02 · Limites et continuité¶

Intuition

Une limite répond à la question : « vers quoi tend \(f(x)\) quand \(x\) s'approche de quelque chose ? » — sans jamais y arriver.

La continuité, c'est le cas où la réponse est simplement \(f(a)\) : la fonction « ne saute pas ». On peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

Ces deux notions sont le socle de tout le reste du module. La dérivée est une limite, l'intégrale est une limite, et les théorèmes qui rendent l'analyse utile — valeurs intermédiaires, bornes atteintes — sont des théorèmes de continuité.

1. Limites¶

1.1 Définitions¶

Limite finie en un point

\[ \lim_{x\to a} f(x) = \ell \quad\text{signifie}\quad \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x,\ 0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-\ell|<\varepsilon \]

En français : quelle que soit la précision \(\varepsilon\) exigée, on peut s'approcher assez près de \(a\) (à \(\delta\) près) pour que \(f(x)\) soit à moins de \(\varepsilon\) de \(\ell\).

La condition \(0 < |x-a|\)

Elle exclut le point \(a\) lui-même. La limite en \(a\) ne dépend pas de \(f(a)\) — la fonction peut même ne pas y être définie.

C'est exactement ce qui permet de parler de \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) alors que l'expression n'a aucun sens en 0.

Limite infinie

\[ \lim_{x\to a}f(x) = +\infty \iff \forall A>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x-a|<\delta \implies f(x)>A \]

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists B,\ x>B \implies |f(x)-\ell|<\varepsilon \]

Limites à gauche et à droite : \(\lim_{x\to a^-}\) et \(\lim_{x\to a^+}\). La limite existe si et seulement si les deux existent et sont égales.

1.2 Opérations sur les limites¶

Quand les limites existent et que le résultat a un sens :

\[ \lim(f+g) = \lim f + \lim g \qquad \lim(fg) = \lim f\cdot\lim g \qquad \lim\frac fg = \frac{\lim f}{\lim g}\ (\lim g\neq0) \]

Les quatre formes indéterminées

\[ \infty - \infty \qquad 0\times\infty \qquad \frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \]

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la forme ne suffit pas à conclure, et qu'il faut transformer l'expression.

On rencontre aussi \(1^\infty\), \(0^0\) et \(\infty^0\), qui se ramènent aux précédentes en passant par l'exponentielle.

1.3 Les techniques de levée¶

Situation	Technique
Fraction rationnelle en \(\pm\infty\)	Factoriser par le terme dominant
Fraction rationnelle en \(a\), forme \(\frac00\)	Factoriser par \((x-a)\)
Différence de racines	Multiplier par la quantité conjuguée
\(\frac{\sin x}{x}\), \(\frac{e^x-1}{x}\)…	Limites usuelles (§1.4)
Exponentielle contre puissance	Croissances comparées

Le terme dominant

Quand \(x\to\pm\infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+7} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{2x^2} = \frac32 \]

Rédaction rigoureuse : on factorise.

\[ \frac{3x^2-5x+1}{2x^2+7} = \frac{x^2\left(3-\frac5x+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac{7}{x^2}\right)} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac32 \]

1.4 Limites usuelles à connaître¶

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1 \]

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha \]

Elles sont toutes des dérivées

\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0)\). Chacune de ces limites est le nombre dérivé en 0 d'une fonction usuelle. C'est pourquoi il est inutile de les apprendre séparément : il suffit de savoir dériver.

1.5 Croissances comparées¶

La hiérarchie, en \(+\infty\)

\[ \ln x \ll x^\alpha \ll e^x \ll x^x \qquad (\alpha>0) \]

où \(\ll\) signifie « est négligeable devant ». Concrètement :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{e^x}=0 \]

En 0 : \(\lim_{x\to0^+} x^\alpha\ln x = 0\).

L'exponentielle gagne toujours contre les puissances ; les puissances gagnent toujours contre le logarithme.

2. Continuité¶

Définition

\(f\) est continue en \(a\) si \(f\) est définie en \(a\) et

\[ \lim_{x\to a}f(x) = f(a) \]

\(f\) est continue sur un intervalle si elle l'est en chacun de ses points.

Trois façons d'être discontinue en \(a\) :

\(f\) n'est pas définie en \(a\) ;
la limite n'existe pas (limites à gauche et à droite différentes) ;
la limite existe mais diffère de \(f(a)\).

Fonctions continues sur leur domaine — à savoir sans démonstration : polynômes, fractions rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, valeur absolue, et toutes leurs sommes, produits, quotients et composées.

Prolongement par continuité

Si \(f\) n'est pas définie en \(a\) mais que \(\lim_{x\to a}f(x) = \ell\) existe et est finie, on prolonge \(f\) en posant \(f(a)=\ell\). La fonction obtenue est continue en \(a\).

Exemple : \(x\mapsto\frac{\sin x}{x}\) se prolonge en 0 par la valeur 1.

3. Les trois théorèmes¶

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in[a;b]\) tel que \(f(c)=k\).

Cas particulier le plus utilisé : si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a;b[\).

Le TVI donne l'existence, pas l'unicité

Il faut ajouter la stricte monotonie pour obtenir l'unicité — c'est le corollaire du TVI ou théorème de la bijection :

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution.

Théorème des bornes atteintes

Une fonction continue sur un segment \([a;b]\) (fermé et borné) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(x_1,x_2\in[a;b]\) tels que

\[ f(x_1) = \min_{[a;b]}f \qquad f(x_2)=\max_{[a;b]}f \]

Les deux hypothèses sont indispensables

Segment fermé : \(f(x)=x\) sur \([0;1[\) est continue et bornée, mais n'atteint pas sa borne supérieure 1.
Segment borné : \(f(x)=x\) sur \([0;+\infty[\) n'est pas majorée.
Continuité : \(f(x)=\frac1x\) sur \(]0;1]\) n'est pas majorée.

Théorème de composition des limites

Si \(\lim_{x\to a}f(x) = b\) et \(\lim_{t\to b}g(t)=\ell\), alors \(\lim_{x\to a}g(f(x)) = \ell\) — à condition que \(g\) soit continue en \(b\), ou que \(f\) ne prenne pas la valeur \(b\) au voisinage de \(a\).

4. Méthode de dichotomie¶

Le TVI est non constructif : il affirme qu'une solution existe sans dire où. La dichotomie la localise.

Algorithme

On part de \([a;b]\) avec \(f(a)f(b)<0\). À chaque étape, on calcule \(m=\frac{a+b}{2}\) et l'on garde la moitié où le signe change.

Après \(n\) étapes, l'intervalle a pour longueur \(\frac{b-a}{2^n}\) : la précision double à chaque itération, soit environ un chiffre décimal toutes les 3,32 itérations.

def dichotomie(f, a, b, eps=1e-10):
    assert f(a) * f(b) < 0, "pas de changement de signe"
    while b - a > eps:
        m = a + (b - a) / 2          # evite le debordement, cf. Prerequis 02
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a + (b - a) / 2

Exemples traités¶

Exemple 1 — Forme \(\frac{0}{0}\) par factorisation

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} \]

Numérateur et dénominateur s'annulent en 2 : on factorise par \((x-2)\).

\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+2}{x-3} \xrightarrow[x\to2]{} \frac{4}{-1} = -4 \]

Exemple 2 — Quantité conjuguée

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \]

Forme \(\infty-\infty\). On multiplie et divise par la conjuguée :

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \]

On factorise par \(x\) au dénominateur (avec \(x>0\), donc \(\sqrt{x^2}=x\)) :

\[ = \frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac12 \]

Exemple 3 — Croissances comparées

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+e^x}{2e^x - x^{10}} \]

L'exponentielle domine tout. Factorisons par \(e^x\) :

\[ \frac{e^x\left(\frac{x^3}{e^x}+1\right)}{e^x\left(2-\frac{x^{10}}{e^x}\right)} = \frac{\frac{x^3}{e^x}+1}{2-\frac{x^{10}}{e^x}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{0+1}{2-0} = \frac12 \]

Exemple 4 — TVI avec unicité

Montrer que \(x^5+x-1 = 0\) admet une unique solution réelle, et l'encadrer.

Posons \(f(x)=x^5+x-1\), continue sur \(\mathbb{R}\) (polynôme).

Stricte croissance : \(f'(x) = 5x^4+1 > 0\) pour tout \(x\). (La dérivation est vue au chapitre suivant ; on peut aussi remarquer que \(x\mapsto x^5\) et \(x\mapsto x\) sont toutes deux strictement croissantes.)

Changement de signe : \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\).

Par le corollaire du TVI, il existe une unique solution \(\alpha\in]0;1[\).

Encadrement par dichotomie :

Intervalle	Milieu \(m\)	\(f(m)\)	Signe
\([0;1]\)	0,5	\(0{,}03125+0{,}5-1 = -0{,}469\)	\(<0\)
\([0{,}5;1]\)	0,75	\(0{,}2373+0{,}75-1 = -0{,}013\)	\(<0\)
\([0{,}75;1]\)	0,875	\(0{,}5129+0{,}875-1 = 0{,}388\)	\(>0\)
\([0{,}75;0{,}875]\)	0,8125	\(0{,}3543+0{,}8125-1 = 0{,}167\)	\(>0\)

\[ 0{,}75 < \alpha < 0{,}8125 \]

(La valeur exacte est \(\alpha \approx 0{,}7549\).)

Erreurs fréquentes¶

Erreur	Correction
Conclure d'une forme indéterminée	Il faut transformer l'expression
\(\lim(fg) = \lim f\cdot\lim g\) avec \(0\times\infty\)	Forme indéterminée
Utiliser le TVI sans continuité	Hypothèse indispensable
Conclure à l'unicité par le TVI seul	Il faut la stricte monotonie
Bornes atteintes sur un intervalle ouvert	Le segment doit être fermé borné
\(\sqrt{x^2}=x\) pour \(x<0\)	C'est \(\lvert x\rvert\)

Exercices¶

★ Exercice 1. Calculer les limites.

a) \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{5x^2-1}\) c) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\) d) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\)

★ Exercice 2. Calculer.

a) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^3+x}{x^2+1}\) c) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\)

★★ Exercice 3. Lever l'indétermination par la quantité conjuguée.

a) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-x}\right)\)

★★ Exercice 4. Étudier la continuité en 0 de

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x\neq0\\ 1 & \text{si } x=0 \end{cases} \]

puis de

\[ g(x)=\begin{cases} x\sin\dfrac1x & \text{si }x\neq0\\ 0&\text{si }x=0 \end{cases} \]

★★ Exercice 5. Déterminer \(a\) pour que la fonction suivante soit continue sur \(\mathbb{R}\) :

\[ f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si } x\leqslant2\\ ax-3 & \text{si } x>2 \end{cases} \]

★★★ Exercice 6. Montrer que l'équation \(\cos x = x\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\), et la localiser à \(10^{-1}\) près.

★★★ Exercice 7. Soit \(f\) continue sur \([0;1]\) telle que \(f(0)=f(1)\).

Montrer qu'il existe \(c\in\left[0;\frac12\right]\) tel que \(f(c)=f\left(c+\frac12\right)\).

Indication : posez \(g(x)=f\left(x+\frac12\right)-f(x)\) et calculez \(g(0)+g\left(\frac12\right)\).

★★★ Exercice 8. Soit \(f\) continue sur \([0;1]\) à valeurs dans \([0;1]\).

Montrer que \(f\) admet un point fixe : il existe \(c\) tel que \(f(c)=c\).

★★★★ Exercice 9. Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue et périodique de période \(T>0\).

a) Montrer que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). b) Montrer qu'elle atteint ses bornes. c) Montrer qu'il existe \(c\) tel que \(f(c) = f\left(c+\frac T2\right)\).

★★★★ Exercice 10 — lien informatique. On veut résoudre \(f(x)=0\) numériquement sur \([a;b]\) avec \(f(a)f(b)<0\).

a) Combien d'itérations de dichotomie pour une précision \(\varepsilon\) ? Application : \([0;1]\) et \(\varepsilon = 10^{-15}\). b) La méthode de Newton, \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\), double le nombre de décimales exactes à chaque itération. Combien d'itérations pour la même précision, en partant de 1 décimale exacte ? c) Pourquoi la dichotomie reste-t-elle utilisée malgré sa lenteur ? d) Implémenter la dichotomie et vérifier sur \(x^5+x-1=0\).

Corrigés¶

Corrigé — Exercice 1

a) \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \to 6\).

b) Termes dominants : \(\dfrac{2x^2}{5x^2}\to\dfrac25\).

c) \(\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3\times1 = 3\).

d) Croissances comparées : \(\to 0\).

Corrigé — Exercice 2

a) \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\), donc la fraction vaut \(x^2+x+1 \to 3\).

b) \(\dfrac{3x^3}{x^2} = 3x \to -\infty\).

Rédaction : \(\dfrac{x^3(3+\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = x\cdot\dfrac{3+\frac1{x^2}}{1+\frac1{x^2}} \to -\infty\).

c) Croissances comparées en 0 : \(x\ln x\to0\).

(On peut poser \(x = e^{-t}\) avec \(t\to+\infty\) : \(x\ln x = -te^{-t}\to0\).)

Corrigé — Exercice 3

a)

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(1+x)-1}{x\left(\sqrt{1+x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac12 \]

(C'est la dérivée de \(\sqrt{\ }\) en 1, qui vaut bien \(\frac{1}{2\sqrt1}\).)

b) Conjuguée \(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x}\) :

\[ \frac{(x^2+3x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x}} = \frac{4x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x}} \]

Pour \(x>0\), on factorise par \(x\) :

\[ = \frac{4x}{x\left(\sqrt{1+\frac3x}+\sqrt{1-\frac1x}\right)} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{4}{1+1} = 2 \]

Corrigé — Exercice 4

Pour \(f\). \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 = f(0)\). \(f\) est continue en 0.

(C'est le prolongement par continuité de \(\frac{\sin x}{x}\).)

Pour \(g\). Pour \(x\neq0\) :

\[ \left|x\sin\frac1x\right| \leqslant |x| \]

puisque \(|\sin| \leqslant 1\).

Par encadrement, \(\lim_{x\to0} x\sin\frac1x = 0 = g(0)\). \(g\) est continue en 0.

Une fonction très irrégulière et pourtant continue

\(g\) oscille infiniment vite près de 0 : elle change de signe une infinité de fois sur tout voisinage de 0. Elle est pourtant continue, parce que l'amplitude de ces oscillations tend vers 0.

En revanche, \(x\mapsto\sin\frac1x\) sans le facteur \(x\) n'a pas de limite en 0 : elle oscille sans s'amortir.

Corrigé — Exercice 5

La fonction est continue sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\) (polynômes). Le seul point à examiner est \(x=2\).

Limite à gauche : \(\lim_{x\to2^-}(x^2+1) = 5\), et \(f(2)=5\) ;
Limite à droite : \(\lim_{x\to2^+}(ax-3) = 2a-3\).

Continuité \(\iff 2a-3 = 5 \iff a = 4\).

Corrigé — Exercice 6

Posons \(f(x) = \cos x - x\), continue sur \(\mathbb{R}\).

Stricte décroissance : \(f'(x) = -\sin x - 1 \leqslant 0\), et \(f'(x) = 0\) seulement si \(\sin x = -1\), c'est-à-dire en des points isolés. Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Changement de signe : \(f(0) = 1 > 0\) et \(f(1) = \cos 1 - 1 \approx 0{,}540-1 = -0{,}460 < 0\).

Par le corollaire du TVI, unique solution \(\alpha\in]0;1[\).

Localisation.

\(x\)	\(f(x) = \cos x - x\)	Signe
0,5	\(0{,}8776-0{,}5 = 0{,}378\)	\(+\)
0,7	\(0{,}7648-0{,}7 = 0{,}065\)	\(+\)
0,8	\(0{,}6967-0{,}8 = -0{,}103\)	\(-\)

\[ 0{,}7 < \alpha < 0{,}8 \]

(Valeur exacte \(\approx 0{,}7391\), le nombre de Dottie.)

Corrigé — Exercice 7

Posons \(g(x) = f\left(x+\frac12\right)-f(x)\) sur \(\left[0;\frac12\right]\). \(g\) est continue comme différence de fonctions continues.

Calculons :

\[ g(0) = f\!\left(\tfrac12\right)-f(0) \qquad g\!\left(\tfrac12\right) = f(1)-f\!\left(\tfrac12\right) \]

Leur somme :

\[ g(0)+g\!\left(\tfrac12\right) = f(1)-f(0) = 0 \]

par hypothèse.

Donc \(g(0)\) et \(g\left(\frac12\right)\) sont opposés : soit tous deux nuls, soit de signes contraires.

Si l'un des deux est nul, on a directement le résultat.
Sinon, le TVI appliqué à \(g\) sur \(\left[0;\frac12\right]\) fournit \(c\) tel que \(g(c)=0\), soit \(f(c)=f\left(c+\frac12\right)\).

\(\blacksquare\)

Le théorème du sandwich horizontal

Ce résultat est parfois appelé « théorème de la table bancale » : sur un sol continu, on peut toujours faire reposer une table carrée sur ses quatre pieds en la faisant pivoter. Le même argument fonctionne pour \(\frac1n\) au lieu de \(\frac12\).

Corrigé — Exercice 8

Posons \(g(x) = f(x)-x\), continue sur \([0;1]\).

\(g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geqslant 0\) puisque \(f\) est à valeurs dans \([0;1]\) ;
\(g(1) = f(1)-1 \leqslant 0\) pour la même raison.

Cas 1 : \(g(0)=0\) ou \(g(1)=0\). Alors \(c=0\) ou \(c=1\) convient.

Cas 2 : \(g(0)>0\) et \(g(1)<0\). Le TVI fournit \(c\in]0;1[\) avec \(g(c)=0\), soit \(f(c)=c\). \(\blacksquare\)

Un cas particulier d'un grand théorème

C'est le théorème du point fixe de Brouwer en dimension 1. En dimension supérieure, il affirme que toute application continue d'une boule fermée dans elle-même a un point fixe — résultat autrement plus difficile, et à la base de théorèmes d'existence en économie (équilibre de Nash) et en théorie des jeux.

Corrigé — Exercice 9

a) \(f\) est continue sur le segment \([0;T]\), donc bornée sur ce segment : il existe \(M\) tel que \(|f(x)|\leqslant M\) pour \(x\in[0;T]\).

Soit \(x\in\mathbb{R}\) quelconque. Il existe un entier \(k\) tel que \(x - kT \in[0;T[\) (prendre \(k = \lfloor x/T\rfloor\)). Par périodicité, \(f(x)=f(x-kT)\), donc \(|f(x)|\leqslant M\).

\(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)

b) Par le théorème des bornes atteintes sur \([0;T]\), il existe \(x_1, x_2\in[0;T]\) où \(f\) atteint son min et son max sur ce segment.

Par l'argument de a), toute valeur prise par \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est déjà prise sur \([0;T]\). Donc ces extremums sont globaux. \(\blacksquare\)

c) Posons \(g(x) = f\left(x+\frac T2\right)-f(x)\), continue.

\[ g(0)+g\!\left(\tfrac T2\right) = \left[f\!\left(\tfrac T2\right)-f(0)\right] + \left[f(T)-f\!\left(\tfrac T2\right)\right] = f(T)-f(0) = 0 \]

par périodicité.

On conclut exactement comme à l'exercice 7. \(\blacksquare\)

Corrigé — Exercice 10

a) Après \(n\) itérations, la longueur de l'intervalle est \(\frac{b-a}{2^n}\). On veut

\[ \frac{b-a}{2^n} \leqslant \varepsilon \iff n \geqslant \log_2\frac{b-a}{\varepsilon} \]

Pour \([0;1]\) et \(\varepsilon=10^{-15}\) :

\[ n \geqslant \log_2 10^{15} = 15\log_2 10 \approx 15\times3{,}3219 \approx 49{,}8 \]

50 itérations.

b) Newton double le nombre de décimales exactes : \(1, 2, 4, 8, 16, 32\)… Pour atteindre 15 décimales, il faut

\[ 2^k \geqslant 15 \implies k \geqslant \log_2 15 \approx 3{,}9 \]

4 itérations — contre 50 pour la dichotomie.

c) Trois raisons.

Robustesse. La dichotomie converge toujours si le signe change aux bornes. Newton peut diverger, osciller, ou sortir de l'intervalle si le point de départ est mal choisi ou si \(f'\) s'annule.
Pas besoin de la dérivée. Newton exige \(f'\), qui peut être coûteuse à calculer ou indisponible (fonction en boîte noire).
Garantie d'encadrement. À chaque étape, la dichotomie fournit un intervalle certifié contenant la racine. Newton ne donne qu'une estimation, sans borne d'erreur.

En pratique, les bibliothèques utilisent des méthodes hybrides — Brent combine dichotomie, sécante et interpolation quadratique inverse : elle garde la robustesse de la première et la vitesse des secondes.

d) Implémentation et vérification.

def dichotomie(f, a, b, eps=1e-12):
    assert f(a) * f(b) < 0, "pas de changement de signe"
    n = 0
    while b - a > eps:
        m = a + (b - a) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
        n += 1
    return a + (b - a) / 2, n


f = lambda x: x**5 + x - 1
racine, n = dichotomie(f, 0, 1)
assert abs(f(racine)) < 1e-11
assert abs(racine - 0.7548776662) < 1e-9
print(f"racine = {racine:.10f} en {n} iterations")

Sortie attendue : racine = 0.7548776662 en 40 iterations (40 et non 50, car la précision demandée est ici \(10^{-12}\)).

Chapitre suivant : Dérivation.