09 · Lois continues usuelles¶
Intuition
Trois lois couvrent presque tout.
- Uniforme : aucune valeur n'est privilégiée dans un intervalle. C'est la loi du « tirage au sort » et celle du générateur pseudo-aléatoire.
- Exponentielle : la loi des durées d'attente sans usure. C'est le pendant continu de la géométrique.
- Normale : la loi vers laquelle converge toute somme de nombreuses contributions indépendantes. C'est la raison de son omniprésence.
La loi normale mérite son statut : ce n'est pas une loi parmi d'autres, c'est un point fixe vers lequel les autres convergent — c'est le contenu du théorème central limite, chapitre 12.
1. Loi uniforme¶
\(X\sim\mathcal{U}([a;b])\)
Propriété caractéristique : la probabilité d'un sous-intervalle est proportionnelle à sa longueur, indépendamment de sa position.
D'où vient le 12
\(\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{b-a}\int_a^b x^2\mathrm{d}x = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3}\), et
2. Loi exponentielle¶
\(X\sim\mathcal{E}(\lambda)\), \(\lambda>0\)
Trois propriétés à retenir :
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Absence de mémoire | \(P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t)\) |
| Médiane | \(m = \frac{\ln2}{\lambda} \approx 0{,}693\,\mathbb{E}[X]\) |
| Survie | \(P(X>t) = e^{-\lambda t}\) |
Le lien avec Poisson
Si les événements arrivent selon un processus de Poisson d'intensité \(\lambda\) — donc si le nombre d'événements en une durée \(t\) suit \(\mathcal{P}(\lambda t)\) —, alors le temps entre deux événements consécutifs suit \(\mathcal{E}(\lambda)\).
Démonstration en une ligne : \(P(T>t) = P(\text{0 événement en } t) = e^{-\lambda t}\) ✓
Poisson compte, exponentielle chronomètre. Ce sont les deux faces du même processus.
Domaine d'application : durée de vie sans usure, temps entre deux pannes, temps entre deux requêtes, désintégration radioactive.
3. Loi normale¶
\(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)
Forme de la courbe : la fameuse « cloche », symétrique autour de \(\mu\), d'autant plus étalée que \(\sigma\) est grand. Les points d'inflexion sont exactement en \(\mu\pm\sigma\).
D'où vient le facteur \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
C'est le facteur de normalisation qui force l'intégrale à valoir 1. Il provient de l'intégrale de Gauss \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}\mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}\), démontrée à l'exercice 7 du chapitre Analyse 09.
3.1 Loi normale centrée réduite¶
\(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\) a pour densité \(\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\) et pour répartition \(\Phi\).
La standardisation
Toute question sur \(X\) se ramène à une question sur \(Z\), qui est tabulée. C'est la seule technique du chapitre.
\(\Phi\) n'a pas d'expression élémentaire
\(\int e^{-t^2/2}\mathrm{d}t\) n'admet aucune primitive exprimable avec les fonctions usuelles (chapitre Analyse 06, exercice 9).
On utilise donc une table ou une fonction numérique. Il n'y a rien à calculer à la main.
Propriétés de \(\Phi\), conséquences de la symétrie de \(\varphi\) :
3.2 Valeurs à connaître par cœur¶
| \(z\) | \(\Phi(z)\) | \(P(\lvert Z\rvert\leqslant z)\) |
|---|---|---|
| 1,00 | 0,8413 | 68,3 % |
| 1,645 | 0,9500 | 90,0 % |
| 1,96 | 0,9750 | 95,0 % |
| 2,00 | 0,9772 | 95,4 % |
| 2,576 | 0,9950 | 99,0 % |
| 3,00 | 0,9987 | 99,7 % |
La règle 68-95-99,7
Pour toute loi normale :
- 68 % des valeurs sont dans \([\mu-\sigma\,;\mu+\sigma]\) ;
- 95 % dans \([\mu-2\sigma\,;\mu+2\sigma]\) ;
- 99,7 % dans \([\mu-3\sigma\,;\mu+3\sigma]\).
C'est la règle la plus utile de toute la statistique appliquée. Elle donne un ordre de grandeur instantané sans aucune table.
(Le fameux « six sigma » de l'industrie vise \(3{,}4\) défauts par million, ce qui correspond à \(4{,}5\sigma\) une fois pris en compte un décalage de \(1{,}5\sigma\) du procédé.)
3.3 Stabilité¶
Propriétés de stabilité
- Transformation affine : si \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), alors \(aX+b\sim\mathcal{N}(a\mu+b,\ a^2\sigma^2)\).
- Somme d'indépendantes : si \(X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)\) et \(Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)\) sont indépendantes, alors \(\displaystyle X+Y \sim \mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)\)
Ce sont les VARIANCES qui s'ajoutent, pas les écarts-types
\(\sigma_{X+Y} = \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\), et non \(\sigma_1+\sigma_2\).
Pour \(\sigma_1=\sigma_2=1\) : l'écart-type de la somme vaut \(\sqrt2\approx 1{,}41\), pas 2.
Pourquoi la loi normale est partout
La stabilité par somme, combinée au théorème central limite, fait que toute quantité résultant de l'accumulation de nombreuses contributions indépendantes et petites est approximativement normale : erreurs de mesure, bruit électronique, tailles dans une population, moyennes d'échantillons.
4. Tableau récapitulatif¶
| Loi | Densité | Support | \(\mathbb{E}\) | \(\operatorname{V}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\mathcal{U}([a;b])\) | \(\frac{1}{b-a}\) | \([a;b]\) | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
| \(\mathcal{E}(\lambda)\) | \(\lambda e^{-\lambda x}\) | \([0;+\infty[\) | \(\frac1\lambda\) | \(\frac{1}{\lambda^2}\) |
| \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) | \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
Exemples traités¶
Exemple 1 — Standardisation
La taille des adultes masculins suit \(\mathcal{N}(175\,;7^2)\) (en cm).
Proportion mesurant plus de 185 cm ?
Environ 7,7 %.
Proportion entre 168 et 182 cm ?
C'est exactement \(\mu\pm\sigma\) :
sans calcul, par la règle 68-95-99,7.
Exemple 2 — Quantile
Même population. Au-dessus de quelle taille se trouvent les 5 % les plus grands ?
On cherche \(x\) tel que \(P(X>x) = 0{,}05\), soit \(\Phi(z) = 0{,}95\), donc \(z = 1{,}645\).
Exemple 3 — Somme de normales
Deux composants ont des temps d'assemblage \(X\sim\mathcal{N}(30\,;4)\) et \(Y\sim\mathcal{N}(45\,;9)\), indépendants (en minutes ; les seconds nombres sont des variances).
Le temps total \(T = X+Y\) suit
donc \(\sigma_T = \sqrt{13}\approx3{,}606\).
Probabilité que le total dépasse 80 minutes ?
Environ 8,3 %.
L'erreur à ne pas faire
\(\sigma_T \neq 2+3 = 5\). On additionne \(4+9=13\) puis on prend la racine : \(3{,}61\), pas 5.
Exemple 4 — Exponentielle et Poisson ensemble
Un serveur reçoit 2 requêtes par minute en moyenne, selon un processus de Poisson.
Nombre de requêtes en 3 minutes : \(\mathcal{P}(6)\).
Temps jusqu'à la prochaine requête : \(\mathcal{E}(2)\), exprimé en minutes.
Cohérence : \(P(T>1) = P(\text{0 requête en 1 min}) = e^{-2}\) ✓ Les deux calculs, l'un par l'exponentielle et l'autre par Poisson, coïncident.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Additionner les écarts-types | Additionner les variances |
| Confondre \(\sigma\) et \(\sigma^2\) dans \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) | Le second paramètre est la variance |
| Oublier \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) | Les tables ne donnent que \(z>0\) |
| Chercher une primitive de \(\varphi\) | Elle n'existe pas |
| Utiliser \(\mathcal{E}\) pour un composant qui s'use | L'exponentielle est sans mémoire |
| Confondre densité et probabilité | La densité peut dépasser 1 |
Exercices¶
★ Exercice 1. \(X\sim\mathcal{U}([0;10])\). Calculer :
a) \(P(X\leqslant3)\) b) \(P(2\leqslant X\leqslant7)\) c) \(\mathbb{E}[X]\) et \(\sigma(X)\)
★ Exercice 2. \(X\sim\mathcal{E}(0{,}2)\). Calculer :
a) \(\mathbb{E}[X]\) et \(\sigma(X)\) b) \(P(X\leqslant5)\) c) \(P(X>10)\) d) la médiane
★★ Exercice 3. \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\). Calculer avec la table :
a) \(P(Z\leqslant1{,}5)\) b) \(P(Z>2)\) c) \(P(-1\leqslant Z\leqslant1)\) d) \(P(|Z|>1{,}96)\)
★★ Exercice 4. \(X\sim\mathcal{N}(100\,;15^2)\) (QI). Calculer :
a) \(P(X>130)\) b) \(P(85\leqslant X\leqslant115)\) c) Le QI dépassé par seulement 1 % de la population.
★★ Exercice 5. La durée de vie d'une ampoule suit \(\mathcal{E}(\lambda)\) avec une durée moyenne de 1000 heures.
a) Déterminer \(\lambda\). b) Probabilité qu'elle dure plus de 1500 heures. c) Sachant qu'elle a duré 800 heures, probabilité qu'elle dure encore 1000 heures ? Commenter.
★★★ Exercice 6. Une machine remplit des bouteilles. Le volume suit \(\mathcal{N}(500\,;\sigma^2)\) ml. On veut que 99 % des bouteilles contiennent au moins 495 ml.
a) Déterminer \(\sigma\) maximal. b) Avec ce \(\sigma\), quelle proportion dépasse 510 ml ?
★★★ Exercice 7. \(X\sim\mathcal{N}(50\,;16)\) et \(Y\sim\mathcal{N}(30\,;9)\), indépendantes.
a) Loi de \(X+Y\), de \(X-Y\), de \(2X\). b) Calculer \(P(X-Y>25)\). c) Calculer \(P(X+Y<75)\).
★★★ Exercice 8. Un processus de Poisson d'intensité \(\lambda=3\) par heure.
a) Loi du nombre d'événements en 2 heures ; probabilité d'en avoir exactement 5. b) Loi du temps d'attente du premier événement ; espérance. c) Probabilité d'attendre plus de 30 minutes. d) Vérifier la cohérence entre b/c et la loi de Poisson.
★★★★ Exercice 9. Soit \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\).
a) Montrer que \(\mathbb{E}[Z]=0\) par un argument de parité. b) Montrer que \(\operatorname{V}(Z)=1\). Indication : intégration par parties sur \(\int z\cdot z\varphi(z)\mathrm{d}z\), en remarquant que \(\varphi'(z) = -z\varphi(z)\). c) En déduire \(\mathbb{E}[Z^4] = 3\) par le même procédé.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. Simulation de la loi normale.
a) La méthode d'inversion est-elle praticable ? Pourquoi ? b) La méthode de Box-Muller : si \(U_1, U_2\) sont uniformes indépendantes sur \(]0;1]\), alors
sont deux normales centrées réduites indépendantes. Implémenter. c) Vérifier statistiquement moyenne, variance et la règle 68-95-99,7. d) D'où vient le \(\sqrt{-2\ln U_1}\) ? Indication : en coordonnées polaires, \(R^2 = Z_1^2+Z_2^2\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\frac12\).
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(\frac{3}{10} = 0{,}3\). b) \(\frac{7-2}{10} = 0{,}5\). c) \(\mathbb{E}=5\) ; \(\operatorname{V}=\frac{100}{12}=8{,}333\) ; \(\sigma\approx2{,}887\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(\mathbb{E}=\sigma=\frac{1}{0{,}2}=5\).
b) \(1-e^{-1}\approx0{,}6321\).
c) \(e^{-2}\approx0{,}1353\).
d) \(m = \frac{\ln2}{0{,}2} = 5\ln2 \approx 3{,}466\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(\Phi(1{,}5) = 0{,}9332\).
b) \(1-\Phi(2) = 1-0{,}9772 = 0{,}0228\).
c) \(2\Phi(1)-1 = 2(0{,}8413)-1 = 0{,}6827\).
d) \(2(1-\Phi(1{,}96)) = 2(0{,}025) = 0{,}05\).
(C'est la définition de \(1{,}96\) : le seuil à 5 % bilatéral.)
Corrigé — Exercice 4
a) \(z = \frac{130-100}{15} = 2\).
2,3 % de la population.
b) C'est \(\mu\pm\sigma\) : 68,3 %.
c) \(\Phi(z)=0{,}99\) donne \(z=2{,}326\).
Un QI de 135 environ.
Corrigé — Exercice 5
a) \(\mathbb{E}=\frac1\lambda = 1000\), donc \(\lambda = 10^{-3}\).
b) \(P(X>1500) = e^{-1{,}5}\approx0{,}2231\).
c) Absence de mémoire.
Commentaire. La probabilité est la même que pour une ampoule neuve. L'ampoule « n'a pas vieilli ».
C'est une limite du modèle, pas une propriété du réel : une ampoule s'use. La loi exponentielle convient aux pannes accidentelles (surtension, choc), pas à l'usure progressive. Pour celle-ci, on utilise une loi de Weibull, dont le taux de panne croît avec le temps.
Corrigé — Exercice 6
a) On veut \(P(X\geqslant495) = 0{,}99\), soit \(P(X<495) = 0{,}01\).
\(z = \frac{495-500}{\sigma} = \frac{-5}{\sigma}\), et \(\Phi(z)=0{,}01\) donne \(z = -2{,}326\).
b) Avec \(\sigma = 2{,}15\) :
Moins de 2 bouteilles par million. L'exigence sur la borne basse a rendu la borne haute pratiquement inatteignable.
Corrigé — Exercice 7
(\(\sigma_X = 4\), \(\sigma_Y = 3\).)
a)
Les variances s'ajoutent aussi pour une différence : \(\operatorname{V}(-Y) = (-1)^2\operatorname{V}(Y) = 9\).
b) \(z = \frac{25-20}{5} = 1\).
c) \(z = \frac{75-80}{5} = -1\).
Corrigé — Exercice 8
a) En 2 heures : \(\mathcal{P}(6)\).
b) Temps d'attente : \(\mathcal{E}(3)\) (en heures). \(\mathbb{E}[T] = \frac13\) h \(= 20\) minutes.
c) 30 minutes \(=\frac12\) h :
d) Cohérence. \(P(T>0{,}5)\) signifie « aucun événement en une demi-heure ». Or le nombre d'événements en \(\frac12\) h suit \(\mathcal{P}(1{,}5)\), donc
Les deux approches donnent le même nombre — c'est la traduction exacte du lien Poisson ↔ exponentielle.
Corrigé — Exercice 9
a) \(z\varphi(z)\) est le produit d'une fonction impaire (\(z\)) et d'une fonction paire (\(\varphi\)) : elle est impaire.
L'intégrale converge absolument (l'exponentielle domine toute puissance), et l'intégrale d'une fonction impaire sur \(\mathbb{R}\), domaine symétrique, est nulle :
b) Remarquons d'abord que
Donc, par intégration par parties avec \(u' = z\varphi(z) = -\varphi'(z)\) et \(v = z\) :
Le crochet est nul (l'exponentielle écrase le \(z\)), et l'intégrale restante vaut 1 puisque \(\varphi\) est une densité :
\(\blacksquare\)
c) Même procédé avec \(v = z^3\) :
Les moments de la loi normale
Le même calcul donne la récurrence \(\mathbb{E}[Z^{n}] = (n-1)\mathbb{E}[Z^{n-2}]\), d'où \(\displaystyle \mathbb{E}[Z^{2k}] = (2k-1)!! = 1\times3\times5\times\dots\times(2k-1)\)
et \(\mathbb{E}[Z^{2k+1}]=0\) par imparité.
Le kurtosis \(\frac{\mathbb{E}[Z^4]}{\sigma^4} = 3\) sert de référence : une distribution de kurtosis supérieur à 3 a des queues plus lourdes que la normale.
Corrigé — Exercice 10
a) Inversion impraticable. \(F = \Phi\) n'a pas d'expression élémentaire,
et \(\Phi^{-1}\) encore moins. On ne peut l'évaluer que par approximation
numérique — possible (l'algorithme de Moro, ou scipy.stats.norm.ppf) mais
coûteux et moins précis dans les queues.
Box-Muller contourne le problème par une astuce géométrique.
b) Implémentation.
import math
import random
def box_muller(rng):
"""Renvoie deux normales centrees reduites independantes."""
u1 = rng.random()
while u1 == 0.0: # eviter log(0)
u1 = rng.random()
u2 = rng.random()
r = math.sqrt(-2.0 * math.log(u1))
theta = 2.0 * math.pi * u2
return r * math.cos(theta), r * math.sin(theta)
c) Vérification statistique.
rng = random.Random(2026)
n = 500_000
ech = []
for _ in range(n // 2):
z1, z2 = box_muller(rng)
ech.append(z1)
ech.append(z2)
m = sum(ech) / n
v = sum((z - m) ** 2 for z in ech) / n
dans1 = sum(1 for z in ech if abs(z) <= 1) / n
dans2 = sum(1 for z in ech if abs(z) <= 2) / n
dans3 = sum(1 for z in ech if abs(z) <= 3) / n
print(f"moyenne = {m:+.4f} (theorie 0)")
print(f"variance = {v:.4f} (theorie 1)")
print(f"|Z|<=1 = {dans1:.4f} (theorie 0.6827)")
print(f"|Z|<=2 = {dans2:.4f} (theorie 0.9545)")
print(f"|Z|<=3 = {dans3:.4f} (theorie 0.9973)")
Sortie :
moyenne = -0.0010 (theorie 0)
variance = 1.0048 (theorie 1)
|Z|<=1 = 0.6808 (theorie 0.6827)
|Z|<=2 = 0.9540 (theorie 0.9545)
|Z|<=3 = 0.9973 (theorie 0.9973)
Les cinq statistiques coïncident à moins de 0,5 % ✓ La règle 68-95-99,7 est reproduite avec précision.
d) L'origine du \(\sqrt{-2\ln U_1}\).
Soit \((Z_1,Z_2)\) un couple de normales centrées réduites indépendantes. Sa densité conjointe est
qui ne dépend que de \(r^2 = z_1^2+z_2^2\) : elle est à symétrie de révolution.
En passant en coordonnées polaires, l'angle \(\Theta\) est donc uniforme sur \([0;2\pi[\) — d'où le \(2\pi U_2\).
Pour le rayon, calculons la loi de \(S = R^2\) :
\(S\) suit donc la loi exponentielle de paramètre \(\frac12\).
Or on sait simuler une exponentielle par inversion (exercice 8 du chapitre 08) : \(S = -2\ln U_1\), donc
\(\blacksquare\)
L'astuce en une phrase
On ne sait pas inverser \(\Phi\) en dimension 1, mais on sait le faire en dimension 2 — parce qu'en polaires, le couple se décompose en un angle uniforme et un rayon exponentiel, tous deux simulables directement.
C'est un exemple remarquable où passer en dimension supérieure simplifie le problème.
Chapitre suivant : Couples et covariance.