Formulaire

Toutes les formules du cours, classées par partie. À imprimer et à garder à côté du cahier.

Mode d'emploi

Ce formulaire sert aussi de liste de contrôle de révision. Parcourez-le en vous demandant, pour chaque formule : « est-ce que je sais d'où elle vient et quand l'appliquer ? »

Si la réponse est non, le chapitre correspondant est à retravailler.

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Prérequis

Puissances et racines

\[ a^m a^n = a^{m+n} \quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \quad (a^m)^n = a^{mn} \quad (ab)^n = a^nb^n \]

\[ a^0 = 1 \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n} \qquad \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b \]

Identités remarquables

\[ (a\pm b)^2 = a^2\pm2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \]

\[ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]

\[ a^3\mp b^3 = (a\mp b)(a^2\pm ab+b^2) \qquad a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k \]

Second degré

\[ \Delta = b^2-4ac \qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} \qquad x_1+x_2 = -\frac ba \quad x_1x_2 = \frac ca \]

\[ ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) \qquad \text{forme canonique : } a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} \]

Signe : du signe de \(a\) partout, sauf entre les racines.

Sommes

\[ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad \sum_{k=1}^{n}k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]

\[ \sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\ (q\neq1) \qquad \sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2 \]

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Algèbre

Combinatoire

\[ n! \qquad A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \qquad \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

\[ \binom nk = \binom{n}{n-k} \qquad \binom nk = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} \qquad \sum_{k=0}^n\binom nk = 2^n \]

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k \qquad \operatorname{Card}(\mathcal{P}(E)) = 2^{\operatorname{Card}E} \]

Les quatre tirages de \(k\) parmi \(n\) :

	Ordonné	Non ordonné
Avec remise	\(n^k\)	—
Sans remise	\(A_n^k\)	\(\binom nk\)

Ensembles

\[ \overline{A\cup B} = \overline A\cap\overline B \qquad \overline{A\cap B} = \overline A\cup\overline B \]

\[ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) \qquad \operatorname{Card}(A\cup B) = \operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B-\operatorname{Card}(A\cap B) \]

Matrices

\[ (\mathbf{AB})_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj} \qquad (\mathbf{AB})^\top = \mathbf{B}^\top\mathbf{A}^\top \qquad (\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1} \]

\[ \operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \operatorname{tr}(\mathbf{BA}) \qquad (\mathbf{M}^k)_{ij} = \text{nb de chemins de longueur } k \]

Inverse \(2\times2\) :

\[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]

Comatrice : \(\mathbf{A}^{-1} = \dfrac{1}{\det\mathbf A}(\operatorname{com}\mathbf A)^\top\)

Déterminant

\[ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad-bc \qquad \det(\mathbf{AB}) = \det\mathbf A\det\mathbf B \]

\[ \det(\mathbf A^\top)=\det\mathbf A \qquad \det(\lambda\mathbf A) = \lambda^n\det\mathbf A \qquad \det(\mathbf A^{-1}) = \frac{1}{\det\mathbf A} \]

Opération	Effet sur \(\det\)
\(L_i\leftrightarrow L_j\)	change de signe
\(L_i\leftarrow\lambda L_i\)	\(\times\lambda\)
\(L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\)	inchangé

\(\mathbf A\) inversible \(\iff \det\mathbf A\neq0\).

Éléments propres

\[ \chi_{\mathbf A}(\lambda) = \det(\mathbf A-\lambda\mathbf I) \qquad \text{ordre 2 : } \lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf A)\lambda+\det\mathbf A \]

\[ \sum\lambda_i = \operatorname{tr}\mathbf A \qquad \prod\lambda_i = \det\mathbf A \qquad E_\lambda = \ker(\mathbf A-\lambda\mathbf I) \]

Diagonalisation : \(\mathbf A = \mathbf{PDP}^{-1}\), donc \(\mathbf A^n = \mathbf{PD}^n\mathbf{P}^{-1}\).

Critère : diagonalisable \(\iff \sum\dim E_\lambda = n\). Suffisant : \(n\) valeurs propres distinctes, ou \(\mathbf A\) symétrique réelle.

Arithmétique

\[ a = bq+r,\ 0\leqslant r<b \qquad \operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r) \]

\[ \operatorname{pgcd}(a,b)\times\operatorname{ppcm}(a,b) = |ab| \]

Bézout : \(\exists u,v,\ au+bv = \operatorname{pgcd}(a,b)\). Et \(\operatorname{pgcd}(a,b)=1 \iff \exists u,v,\ au+bv=1\).

Gauss : \(a\mid bc\) et \(a\wedge b=1\) \(\implies\) \(a\mid c\).

Inverse modulaire : \(a\) inversible mod \(n\) \(\iff a\wedge n=1\).

\[ \varphi(p)=p-1 \qquad \varphi(pq) = (p-1)(q-1) \qquad \varphi(n) = n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right) \]

Fermat : \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\) si \(p\nmid a\). Euler : \(a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n\) si \(a\wedge n=1\).

Restes chinois : modules deux à deux premiers entre eux \(\implies\) solution unique modulo \(N=\prod n_i\), donnée par \(x\equiv\sum a_iN_iM_i\) avec \(N_i=\frac{N}{n_i}\) et \(M_i=N_i^{-1}\bmod n_i\).

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Analyse

Limites usuelles

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1 \]

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha \]

Croissances comparées : \(\ln x \ll x^\alpha \ll e^x\) en \(+\infty\), et \(x^\alpha\ln x\to0\) en \(0^+\).

Dérivées

\(f\)	\(f'\)	\(f\)	\(f'\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	\(e^x\)	\(e^x\)
\(\sqrt x\)	\(\frac{1}{2\sqrt x}\)	\(\ln x\)	\(\frac1x\)
\(\frac1x\)	\(-\frac{1}{x^2}\)	\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(a^x\)	\(\ln a\cdot a^x\)	\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\arctan x\)	\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(\tan x\)	\(1+\tan^2x\)

\[ (uv)'=u'v+uv' \qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \qquad (v\circ u)' = u'\cdot(v'\circ u) \]

Composées : \((u^n)'=nu'u^{n-1}\), \((\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\), \((e^u)'=u'e^u\), \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\).

TAF : \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\). IAF : \(|f'|\leqslant M \implies |f(b)-f(a)|\leqslant M|b-a|\).

Primitives

\(f\)	\(\int f\)	\(f\)	\(\int f\)
\(x^n\), \(n\neq-1\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(e^x\)	\(e^x\)
\(\frac1x\)	\(\ln\lvert x\rvert\)	\(\cos x\)	\(\sin x\)
\(\frac{1}{\sqrt x}\)	\(2\sqrt x\)	\(\sin x\)	\(-\cos x\) (signe !)
\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(\arctan x\)	\(\frac{1}{\cos^2 x}\)	\(\tan x\)

Formes composées : \(\int u'u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\int\frac{u'}{u}=\ln|u|\), \(\int u'e^u = e^u\), \(\int\frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u\).

Intégration

\[ \int_a^b f = \big[F\big]_a^b = F(b)-F(a) \qquad \int_a^b f = \int_a^c f+\int_c^b f \]

Par parties : \(\displaystyle\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b uv'\)

Priorité de dérivation : Log, Inv. trigo, Algébrique, Trigo, Exp.

Changement de variable : \(\displaystyle\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,\mathrm{d}x\)

Intégrales de Riemann : \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}\) converge \(\iff \alpha>1\) ; \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}\) converge \(\iff \alpha<1\).

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt\pi \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\mathrm{d}x = \sqrt{2\pi} \]

Trigonométrie

\[ \sin^2+\cos^2 = 1 \qquad \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \]

\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \]

\[ \sin 2a = 2\sin a\cos a \qquad \cos2a = 2\cos^2a-1 = 1-2\sin^2a \]

Linéarisation : \(\cos^2 a = \frac{1+\cos2a}{2}\), \(\sin^2a = \frac{1-\cos2a}{2}\).

Équations : \(\cos x=\cos a \iff x=\pm a+2k\pi\) ; \(\sin x = \sin a \iff x = a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\).

Complexes

\[ z = a+ib = re^{i\theta} \qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2} \qquad z\bar z = |z|^2 \]

\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \qquad e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)} \qquad e^{i\pi}+1=0 \]

Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta\)

Euler : \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)

Racines \(n\)-ièmes de \(\rho e^{i\varphi}\) : \(z_k = \rho^{1/n}e^{i(\varphi+2k\pi)/n}\), \(k=0,\dots,n-1\).

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Probabilités

Axiomes et conséquences

\[ P(\overline A)=1-P(A) \qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

\[ P(A) = \frac{\operatorname{Card}A}{\operatorname{Card}\Omega} \quad\text{(cas équiprobable uniquement)} \]

Conditionnement

\[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \qquad P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) \]

Probabilités totales : \(\displaystyle P(B) = \sum_i P(B\mid A_i)P(A_i)\)

Bayes :

\[ P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)P(A_j)} \]

Indépendance : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Et \(P(\text{au moins un}) = 1-\prod(1-p_i)\).

Variables aléatoires

\[ \mathbb{E}[X] = \sum_i x_ip_i \ \text{ ou } \int xf(x)\,\mathrm{d}x \]

\[ \operatorname{V}(X) = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 \qquad \operatorname{V}(aX+b)=a^2\operatorname{V}(X) \]

\[ \mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y] \quad\text{(toujours)} \]

\[ \operatorname{V}(X+Y)=\operatorname{V}X+\operatorname{V}Y+2\operatorname{Cov}(X,Y) \]

Tchebychev : \(P(|X-\mu|\geqslant\varepsilon)\leqslant\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\)

Lois discrètes

Loi	\(P(X=k)\)	\(\mathbb{E}\)	\(\operatorname{V}\)
Uniforme \(\{1..n\}\)	\(\frac1n\)	\(\frac{n+1}{2}\)	\(\frac{n^2-1}{12}\)
Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\)	\(p\), \(1-p\)	\(p\)	\(pq\)
Binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)	\(\binom nk p^kq^{n-k}\)	\(np\)	\(npq\)
Géométrique \(\mathcal{G}(p)\)	\(q^{k-1}p\)	\(\frac1p\)	\(\frac{q}{p^2}\)
Hypergéom.	\(\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}\)	\(n\frac KN\)	\(n\frac KN\frac{N-K}N\frac{N-n}{N-1}\)
Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\)	\(e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)

(avec \(q=1-p\))

Lois continues

Loi	Densité	\(\mathbb{E}\)	\(\operatorname{V}\)
\(\mathcal{U}([a;b])\)	\(\frac{1}{b-a}\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)
\(\mathcal{E}(\lambda)\)	\(\lambda e^{-\lambda x}\)	\(\frac1\lambda\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)
\(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)	\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)

Exponentielle : \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\), médiane \(\frac{\ln2}{\lambda}\), sans mémoire.

Normale : \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)\) et \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).

Règle 68-95-99,7 :

\(z\)	1	1,645	1,96	2	2,576	3
\(\Phi(z)\)	0,8413	0,9500	0,9750	0,9772	0,9950	0,9987
\(P(\lvert Z\rvert\leqslant z)\)	68,3 %	90 %	95 %	95,4 %	99 %	99,7 %

Couples et vecteurs

\[ \operatorname{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}X\,\mathbb{E}Y \qquad \rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\in[-1;1] \]

Indépendantes \(\implies\) \(\operatorname{Cov}=0\). Réciproque fausse, sauf dans le cas gaussien.

\[ \mathbf{\Sigma}_{\mathbf{AX}+\mathbf b} = \mathbf A\mathbf\Sigma\mathbf A^\top \qquad \operatorname{V}(\mathbf u^\top\mathbf X) = \mathbf u^\top\mathbf\Sigma\mathbf u \]

Théorèmes limites

\[ \operatorname{V}(\overline X_n) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad \sigma(\overline X_n)=\frac{\sigma}{\sqrt n} \]

LGN : \(\overline X_n \to \mu\). TCL : \(\dfrac{\overline X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\to\mathcal{N}(0,1)\).

Approximation binomiale : \(\mathcal{B}(n,p)\approx\mathcal{N}(np,npq)\) si \(np\geqslant5\) et \(nq\geqslant5\), avec correction de continuité de \(0{,}5\).

Intervalle de confiance à 95 % : \(\overline X \pm 1{,}96\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)

Pour une proportion : \(\hat p \pm \dfrac{0{,}98}{\sqrt n}\), soit \(\approx\pm3\%\) pour \(n=1000\).

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Modélisation

Réécritures numériquement stables

Dangereux	Stable
\(\sqrt{x+1}-\sqrt x\)	\(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\)
\(1-\cos x\), \(x\) petit	\(2\sin^2\frac x2\)
\(\ln(1+x)\), \(x\) petit	log1p(x)
\(e^x-1\), \(x\) petit	expm1(x)
\(\frac{a+b}{2}\)	\(a+\frac{b-a}{2}\)
Petite racine de \(ax^2+bx+c\)	\(\frac{c}{a\,x_{\text{grande}}}\)
\(e^{-x}\), \(x\) grand, par la série	\(\frac{1}{e^{x}}\)

Vitesses de convergence

Méthode	Erreur
Rectangles	\(O(h)\)
Trapèzes	\(O(h^2)\)
Simpson	\(O(h^4)\)
Monte-Carlo	\(O(n^{-1/2})\), quelle que soit la dimension
Dichotomie	\(\times\frac12\) par itération
Newton	décimales doublées par itération

Dimensionnement

\[ \text{capacité} = \frac{\text{charge moyenne}}{\text{taux d'occupation cible}} \qquad (\text{cible } 0{,}6 \text{ à } 0{,}8) \]

File M/M/1 : \(W = \dfrac{\rho}{\mu(1-\rho)}\) avec \(\rho=\frac\lambda\mu<1\).

File M/G/1 (Pollaczek-Khintchine) : \(W = \dfrac{\rho}{\mu(1-\rho)}\cdot\dfrac{1+c_s^2}{2}\)

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