10 · Nombres complexes : forme algébrique¶
Intuition
L'équation \(x^2 = -1\) n'a pas de solution réelle. On en fabrique une, qu'on appelle \(i\), et on regarde ce qui se passe.
Ce qui se passe est spectaculaire : dans le nouvel ensemble obtenu, toute équation polynomiale a des solutions. On a réparé un manque local et l'on a obtenu une complétude globale.
Géométriquement, un complexe est un point du plan, et les opérations algébriques deviennent des transformations géométriques : additionner, c'est translater ; multiplier, c'est tourner et dilater. C'est cette double lecture — algébrique et géométrique — qui fait toute la puissance de l'outil.
1. Construction et forme algébrique¶
Définition
L'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes contient \(\mathbb{R}\) et un élément \(i\) vérifiant
Tout \(z\in\mathbb{C}\) s'écrit de manière unique
\(a = \operatorname{Re}(z)\) est la partie réelle, \(b = \operatorname{Im}(z)\) la partie imaginaire.
La partie imaginaire est un RÉEL
\(\operatorname{Im}(3+5i) = 5\), pas \(5i\). C'est une erreur de notation très fréquente et elle fausse tous les calculs qui suivent.
Égalité : \(a+ib = a'+ib' \iff a=a'\) et \(b=b'\). Une équation complexe équivaut donc à deux équations réelles — c'est le mécanisme d'identification utilisé partout.
\(\mathbb{C}\) n'est pas ordonné
Il n'existe aucune relation d'ordre sur \(\mathbb{C}\) compatible avec les opérations. Écrire \(z > 0\) ou \(z_1 < z_2\) pour des complexes non réels n'a aucun sens.
On peut comparer des modules (qui sont des réels), jamais des complexes.
2. Opérations¶
Le produit se retrouve en développant et en remplaçant \(i^2\) par \(-1\) — il est inutile de mémoriser la formule.
Puissances de \(i\) — cycle de période 4 :
Pour calculer \(i^n\), on regarde le reste de \(n\) modulo 4 — application directe du chapitre Algèbre 13.
3. Conjugué et module¶
Définitions
Le conjugué de \(z=a+ib\) est \(\bar z = a-ib\).
Le module de \(z\) est
Propriété clé :
C'est un réel positif — c'est ce qui permet de diviser.
Propriétés du conjugué.
Deux caractérisations utiles
Propriétés du module.
Le module n'est PAS additif
\(|z+z'| \neq |z|+|z'|\) en général. Exemple : \(|1+(-1)| = 0\) alors que \(|1|+|-1| = 2\).
L'égalité n'a lieu que si \(z\) et \(z'\) sont « alignés dans le même sens ».
4. Division¶
La méthode : multiplier par le conjugué du dénominateur
Le dénominateur devient réel, et il ne reste qu'à séparer partie réelle et partie imaginaire.
Exemple.
Inverse : \(\dfrac1z = \dfrac{\bar z}{|z|^2}\).
5. Interprétation géométrique¶
Le plan complexe
À \(z=a+ib\) on associe le point \(M(a\,;b)\) du plan, appelé image de \(z\) ; réciproquement \(z\) est l'affixe de \(M\).
| Objet complexe | Objet géométrique |
|---|---|
| \(\lvert z\rvert\) | Distance \(OM\) |
| \(\lvert z_B - z_A\rvert\) | Distance \(AB\) |
| \(\bar z\) | Symétrique par rapport à l'axe des abscisses |
| \(-z\) | Symétrique par rapport à l'origine |
| \(z + b\) | Translation de vecteur d'affixe \(b\) |
| \(kz\), \(k\) réel | Homothétie de rapport \(k\) |
| \(iz\) | Rotation de \(+\frac\pi2\) autour de \(O\) |
Ensembles remarquables :
- \(|z-z_0| = r\) : cercle de centre \(z_0\) et de rayon \(r\) ;
- \(|z-z_0| \leqslant r\) : disque fermé ;
- \(|z-z_A| = |z-z_B|\) : médiatrice de \([AB]\) ;
- \(\operatorname{Re}(z) = a\) : droite verticale.
Affixe du milieu de \([AB]\) : \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\).
Affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \(z_B-z_A\).
6. Équations du second degré¶
Théorème
L'équation \(az^2+bz+c=0\) avec \(a,b,c\) réels, \(a\neq0\), et \(\Delta = b^2-4ac < 0\), admet deux racines complexes conjuguées :
Attention : c'est \(\sqrt{-\Delta}\), qui est bien un réel positif puisque \(\Delta<0\).
Exemple. \(z^2-2z+5=0\) : \(\Delta = 4-20 = -16\), \(\sqrt{16}=4\).
Vérification : \((1+2i)^2 - 2(1+2i)+5 = (1+4i-4)-2-4i+5 = 0\) ✓
Théorème de d'Alembert-Gauss (admis)
Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).
Conséquence : tout polynôme de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité. On dit que \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos — c'est la propriété qui justifie sa construction.
Le lien avec les matrices
C'est ce théorème qui garantit qu'une matrice d'ordre \(n\) possède toujours \(n\) valeurs propres dans \(\mathbb{C}\), comptées avec multiplicité — voir Algèbre 09. Sur \(\mathbb{R}\), il pouvait n'y en avoir aucune.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Calcul algébrique
Soit \(z_1 = 2-3i\) et \(z_2 = -1+4i\). Calculer \(z_1z_2\), \(\frac{z_1}{z_2}\) et \(|z_1|\).
Produit :
Quotient — on multiplie par \(\overline{z_2} = -1-4i\) :
Module : \(|z_1| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\).
Vérification par les modules : \(|z_1z_2| = |z_1||z_2|\). À gauche \(\sqrt{100+121}=\sqrt{221}\) ; à droite \(\sqrt{13}\times\sqrt{17} = \sqrt{221}\) ✓
Exemple 2 — Identification
Déterminer \(z\) tel que \(z + 2\bar z = 3-i\).
Posons \(z = a+ib\), donc \(\bar z = a-ib\) :
Par identification des parties réelle et imaginaire :
Vérification : \((1+i)+2(1-i) = 3-i\) ✓
Exemple 3 — Puissance de \(i\)
Calculer \(i^{2026}\).
\(2026 = 4\times506 + 2\), donc \(2026\equiv2\pmod4\) :
Exemple 4 — Ensemble de points
Déterminer l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z-1+2i| = 3\).
On réécrit sous la forme \(|z-z_0|\) :
C'est le cercle de centre \(\Omega(1\,;-2)\) et de rayon 3.
Le signe
\(|z-1+2i|\) se lit \(|z-(1-2i)|\). Le centre est \(1-2i\), pas \(1+2i\). C'est l'erreur classique.
Exemple 5 — Racine carrée d'un complexe
Trouver les \(z\) tels que \(z^2 = 3+4i\).
Posons \(z=a+ib\) : \(z^2 = a^2-b^2+2iab\). Le système est
On ajoute une troisième équation, celle des modules : \(|z|^2 = |3+4i| = 5\), donc \(a^2+b^2 = 5\).
En combinant avec \(a^2-b^2=3\) :
L'équation \(2ab=4>0\) impose \(a\) et \(b\) de même signe :
Vérification : \((2+i)^2 = 4+4i-1 = 3+4i\) ✓
Le truc du module
La troisième équation \(a^2+b^2 = |z^2|\) est redondante mais indispensable en pratique : elle transforme un système non linéaire difficile en un système linéaire en \(a^2\) et \(b^2\).
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| \(\operatorname{Im}(3+5i)=5i\) | C'est \(5\) |
| Comparer deux complexes | \(\mathbb{C}\) n'est pas ordonné |
| \(\lvert z+z'\rvert = \lvert z\rvert+\lvert z'\rvert\) | Inégalité seulement |
| \(\sqrt{-4}=2i\) écrit sans précaution | La notation \(\sqrt{\ }\) n'est pas définie sur \(\mathbb{C}\) |
| \(\lvert z-1+2i\rvert\) : centre \(1+2i\) | Le centre est \(1-2i\) |
| Oublier \(i^2=-1\) dans un développement | Vérifier chaque terme |
Exercices¶
★ Exercice 1. Mettre sous forme algébrique.
a) \((2+3i)+(1-5i)\) b) \((1+i)(2-i)\) c) \((3-2i)^2\) d) \(i^{15}\)
★ Exercice 2. Calculer.
a) \(\dfrac{1}{i}\) b) \(\dfrac{2+i}{1-i}\) c) \(\dfrac{1}{3-4i}\)
★ Exercice 3. Déterminer module et conjugué.
a) \(z=3+4i\) b) \(z=-2i\) c) \(z=1-i\) d) \(z=(1+i)^2\)
★★ Exercice 4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\).
a) \(z^2+z+1=0\) b) \(z^2-4z+13=0\) c) \(2z^2+2z+5=0\)
★★ Exercice 5. Déterminer \(z\) tel que :
a) \(2z-\bar z = 3+6i\) b) \(z\bar z = 4\) et \(z+\bar z = 2\) c) \(\bar z = z^2\) (chercher toutes les solutions)
★★ Exercice 6. Déterminer l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que :
a) \(|z-2i|=3\) b) \(|z-1| = |z+3|\) c) \(\operatorname{Re}(z^2)=0\)
★★★ Exercice 7. Soit \(z=\dfrac{1+i}{1-i}\).
a) Mettre \(z\) sous forme algébrique. b) Calculer \(z^{2026}\). c) Interpréter géométriquement la multiplication par \(z\).
★★★ Exercice 8. Déterminer les racines carrées complexes de :
a) \(-5+12i\) b) \(-i\) c) \(2i\)
★★★ Exercice 9. Soit \(P(z)=z^3-3z^2+4z-2\).
a) Vérifier que \(1\) est racine. b) Factoriser \(P\) et déterminer toutes ses racines dans \(\mathbb{C}\). c) Vérifier que la somme des racines vaut 3 et leur produit 2.
★★★★ Exercice 10. Soient \(z_1, z_2\) deux complexes.
a) Démontrer l'identité du parallélogramme :
b) Interpréter géométriquement. c) Démontrer l'inégalité triangulaire \(|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|\). Indication : élevez au carré et utilisez \(|z|^2 = z\bar z\) puis \(\operatorname{Re}(w)\leqslant|w|\). d) Caractériser le cas d'égalité.
★★★★ Exercice 11 — lien informatique. Un nombre complexe se représente en machine par deux flottants.
a) Écrire une classe minimale Complexe en Python pur, avec addition,
multiplication, module et conjugué.
b) Calculer \((1+i)^{100}\) par exponentiation rapide, et comparer au résultat
théorique \(2^{50}\,i^{100}\cdot\) ... — déterminer d'abord ce résultat à la main.
c) L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des \(c\in\mathbb{C}\) tels que la
suite \(z_0=0\), \(z_{n+1}=z_n^2+c\) reste bornée. Justifier que si \(|z_n|>2\) pour
un \(n\), la suite diverge.
d) Implémenter le test d'appartenance et vérifier sur \(c=0\), \(c=-1\), \(c=1\),
\(c=i\).
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(3-2i\).
b) \((1+i)(2-i) = 2-i+2i-i^2 = 2+i+1 = 3+i\).
c) \((3-2i)^2 = 9-12i+4i^2 = 9-12i-4 = 5-12i\).
d) \(15 = 4\times3+3\), donc \(i^{15}=i^3 = -i\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(\dfrac1i = \dfrac{\bar i}{|i|^2} = \dfrac{-i}{1} = -i\).
b) \(\dfrac{(2+i)(1+i)}{2} = \dfrac{2+2i+i-1}{2} = \dfrac{1+3i}{2} = \dfrac12+\dfrac32 i\).
c) \(\dfrac{3+4i}{9+16} = \dfrac{3+4i}{25} = \dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}i\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(|z|=\sqrt{9+16}=5\), \(\bar z = 3-4i\).
b) \(|z|=2\), \(\bar z = 2i\).
c) \(|z|=\sqrt2\), \(\bar z = 1+i\).
d) \((1+i)^2 = 2i\), donc \(|z|=2\) et \(\bar z = -2i\).
Corrigé — Exercice 4
a) \(\Delta = 1-4 = -3\), \(\sqrt3\).
Ce sont \(j\) et \(\bar j\), les racines cubiques de l'unité autres que 1.
b) \(\Delta = 16-52 = -36\), \(\sqrt{36}=6\).
Vérification : \((2+3i)^2-4(2+3i)+13 = (4+12i-9)-8-12i+13 = 0\) ✓
c) \(\Delta = 4-40 = -36\).
Corrigé — Exercice 5
a) \(z=a+ib\) : \(2(a+ib)-(a-ib) = a+3ib = 3+6i\). Donc \(a=3\) et \(3b=6\), soit \(b=2\).
b) \(z\bar z = |z|^2 = a^2+b^2 = 4\) et \(z+\bar z = 2a = 2\), donc \(a=1\), puis \(b^2 = 3\), soit \(b=\pm\sqrt3\).
c) Prenons les modules : \(|\bar z| = |z|\) et \(|z^2|=|z|^2\), donc \(|z| = |z|^2\), soit \(|z|(|z|-1)=0\).
- \(|z|=0\) : \(z=0\), qui vérifie bien \(\bar 0 = 0^2\) ✓
- \(|z|=1\) : multiplions \(\bar z = z^2\) par \(z\) : \(z\bar z = z^3\), soit \(|z|^2 = z^3\), soit \(z^3=1\).
Les racines cubiques de l'unité sont \(1\), \(j = \frac{-1+i\sqrt3}{2}\) et \(\bar j\).
Vérification pour \(j\) : \(\bar j = j^2\) car \(j^3=1\) donne \(j^2 = \frac1j = \frac{\bar j}{|j|^2} = \bar j\) ✓
Corrigé — Exercice 6
a) \(|z-2i|=3\) : cercle de centre \((0\,;2)\) et de rayon 3.
b) \(|z-1|=|z-(-3)|\) : ensemble des points équidistants de \(A(1;0)\) et \(B(-3;0)\), c'est-à-dire la médiatrice de \([AB]\) : la droite verticale d'équation \(x=-1\).
c) Avec \(z=x+iy\) : \(z^2 = x^2-y^2+2ixy\), donc \(\operatorname{Re}(z^2) = x^2-y^2\).
Ce sont les deux bissectrices des axes.
Corrigé — Exercice 7
a)
b) \(2026\equiv2\pmod4\), donc
c) Multiplier par \(i\) est la rotation d'angle \(+\frac\pi2\) autour de l'origine.
Vérification : \(i\times1 = i\) (le point \((1;0)\) va en \((0;1)\)) ✓ et \(i\times i = -1\) (le point \((0;1)\) va en \((-1;0)\)) ✓
Info
C'est exactement la matrice \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) rencontrée en Algèbre 09, dont les valeurs propres sont \(\pm i\). Le nombre \(i\) est la rotation d'un quart de tour.
Corrigé — Exercice 8
a) \(z=a+ib\) avec \(z^2 = -5+12i\). Les trois équations :
(Car \(\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).)
D'où \(2a^2 = 8\), soit \(a=\pm2\) ; et \(2b^2 = 18\), soit \(b=\pm3\). Comme \(ab = 6 > 0\), mêmes signes :
Vérification : \((2+3i)^2 = 4+12i-9 = -5+12i\) ✓
b) \(z^2=-i\) : \(a^2-b^2=0\), \(2ab=-1\), \(a^2+b^2=1\). D'où \(a^2=b^2=\frac12\), soit \(a=\pm\frac{1}{\sqrt2}\) et \(b=\mp\frac{1}{\sqrt2}\) (signes opposés car \(ab<0\)).
c) \(z^2=2i\) : \(a^2-b^2=0\), \(2ab=2\), \(a^2+b^2=2\). D'où \(a^2=b^2=1\), mêmes signes :
Vérification : \((1+i)^2 = 2i\) ✓
Corrigé — Exercice 9
a) \(P(1) = 1-3+4-2 = 0\) ✓
b) On factorise par \((z-1)\). En posant \(P(z) = (z-1)(z^2+\alpha z+\beta)\) et en développant :
Identification : \(-\beta = -2\) donne \(\beta=2\) ; \(\alpha-1=-3\) donne \(\alpha=-2\) ; contrôle sur \(z\) : \(\beta-\alpha = 2+2 = 4\) ✓
Le trinôme : \(\Delta = 4-8 = -4\), racines \(\frac{2\pm2i}{2} = 1\pm i\).
c) Somme : \(1+(1+i)+(1-i) = 3\) ✓ (et \(-\frac{b}{a} = 3\)).
Produit : \(1\times(1+i)(1-i) = 1\times(1+1) = 2\) ✓ (et \((-1)^3\frac{d}{a} = 2\).)
Corrigé — Exercice 10
a) Utilisons \(|w|^2 = w\bar w\).
En additionnant, les termes croisés s'annulent :
\(\blacksquare\)
b) Dans un parallélogramme de côtés \(|z_1|\) et \(|z_2|\), les diagonales ont pour longueurs \(|z_1+z_2|\) et \(|z_1-z_2|\). L'identité dit que la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.
c) Reprenons le premier calcul de a). Comme \(\bar z_1 z_2 = \overline{z_1\bar z_2}\), la somme \(z_1\bar z_2 + \bar z_1z_2 = 2\operatorname{Re}(z_1\bar z_2)\).
Or pour tout complexe \(w\), \(\operatorname{Re}(w)\leqslant|w|\). Donc
D'où
Les deux membres étant positifs, on prend la racine :
d) L'égalité exige \(\operatorname{Re}(z_1\bar z_2) = |z_1\bar z_2|\), c'est-à-dire que \(z_1\bar z_2\) soit un réel positif.
Géométriquement : \(z_1\) et \(z_2\) ont le même argument — ils pointent dans la même direction. Le cas \(z_2 = 0\) ou \(z_1=0\) est trivialement inclus.
En résumé : égalité ssi l'un des deux est un multiple réel positif de l'autre.
Corrigé — Exercice 11
a) et b) Implémentation.
import math
class Complexe:
def __init__(self, re, im=0.0):
self.re, self.im = float(re), float(im)
def __add__(self, o):
return Complexe(self.re + o.re, self.im + o.im)
def __mul__(self, o):
return Complexe(self.re * o.re - self.im * o.im,
self.re * o.im + self.im * o.re)
def conj(self):
return Complexe(self.re, -self.im)
def module(self):
return math.hypot(self.re, self.im)
def __repr__(self):
signe = "+" if self.im >= 0 else "-"
return f"{self.re:g}{signe}{abs(self.im):g}i"
def puissance(z, n):
"""z**n par exponentiation rapide (cf. Algebre 01, exercice 8)."""
r = Complexe(1)
while n > 0:
if n & 1:
r = r * z
z = z * z
n >>= 1
return r
Résultat théorique de \((1+i)^{100}\).
\((1+i)^2 = 2i\), donc
Or \(50 \equiv 2\pmod4\), donc \(i^{50} = -1\) :
z = puissance(Complexe(1, 1), 100)
assert abs(z.re + 2.0**50) < 1e-3 * 2.0**50
assert abs(z.im) < 1e-3 * 2.0**50
print(z) # -1.1259e+15 + 0i (aux arrondis pres)
c) Critère de divergence de Mandelbrot.
Supposons \(|z_n| > 2\) et \(|c| \leqslant 2\) (au-delà, \(c\) n'est de toute façon pas dans l'ensemble). Alors
(inégalité triangulaire renversée).
Posons \(|z_n| = 2+\varepsilon\) avec \(\varepsilon>0\) :
Plus précisément, l'écart au seuil est au moins multiplié par 4 à chaque itération : la suite \(|z_n|\) croît vers \(+\infty\). \(\blacksquare\)
C'est le critère d'arrêt utilisé par tous les traceurs de Mandelbrot : dès que \(|z_n|>2\), on peut s'arrêter, le point est dehors.
d) Test d'appartenance.
def dans_mandelbrot(c, n_max=200):
z = Complexe(0)
for _ in range(n_max):
z = z * z + c
if z.module() > 2.0:
return False
return True
assert dans_mandelbrot(Complexe(0, 0)) # z_n = 0 : borne
assert dans_mandelbrot(Complexe(-1, 0)) # cycle 0, -1, 0, -1...
assert not dans_mandelbrot(Complexe(1, 0)) # 0,1,2,5,26... diverge
assert dans_mandelbrot(Complexe(0, 1)) # cycle de periode 2
print("OK")
Détail des cas.
- \(c=0\) : \(z_n = 0\) pour tout \(n\). Dedans.
- \(c=-1\) : \(0, -1, 0, -1,\dots\) cycle de période 2. Dedans.
- \(c=1\) : \(0, 1, 2, 5, 26, 677,\dots\) Dehors.
- \(c=i\) : \(0, i, i-1, -i, i-1, -i,\dots\) cycle de période 2 à partir du rang 2. Dedans.
Chapitre suivant : Nombres complexes : forme exponentielle.