03 · Dénombrement et équiprobabilité¶
Intuition
Dans un univers fini équiprobable, calculer une probabilité, c'est compter :
Toute la difficulté est donc combinatoire, pas probabiliste. Ce chapitre applique les outils du chapitre Algèbre 04 à des situations aléatoires, et installe la seule méthode qui marche : compter le numérateur et le dénominateur dans le même univers.
1. La règle d'or¶
Numérateur et dénominateur doivent vivre dans le même univers
Si \(\Omega\) est l'ensemble des tirages ordonnés, alors \(A\) doit être compté en tirages ordonnés. Si \(\Omega\) est non ordonné, \(A\) aussi.
Mélanger les deux est l'erreur fatale du chapitre : elle produit des résultats qui ont l'air plausibles et qui sont faux d'un facteur \(k!\).
Le bon réflexe
Les deux comptages sont souvent possibles, et donnent le même résultat. Quand vous hésitez, faites-les tous les deux : la coïncidence valide le raisonnement.
2. Les trois modèles de tirage¶
| Modèle | Ordre | Remise | \(\operatorname{Card}\Omega\) |
|---|---|---|---|
| Successif avec remise | oui | oui | \(n^k\) |
| Successif sans remise | oui | non | \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\) |
| Simultané | non | non | \(\binom nk\) |
Successif sans remise = simultané
Pour un événement qui ne dépend pas de l'ordre — « obtenir 2 rouges et 1 bleue » —, les deux modèles donnent la même probabilité. Le facteur \(k!\) apparaît au numérateur et au dénominateur et se simplifie.
Choisissez le modèle simultané : il y a moins à compter.
3. Le schéma d'urne¶
C'est le modèle qui couvre 80 % des exercices.
Tirage simultané dans une urne à deux catégories
Une urne contient \(R\) boules rouges et \(B\) bleues, soit \(N = R+B\). On en tire \(n\) simultanément. La probabilité d'obtenir exactement \(k\) rouges est
C'est la loi hypergéométrique, qu'on retrouvera au chapitre 07.
Lecture : on choisit \(k\) rouges parmi les \(R\) et \(n-k\) bleues parmi les \(B\) — principe multiplicatif — sur le total des tirages possibles.
Généralisation à plusieurs catégories : on multiplie un binomial par catégorie.
4. Méthode générale¶
Le protocole en cinq points
- Écrire \(\Omega\) et son cardinal.
- Vérifier l'équiprobabilité.
- Décrire \(A\) en français précis.
- Compter \(A\) dans le même modèle que \(\Omega\).
- Vérifier : le résultat est-il entre 0 et 1 ? Est-il plausible ?
Le contrôle de plausibilité n'est pas optionnel
Une probabilité de 1,4 ou de \(-0{,}2\) signale une erreur. Une probabilité de \(10^{-9}\) pour un événement courant aussi.
Vérifiez également que la somme des probabilités d'un système complet vaut 1 — c'est le contrôle le plus fiable.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Les deux modèles donnent le même résultat
Une urne contient 4 rouges et 6 bleues. On tire 3 boules. Probabilité d'obtenir exactement 2 rouges ?
Modèle simultané.
Modèle successif sans remise.
Pour \(A\) : il faut choisir les positions des 2 rouges parmi les 3 tirages (\(\binom32 = 3\) façons), puis placer 2 rouges parmi 4 dans l'ordre (\(A_4^2 = 12\)) et 1 bleue parmi 6 (\(6\)) :
Même résultat. Le modèle simultané demandait deux lignes, l'autre cinq.
Exemple 2 — Contrôle par la somme
Même urne, même tirage. Calculons toutes les valeurs.
| \(k\) rouges | Calcul | Probabilité |
|---|---|---|
| 0 | \(\binom40\binom63/120 = 20/120\) | \(1/6 \approx 0{,}1667\) |
| 1 | \(\binom41\binom62/120 = 60/120\) | \(1/2 = 0{,}5\) |
| 2 | \(\binom42\binom61/120 = 36/120\) | \(3/10 = 0{,}3\) |
| 3 | \(\binom43\binom60/120 = 4/120\) | \(1/30 \approx 0{,}0333\) |
Somme : \(\frac{20+60+36+4}{120} = \frac{120}{120} = 1\) ✓
C'est le contrôle décisif : il valide les quatre calculs d'un coup.
Exemple 3 — Tirage avec remise
On tire 4 fois avec remise dans une urne de 4 rouges et 6 bleues. Probabilité d'obtenir exactement 2 rouges ?
Ici l'ordre compte et il y a remise : \(\operatorname{Card}\Omega = 10^4\).
Pour \(A\) : choisir les 2 positions des rouges (\(\binom42 = 6\)), puis 4 possibilités pour chaque rouge et 6 pour chaque bleue :
Écriture directe : \(\binom42 (0{,}4)^2(0{,}6)^2\) — c'est la loi binomiale.
Avec ou sans remise : la différence
Avec remise, les tirages sont indépendants et la proportion reste constante → loi binomiale. Sans remise, chaque tirage modifie l'urne → loi hypergéométrique.
Quand \(N\) est grand devant \(n\), la différence devient négligeable : c'est pourquoi les sondages sur une population de millions de personnes se modélisent par une binomiale.
Exemple 4 — Rangements
On répartit 5 personnes dans 3 bureaux (les personnes sont distinctes, les bureaux aussi, sans contrainte de capacité).
Nombre de répartitions : chaque personne choisit son bureau indépendamment, \(3^5 = 243\).
Probabilité qu'aucun bureau ne soit vide ?
Complémentaire et crible. Soit \(V_i\) « le bureau \(i\) est vide ».
- \(\operatorname{Card}V_i = 2^5 = 32\) (les 5 personnes dans les 2 autres) ;
- \(\operatorname{Card}(V_i\cap V_j) = 1^5 = 1\) ;
- \(\operatorname{Card}(V_1\cap V_2\cap V_3) = 0\).
Les surjections
\(150\) est le nombre de surjections de \(\{1,\dots,5\}\) sur \(\{1,2,3\}\). Le lien avec le chapitre Algèbre 03 est direct : « aucun bureau vide » signifie exactement que l'application « personne → bureau » est surjective.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Mélanger ordonné et non ordonné | Même modèle des deux côtés |
| Oublier le \(\binom nk\) des positions (avec remise) | Les places comptent |
| Utiliser \(A_n^k\) pour un tirage simultané | \(\binom nk\) |
| Ne pas vérifier que \(\sum P = 1\) | Contrôle essentiel |
| Compter « au moins » directement | Complémentaire |
| Oublier de vérifier l'équiprobabilité | La formule n'est valable que là |
Exercices¶
★ Exercice 1. Une urne contient 3 rouges et 5 noires. On tire 2 boules simultanément.
a) Probabilité d'obtenir 2 rouges. b) Probabilité d'obtenir 1 de chaque. c) Vérifier que la somme des trois cas vaut 1.
★ Exercice 2. On lance 3 dés. Calculer la probabilité :
a) d'obtenir trois 6 b) d'obtenir trois faces identiques c) d'obtenir trois faces toutes différentes
★★ Exercice 3. Dans une classe de 30 élèves dont 18 filles, on tire au sort un groupe de 5.
a) Probabilité d'obtenir exactement 3 filles. b) Probabilité d'obtenir au moins une fille. c) Probabilité d'obtenir un groupe non mixte.
★★ Exercice 4. Un code PIN a 4 chiffres. Calculer la probabilité :
a) que tous les chiffres soient distincts b) que le code contienne au moins un 0 c) que le code soit un palindrome (se lit pareil dans les deux sens)
★★ Exercice 5. On distribue 5 cartes d'un jeu de 32. Calculer la probabilité :
a) d'avoir exactement 2 rois b) d'avoir au moins 1 roi c) d'avoir les 5 cartes de la même couleur
★★★ Exercice 6. Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire 3 boules simultanément.
a) Probabilité que le plus grand numéro tiré soit 5. b) Probabilité que le plus petit soit 2. c) Probabilité que les trois numéros soient consécutifs.
★★★ Exercice 7. On range 8 livres distincts sur une étagère.
a) Nombre de rangements possibles. b) Probabilité que deux livres donnés soient côte à côte. c) Probabilité que trois livres donnés soient tous les trois côte à côte.
★★★ Exercice 8. Un ascenseur part avec 6 personnes et dessert 10 étages. Chaque personne descend à un étage au hasard, indépendamment.
a) Probabilité que toutes descendent à des étages différents. b) Probabilité que toutes descendent au même étage. c) Probabilité qu'au moins deux descendent au même étage.
★★★★ Exercice 9. Le problème de Banach. Un mathématicien a deux boîtes d'allumettes, contenant chacune \(n\) allumettes, une dans chaque poche. À chaque usage il choisit une poche au hasard. Quand il trouve une boîte vide, quelle est la probabilité qu'il reste \(k\) allumettes dans l'autre ?
Indication : modéliser par une suite de choix gauche/droite, et compter les suites menant à la situation décrite.
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. Une table de hachage a \(m\) alvéoles et reçoit \(n\) clés distribuées uniformément.
a) Probabilité qu'une alvéole donnée soit vide. b) Espérance du nombre d'alvéoles vides. Indication : linéarité de l'espérance sur des indicatrices — ou raisonnez directement en sommant. c) Pour \(n=m\), montrer que la proportion d'alvéoles vides tend vers \(e^{-1}\). d) Vérifier numériquement pour \(m = 10^6\).
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
\(\operatorname{Card}\Omega = \binom82 = 28\).
a) \(\dfrac{\binom32}{28} = \dfrac{3}{28} \approx 0{,}107\).
b) \(\dfrac{\binom31\binom51}{28} = \dfrac{15}{28} \approx 0{,}536\).
c) 2 noires : \(\dfrac{\binom52}{28} = \dfrac{10}{28}\).
Corrigé — Exercice 2
\(\operatorname{Card}\Omega = 6^3 = 216\).
a) Une seule issue : \(\dfrac{1}{216}\).
b) 6 issues (une par valeur) : \(\dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{36}\).
c) Arrangements : \(A_6^3 = 120\).
Contrôle : le cas restant (exactement deux faces identiques) vaut \(216-6-120 = 90\), soit \(\frac{90}{216} = \frac{5}{12}\). Somme : \(\frac{1}{36}+\frac59+\frac{5}{12} = \frac{3+60+45}{108}\)… vérifions plutôt en 216ᵉ : \(6+120+90 = 216\) ✓
Corrigé — Exercice 3
18 filles, 12 garçons. \(\operatorname{Card}\Omega = \binom{30}{5} = 142\,506\).
a) \(\dfrac{\binom{18}{3}\binom{12}{2}}{\binom{30}{5}} = \dfrac{816\times66}{142\,506} = \dfrac{53\,856}{142\,506} \approx 0{,}378\).
b) Complémentaire — que des garçons : \(\binom{12}{5} = 792\).
c) Non mixte = que des filles ou que des garçons :
Corrigé — Exercice 4
\(\operatorname{Card}\Omega = 10^4 = 10\,000\).
a) \(\dfrac{A_{10}^4}{10^4} = \dfrac{5040}{10\,000} = 0{,}504\).
b) Complémentaire — aucun 0 : \(9^4 = 6561\).
c) Un palindrome à 4 chiffres est de la forme \(abba\) : 10 choix pour \(a\), 10 pour \(b\), soit 100.
Corrigé — Exercice 5
Jeu de 32 : 4 rois, 4 couleurs de 8 cartes. \(\operatorname{Card}\Omega = \binom{32}{5} = 201\,376\).
a) \(\dfrac{\binom42\binom{28}{3}}{\binom{32}{5}} = \dfrac{6\times3276}{201\,376} = \dfrac{19\,656}{201\,376} \approx 0{,}0976\).
b) Complémentaire : \(\binom{28}{5} = 98\,280\).
c) 4 couleurs, et \(\binom85 = 56\) mains par couleur :
Corrigé — Exercice 6
\(\operatorname{Card}\Omega = \binom53 = 10\).
a) Le 5 est tiré, plus 2 autres parmi \(\{1,2,3,4\}\) : \(\binom42 = 6\).
b) Le 2 est tiré, et aucun numéro inférieur — donc pas le 1. Les 2 autres sont pris dans \(\{3,4,5\}\) : \(\binom32 = 3\).
c) Triplets consécutifs : \(\{1,2,3\}\), \(\{2,3,4\}\), \(\{3,4,5\}\) — trois.
Corrigé — Exercice 7
a) \(8! = 40\,320\).
b) On considère les deux livres comme un bloc : il y a \(7!\) façons de ranger les 7 objets (6 livres + 1 bloc), et \(2!\) façons d'ordonner le bloc.
c) Bloc de 3 livres : \(6!\) rangements des 6 objets, \(3!\) ordres dans le bloc.
La technique du bloc
Pour « ces objets sont côte à côte », on les agglomère en un seul objet, on range, puis on multiplie par les permutations internes du bloc. C'est systématique.
Corrigé — Exercice 8
\(\operatorname{Card}\Omega = 10^6 = 1\,000\,000\).
a) \(\dfrac{A_{10}^6}{10^6} = \dfrac{151\,200}{1\,000\,000} = 0{,}1512\).
b) 10 issues (une par étage) : \(\dfrac{10}{10^6} = 10^{-5}\).
c) Complémentaire de a) :
Encore les anniversaires
C'est le paradoxe des anniversaires avec \(N=10\) et \(n=6\). La formule approchée du chapitre 02 donne \(1-e^{-36/20} = 1-e^{-1{,}8} \approx 0{,}835\) — proche de 0,849, l'approximation étant moins bonne pour \(n\) comparable à \(N\).
Corrigé — Exercice 9
Modélisation. Chaque usage est un choix G ou D, équiprobable et indépendant. Le mathématicien découvre qu'une boîte est vide lorsqu'il la choisit alors qu'elle contient déjà 0 allumette.
Supposons que ce soit la boîte gauche, et qu'il reste alors \(k\) allumettes à droite.
Avant ce moment, il a donc pris \(n\) allumettes à gauche et \(n-k\) à droite, soit \(2n-k\) tirages, suivis du tirage fatal (gauche).
Le nombre de suites correspondant à ces \(2n-k\) premiers tirages est \(\binom{2n-k}{n}\) (choix des positions des \(n\) tirages « gauche »), et chaque suite de \(2n-k+1\) tirages a probabilité \(\left(\frac12\right)^{2n-k+1}\).
En multipliant par 2 (la boîte vide peut être la droite) :
Vérification pour \(n=1\) : \(P(0) = \binom21\cdot\frac14 = \frac12\) et \(P(1) = \binom11\cdot\frac12 = \frac12\). Somme \(=1\) ✓
Intuitivement, avec une allumette par boîte : soit il prend les deux (puis découvre une boîte vide, l'autre étant vide aussi → \(k=0\)), soit il prend deux fois la même poche (→ \(k=1\)). Chacun avec probabilité \(\frac12\) ✓
Valeur typique. Pour \(n=50\), \(P(0)\approx0{,}0796\) et l'espérance de \(k\) vaut environ \(\sqrt{4n/\pi}-1 \approx 7\) : il reste typiquement 7 allumettes dans l'autre boîte.
Corrigé — Exercice 10
a) Chaque clé va dans l'alvéole considérée avec probabilité \(\frac1m\), donc l'évite avec probabilité \(1-\frac1m\). Les \(n\) clés étant indépendantes :
b) Notons \(X\) le nombre d'alvéoles vides et \(X_i\) l'indicatrice « l'alvéole \(i\) est vide ». Alors \(X = \sum_{i=1}^m X_i\) et, par linéarité de l'espérance (valable même si les \(X_i\) ne sont pas indépendantes) :
c) Pour \(n=m\) :
(Limite classique, encadrée à l'exercice 8 du chapitre Analyse 04.)
Environ 37 % des alvéoles restent vides quand on insère autant de clés que d'alvéoles — et donc, par le principe des tiroirs, environ 37 % des clés entrent en collision.
d) Vérification.
import math
m = 10**6
n = m
proportion = (1 - 1 / m) ** n
print(f"proportion vide = {proportion:.6f}")
print(f"1/e = {1/math.e:.6f}")
print(f"ecart relatif = {abs(proportion - 1/math.e) / (1/math.e):.2e}")
Sortie :
proportion vide = 0.367879
1/e = 0.367879
ecart relatif = 5.00e-07
La conséquence pratique
Une table de hachage à facteur de charge 1 laisse 37 % de ses alvéoles inutilisées et en surcharge d'autres. C'est pourquoi les implémentations réelles redimensionnent bien avant : Java redimensionne à 0,75, Python à environ 0,66.
Le calcul ci-dessus, en trois lignes, justifie ces constantes.
Chapitre suivant : Probabilité conditionnelle.