frac{5}{x+2}\) est croissante, donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-2[\) et croissante sur \(]-2;+\infty[\).
Attention : pas croissante sur \(D_f\) tout entier. En \(x=-3\), \(f(-3) = 7\) ; en \(x=0\), \(f(0) = -\frac12\). On a \(-3 < 0\) et pourtant \(f(-3) > f(0)\).
d) La forme \(2 - \frac{5}{x+2}\) se lit directement :
- quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{5}{x+2} \to 0\) donc \(f(x) \to 2\) : asymptote horizontale \(y = 2\) ;
- quand \(x \to -2\), \(\frac{5}{x+2}\) explose : asymptote verticale \(x = -2\).
La technique
Réécrire une fraction rationnelle sous la forme « constante \(+\) fraction simple » est la méthode pour lire d'un coup variations et asymptotes. On la retrouvera pour l'intégration par décomposition en éléments simples.
Corrigé — Exercice 7
a) Par récurrence sur \(n\).
Initialisation : \(f(x+0) = f(x)\), vrai.
Hérédité : supposons \(f(x+n) = f(x)\) pour un \(n\) donné et tout \(x\). Alors
en appliquant l'hypothèse de départ puis l'hypothèse de récurrence. \(\blacksquare\)
b) Soit \(x \in \mathbb{R}\) quelconque. Il existe un unique entier \(n\) tel que \(x - n \in [0;1[\) — c'est la partie entière de \(x\). Alors \(f(x) = f\big((x-n)+n\big) = f(x-n)\), et \(x-n \in [0;1[\).
Donc la valeur de \(f\) en n'importe quel point se déduit de ses valeurs sur \([0;1[\). \(\blacksquare\)
c) Non. Supposons \(f\) croissante et périodique de période 1. Alors pour tout \(x\) : \(x < x+1\) donne \(f(x) \leqslant f(x+1) = f(x)\), donc \(f(x) = f(x+1)\).
Plus fort : pour tout \(y \in [x; x+1]\), la croissance donne \(f(x) \leqslant f(y) \leqslant f(x+1) = f(x)\), donc \(f(y) = f(x)\). La fonction est constante sur chaque intervalle de longueur 1, donc constante partout par périodicité.
Conclusion : une fonction périodique monotone est nécessairement constante. \(\blacksquare\)
Corrigé — Exercice 8
a)
b)
c) \(f(x) = x^2+3x-1\), donc \(f(-x) = x^2-3x-1\).
Vérification : \((x^2-1) + 3x = x^2+3x-1\) ✓. \(p\) est bien paire, \(i\) bien impaire.
Remarque : la partie paire regroupe les monômes de degré pair, la partie impaire ceux de degré impair. Ce n'est pas un hasard.
d) Supposons \(f = p_1 + i_1 = p_2 + i_2\) avec \(p_1, p_2\) paires et \(i_1, i_2\) impaires. Alors \(p_1 - p_2 = i_2 - i_1\).
Le membre de gauche est pair, le membre de droite impair. Notons \(g\) cette fonction commune : \(g(-x) = g(x)\) et \(g(-x) = -g(x)\), donc \(g(x) = -g(x)\), donc \(2g(x) = 0\), donc \(g = 0\).
Ainsi \(p_1 = p_2\) et \(i_1 = i_2\). \(\blacksquare\)
Corrigé — Exercice 9
a) Avec \(x = y = 0\) : \(f(0) = f(0)+f(0) = 2f(0)\), donc \(f(0) = 0\).
b) Avec \(y = -x\) : \(f(0) = f(x) + f(-x)\), donc \(0 = f(x)+f(-x)\), d'où \(f(-x) = -f(x)\). La fonction est impaire.
c) Récurrence sur \(n\).
Initialisation : \(f(0\cdot x) = f(0) = 0 = 0 \cdot f(x)\) ✓.
Hérédité : si \(f(nx) = nf(x)\), alors
\(\blacksquare\)
d) Soit \(q = \dfrac{p}{n}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}^*\).
D'après c), \(f\left(n \cdot \dfrac{p}{n}\right) = n\, f\left(\dfrac{p}{n}\right)\), c'est-à-dire \(f(p) = n f(q)\).
Or \(f(p) = p f(1)\) : pour \(p \geqslant 0\) c'est c) avec \(x=1\), et pour \(p < 0\) on utilise l'imparité établie en b).
Donc \(n f(q) = p f(1)\), soit
L'équation fonctionnelle de Cauchy
C'est un résultat classique. Sans hypothèse de régularité, il existe des solutions non linéaires — construites avec l'axiome du choix, donc non explicitables. Dès qu'on ajoute « \(f\) continue en un point », ou « \(f\) bornée sur un intervalle », ou « \(f\) monotone », la seule solution est \(f(x) = ax\). C'est un bon exemple de la différence entre ce qui est vrai sur \(\mathbb{Q}\) et ce qui l'est sur \(\mathbb{R}\).
Corrigé — Exercice 10
a) Une collision est le fait que deux clés distinctes aient la même image : il existe \(k_1 \neq k_2\) dans \(E\) avec \(h(k_1) = h(k_2)\).
En vocabulaire de ce chapitre : une valeur de sortie possède au moins deux antécédents.
b) Principe des tiroirs. On range \(n\) clés dans \(m\) cases avec \(n > m\). Si chaque case contenait au plus une clé, on rangerait au plus \(m < n\) clés. Contradiction. Donc au moins une case contient au moins deux clés, c'est-à-dire au moins une collision. \(\blacksquare\)
C'est la raison pour laquelle toute table de hachage doit gérer les collisions : ce n'est pas un défaut d'implémentation, c'est une impossibilité mathématique dès que l'espace des clés dépasse l'espace des empreintes.
c) La question est mal posée parce qu'une fonction ne peut, par définition, pas associer deux images à un même antécédent. Si \(h\) était susceptible de renvoyer deux valeurs pour une même clé, elle ne serait pas une fonction — et une fonction de hachage utilisable doit être déterministe, ce qui est exactement l'exigence de l'unicité de l'image.
La contrainte utile porte donc sur les antécédents (limiter les collisions), jamais sur les images.
Chapitre suivant : Langage mathématique.