02 · Calcul littéral¶
Intuition
Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres au lieu de nombres. La raison n'est pas l'abstraction pour elle-même : c'est qu'une lettre représente tous les nombres à la fois. Vérifier qu'une identité marche pour \(x = 1\), \(x = 2\) et \(x = 3\) ne prouve rien ; la démontrer avec la lettre \(x\) la prouve pour l'infinité des valeurs possibles, d'un seul coup.
C'est aussi, très concrètement, la compétence la plus rentable du cours : dans une copie de première année, on perd plus de points sur un signe moins mal distribué que sur tout le reste réuni.
1. Vocabulaire¶
Dans l'expression \(3x^2 - 5xy + 7\) :
- \(3x^2\), \(-5xy\) et \(7\) sont les termes — ils sont séparés par des \(+\) et des \(-\) ;
- dans le terme \(-5xy\), les facteurs sont \(-5\), \(x\) et \(y\) — ils sont multipliés ;
- \(3\), \(-5\) et \(7\) sont les coefficients ;
- \(7\) est le terme constant ;
- le degré d'un terme est la somme des exposants de ses lettres : \(3x^2\) est de degré 2, \(-5xy\) aussi, \(7\) est de degré 0.
La distinction qui gouverne tout
On développe des produits, on simplifie des facteurs.
Un \(+\) sépare des termes : on ne peut rien barrer à travers lui. Un \(\times\) sépare des facteurs : on peut simplifier. Presque toutes les erreurs de calcul littéral viennent de la confusion entre les deux.
2. Développer¶
2.1 Simple distributivité¶
Ce que dit la formule : le facteur \(k\) se distribue sur chacun des termes de la parenthèse. Chaque terme, sans exception.
Le signe moins devant une parenthèse
C'est la première cause d'erreur du calcul littéral, tous niveaux confondus.
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur, pas seulement du premier.
Écrire \(5 - 2x - 3 = 2 - 2x\) est l'erreur classique. Vérifiez toujours en prenant \(x = 0\) : à gauche \(5 - (-3) = 8\), à droite \(8\). C'est cohérent.
2.2 Double distributivité¶
Quatre produits, un pour chaque paire. Une méthode fiable pour ne rien oublier : faire les flèches, ou compter — si vous n'avez pas quatre termes avant réduction, vous en avez oublié un.
3. Les identités remarquables¶
Ce sont trois développements qui reviennent en permanence. Il faut les connaître dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
Pourquoi le double produit ? Parce que \((a+b)^2 = (a+b)(a+b)\), et la double distributivité donne \(a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b\) : les deux termes croisés sont égaux et s'additionnent.
Vérification géométrique. Un carré de côté \(a+b\) se découpe en un carré \(a^2\), un carré \(b^2\) et deux rectangles \(ab\). C'est la démonstration visuelle du double produit, et elle explique pourquoi \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\) : il manque littéralement deux rectangles.
Erreur fréquente
\((a+b)^2 = a^2 + b^2\) est faux. Contre-exemple à réflexe : \((3+4)^2 = 49\), alors que \(3^2 + 4^2 = 25\).
De même \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\). Le bon développement est
Les coefficients \(1, 3, 3, 1\) sont ceux du triangle de Pascal — on les retrouvera en combinatoire.
3.1 Identités utiles au-delà du programme du lycée¶
Et la généralisation, qui resservira pour les suites géométriques et en arithmétique :
Conséquence à retenir
\(a - b\) divise toujours \(a^n - b^n\). C'est un résultat qu'on utilisera en arithmétique, et qui explique par exemple pourquoi \(2^n - 1\) ne peut être premier que si \(n\) est premier.
4. Factoriser¶
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse du développement, et c'est la plus utile des deux : un produit nul donne immédiatement les solutions d'une équation, une somme nulle ne donne rien.
4.1 Facteur commun¶
On cherche ce qui apparaît dans tous les termes.
Le facteur commun caché
Le facteur commun n'est pas toujours un monôme. Ici c'est la parenthèse \((x+1)\) tout entière. Repérer un facteur commun composé est la technique la plus rentable de la factorisation.
Parfois il faut d'abord faire apparaître le facteur :
4.2 Identité remarquable lue à l'envers¶
Méthode pour reconnaître un carré parfait : les termes extrêmes doivent être des carrés, et le terme du milieu doit valoir exactement le double du produit de leurs racines. Ici \(\sqrt{9x^2} = 3x\), \(\sqrt{16} = 4\), et \(2 \times 3x \times 4 = 24x\) : c'est bien un carré.
4.3 La différence de carrés déguisée¶
On applique \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = 2x+1\) et \(b = x-3\). Attention aux parenthèses lors de la soustraction : \((2x+1)-(x-3) = 2x+1-x+3 = x+4\).
5. Manipuler des fractions littérales¶
5.1 Réduire au même dénominateur¶
Valeurs interdites : \(x \neq 0\) et \(x \neq -1\). Elles doivent être mentionnées avant tout calcul, pas après.
5.2 Simplifier¶
On ne simplifie qu'après avoir factorisé numérateur et dénominateur.
Ne jamais simplifier avant de factoriser
Dans \(\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}\), on ne peut pas « barrer les \(x^2\) ». Ce sont des termes, pas des facteurs. Il faut d'abord factoriser les deux étages, et seulement ensuite simplifier le facteur commun \((x+3)\).
Exemples traités¶
Exemple 1 — Développer et réduire
Développer \(A = (3x-2)^2 - (x+4)(x-4)\).
Premier terme, identité remarquable : \((3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\).
Deuxième terme, différence de carrés : \((x+4)(x-4) = x^2 - 16\).
Attention au signe moins devant :
Vérification numérique — prenez \(x = 1\) : à gauche \((3-2)^2 - (5)(-3) = 1 + 15 = 16\) ; à droite \(8 - 12 + 20 = 16\). ✓
Exemple 2 — Factoriser en deux temps
Factoriser \(B = 4x^2 - 1 + (2x-1)(x+3)\).
Le premier morceau est une différence de carrés : \(4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)\).
Donc
Le réflexe : quand une expression mélange un bloc factorisable et un produit, factorisez le bloc en premier — le facteur commun apparaît presque toujours.
Exemple 3 — Fraction littérale complète
Simplifier \(C = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\) et donner les valeurs interdites.
Valeurs interdites : \(x^2 - 4 = 0 \iff x = 2\) ou \(x = -2\).
Dénominateur : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\).
Numérateur : on cherche deux nombres de somme \(5\) et de produit \(6\) — ce sont \(2\) et \(3\). Donc \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
La valeur interdite ne disparaît pas
Après simplification, l'expression \(\frac{x-3}{x+2}\) est parfaitement définie en \(x = 2\) (elle y vaut \(-\frac14\)). Mais \(C\), elle, ne l'est pas : la contrainte \(x \neq 2\) vient de l'expression initiale et doit être conservée. C'est une erreur très fréquente et elle a des conséquences réelles en analyse, où elle produit des « trous » dans le domaine de définition.
Exemple 4 — Une identité à démontrer
Montrer que pour tous réels \(a\) et \(b\) :
Méthode 1, par développement.
Méthode 2, par différence de carrés — plus rapide. Avec \(A = a+b\) et \(B = a-b\) :
Les deux méthodes sont justes ; la seconde montre qu'on gagne souvent à reconnaître une structure plutôt qu'à développer bêtement.
Erreurs fréquentes — récapitulatif¶
| Erreur | Correction | Test rapide |
|---|---|---|
| \(-(a-b) = -a-b\) | \(= -a+b\) | \(a=0,b=1\) : \(-(-1)=1\) |
| \((a+b)^2 = a^2+b^2\) | \(= a^2+2ab+b^2\) | \(a=b=1\) : \(4 \neq 2\) |
| \(\dfrac{x^2-9}{x^2} = \dfrac{-9}{1}\) | Pas de simplification à travers \(-\) | \(x=3\) : \(0 \neq -9\) |
| \(\sqrt{a^2+b^2} = a+b\) | Aucune règle | \(a=b=1\) : \(\sqrt2 \neq 2\) |
| Oublier les valeurs interdites | Les poser avant le calcul | — |
Le test à trois secondes
Après toute manipulation littérale, remplacez les lettres par des petits nombres (\(0\), \(1\), \(2\), ou \(-1\)) et vérifiez que les deux membres coïncident. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur — et vous venez de la trouver en trois secondes au lieu de perdre l'exercice entier. Évitez \(x=0\) et \(x=1\) seuls : ils masquent trop d'erreurs (par exemple \(x^2\) et \(x\) y coïncident).
Exercices¶
★ Exercice 1. Développer et réduire.
a) \(3(2x-5) - 4(x+1)\) b) \((x+3)(2x-7)\) c) \((4x-1)^2\) d) \((3-2x)(3+2x)\)
★ Exercice 2. Factoriser.
a) \(12x^2 - 18x\) b) \(x^2 - 49\) c) \(x^2 + 10x + 25\) d) \(16x^2 - 8x + 1\)
★ Exercice 3. Factoriser en repérant le facteur commun.
a) \((x-1)(x+2) + (x-1)(3x-5)\) b) \((2x+3)^2 - (2x+3)(x-1)\) c) \(x(x-4) - 5(x-4)\)
★★ Exercice 4. Factoriser (identité remarquable déguisée).
a) \((x+2)^2 - 9\) b) \((3x-1)^2 - (x+5)^2\) c) \(4x^2 - 12x + 9 - y^2\)
★★ Exercice 5. Simplifier en précisant les valeurs interdites.
a) \(\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}\) b) \(\dfrac{2x^2+6x}{x^2-9}\) c) \(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}\)
★★ Exercice 6. Soit \(n\) un entier. Développer \((n+1)^2 - n^2\) et en déduire une méthode pour calculer de tête \(51^2\) connaissant \(50^2 = 2500\).
★★★ Exercice 7. Montrer que pour tous réels \(a, b, c\) :
En déduire que \(a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca\) pour tous réels, avec égalité si et seulement si \(a = b = c\).
★★★ Exercice 8. Soit \(x\) un réel non nul. On pose \(s = x + \dfrac1x\).
a) Exprimer \(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) en fonction de \(s\). b) Exprimer \(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\) en fonction de \(s\). c) En déduire que si \(s\) est un entier, alors \(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\) en est un aussi.
★★★ Exercice 9 — lien informatique. En informatique, on cherche souvent à éviter les débordements en réécrivant une expression.
a) Développer \((a+b)^2 - (a-b)^2\) et en déduire une façon de calculer \(4ab\) sans jamais former le produit \(ab\). b) Montrer que \(\dfrac{a+b}{2}\) peut déborder alors que \(a + \dfrac{b-a}{2}\) ne déborde pas, si \(a \leqslant b\) sont deux entiers positifs proches de la valeur maximale représentable. Vérifier que les deux expressions sont bien égales.
★★★★ Exercice 10. Démontrer l'identité de Sophie Germain :
Indication : ajoutez et retranchez \(4a^2b^2\) pour faire apparaître un carré parfait, puis une différence de carrés.
En déduire que \(n^4 + 4\) n'est jamais premier pour \(n \geqslant 2\).
★★★★ Exercice 11. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x \neq 1\). Démontrer, en développant le membre de droite, que :
En déduire la valeur de \(1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{63}\), et faire le lien avec la valeur maximale d'un entier non signé 64 bits.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(3(2x-5) - 4(x+1) = 6x - 15 - 4x - 4 = 2x - 19\).
b) \((x+3)(2x-7) = 2x^2 - 7x + 6x - 21 = 2x^2 - x - 21\).
c) \((4x-1)^2 = 16x^2 - 8x + 1\).
d) \((3-2x)(3+2x) = 9 - 4x^2\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(12x^2 - 18x = 6x(2x - 3)\).
b) \(x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\).
c) \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\) — vérification : \(2 \times x \times 5 = 10x\). ✓
d) \(16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = (4x-1)^2\).
Corrigé — Exercice 3
a) Facteur commun \((x-1)\) :
b) Facteur commun \((2x+3)\) :
Attention au signe : \((2x+3)-(x-1) = 2x+3-x+1 = x+4\).
c) Facteur commun \((x-4)\) :
Corrigé — Exercice 4
a) \((x+2)^2 - 3^2 = \big[(x+2)-3\big]\big[(x+2)+3\big] = (x-1)(x+5)\).
b) Avec \(a = 3x-1\) et \(b = x+5\) :
On peut aller plus loin : \(= 2(x-3) \times 4(x+1) = 8(x-3)(x+1)\).
c) Les trois premiers termes forment un carré : \(4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2\). Donc
Corrigé — Exercice 5
a) Valeurs interdites : \(x^2-4x+4 = (x-2)^2 = 0 \iff x = 2\).
b) Valeurs interdites : \(x = 3\) et \(x = -3\).
Warning
La contrainte \(x \neq -3\) subsiste bien qu'elle ait disparu de l'expression simplifiée.
c) Valeurs interdites : \(x = 1\) et \(x = -1\).
Corrigé — Exercice 6
\((n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1\).
Donc \((n+1)^2 = n^2 + 2n + 1\).
Application : \(51^2 = 50^2 + 2 \times 50 + 1 = 2500 + 100 + 1 = 2601\).
Généralisation utile. L'écart entre deux carrés consécutifs est la suite des impairs : \(1, 3, 5, 7, \dots\) D'où le fait que la somme des \(n\) premiers impairs vaut \(n^2\) — un résultat qu'on redémontrera par récurrence en Algèbre 01.
Corrigé — Exercice 7
Développement du membre de droite.
En divisant par 2, on obtient exactement le membre de gauche. \(\blacksquare\)
Conséquence. Le membre de droite est une somme de carrés multipliée par \(\frac12\), donc positive ou nulle. Donc
Cas d'égalité. Une somme de carrés est nulle si et seulement si chaque carré est nul. Donc l'égalité a lieu si et seulement si \(a - b = 0\), \(b - c = 0\) et \(c - a = 0\), c'est-à-dire \(a = b = c\). \(\blacksquare\)
La technique à retenir
Pour prouver une inégalité, réécrire la différence comme une somme de carrés. C'est la méthode la plus universelle qui existe en analyse élémentaire, et on la retrouvera pour montrer qu'une matrice de covariance est positive.
Corrigé — Exercice 8
a) \(s^2 = \left(x+\frac1x\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\), donc
b) On applique le même procédé à \(u = x^2 + \frac{1}{x^2}\) :
c) Si \(s \in \mathbb{Z}\), alors \(s^4 - 4s^2 + 2\) est une combinaison d'entiers par des opérations entières, donc un entier. \(\blacksquare\)
Pourquoi c'est frappant
Prenez \(s = 3\) : alors \(x = \frac{3+\sqrt5}{2}\) est irrationnel, et pourtant \(x^4 + \frac{1}{x^4} = 81 - 36 + 2 = 47\) est entier. Une quantité irrationnelle et son inverse peuvent se combiner en un entier — c'est le principe des entiers algébriques, et le mécanisme derrière le fait que les nombres de Fibonacci soient entiers malgré la formule de Binet qui fait intervenir \(\sqrt5\).
Corrigé — Exercice 9
a) \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) (démontré dans l'exemple 4). Donc
Le produit \(ab\) s'obtient à partir de deux carrés. C'est le principe du quarter square multiplier, utilisé historiquement dans des tables de multiplication et dans certains circuits : si l'on dispose d'une table des \(\frac{n^2}{4}\), toute multiplication se ramène à deux lectures de table et une soustraction.
b) Soient \(a \leqslant b\) deux entiers proches de \(M\), la valeur maximale représentable. Alors \(a + b\) peut dépasser \(M\) — c'est le débordement — alors que le résultat \(\frac{a+b}{2}\), lui, tient largement.
L'écriture \(a + \dfrac{b-a}{2}\) ne calcule jamais de valeur supérieure à \(b\) : \(b - a \geqslant 0\) est petit, sa moitié aussi, et le résultat est compris entre \(a\) et \(b\).
Égalité :
Un vrai bug
Ce calcul de milieu est exactement le bug de débordement resté vingt ans dans l'implémentation de la recherche dichotomique de la bibliothèque standard de Java, corrigé en 2006. La formule mathématiquement équivalente n'est pas informatiquement équivalente : c'est précisément le genre de critique que demande le module de modélisation.
Corrigé — Exercice 10
Démonstration. On ajoute et retranche \(4a^2b^2\) :
Les trois premiers termes forment un carré parfait : \(a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2\). Donc
C'est une différence de carrés :
Application. Posons \(b = 1\) :
Pour que \(n^4+4\) soit premier, il faudrait que l'un des deux facteurs vaille 1. Or :
- \(n^2 + 2n + 2 = (n+1)^2 + 1 \geqslant 2\) pour tout \(n \geqslant 0\) ;
- \(n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1\), qui vaut 1 uniquement pour \(n = 1\).
Donc pour \(n \geqslant 2\), les deux facteurs sont \(\geqslant 2\) et \(n^4 + 4\) est composé. \(\blacksquare\)
Vérification : \(n=2\) donne \(20 = 2 \times 10\) ✓ ; \(n = 3\) donne \(85 = 5 \times 17\) ✓ ; \(n = 5\) donne \(629 = 17 \times 37\) ✓. Et \(n=1\) donne bien \(5\), qui est premier.
Corrigé — Exercice 11
Démonstration. Développons \((x-1)\left(1 + x + \dots + x^{n-1}\right)\) :
Les deux sommes ont en commun tous les termes de \(x^1\) à \(x^{n-1}\), qui se télescopent. Il ne reste que le dernier terme de la première (\(x^n\)) et le premier de la seconde (\(x^0 = 1\)) :
Comme \(x \neq 1\), on peut diviser par \(x-1\) :
Application avec \(x = 2\) et \(n = 64\) :
Lien informatique. \(2^{64}-1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615\) est exactement la valeur maximale d'un entier non signé 64 bits — et l'identité ci-dessus en donne la raison : un entier 64 bits dont tous les bits valent 1 représente la somme de toutes les puissances de 2 de \(2^0\) à \(2^{63}\).
C'est aussi la réponse au problème des grains de riz sur l'échiquier.
Chapitre suivant : Équations et inéquations.