07 · Intégrale définie¶
Intuition
L'intégrale \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) mesure l'aire algébrique sous la courbe entre \(a\) et \(b\) : positive au-dessus de l'axe, négative en dessous.
C'est aussi une accumulation : si \(f\) est un débit, l'intégrale est le volume total écoulé ; si \(f\) est une densité de probabilité, l'intégrale est une probabilité.
Le miracle du chapitre — le théorème fondamental de l'analyse — est que cette aire se calcule avec une primitive, c'est-à-dire par une opération qui n'a rien à voir avec des aires. Newton et Leibniz l'ont découvert indépendamment vers 1670, et c'est le résultat le plus rentable de toutes les mathématiques appliquées.
1. Définition et théorème fondamental¶
Théorème fondamental de l'analyse
Soit \(f\) continue sur \([a;b]\) et \(F\) une primitive de \(f\). Alors
Le choix de la primitive est indifférent
Si l'on remplace \(F\) par \(F+C\), la différence \(F(b)-F(a)\) est inchangée : les constantes s'annulent.
Conséquence pratique : dans un calcul d'intégrale définie, on prend \(C=0\) sans se poser de question.
Notation. La variable \(x\) est muette :
Elle n'existe qu'à l'intérieur de l'intégrale, exactement comme l'indice d'une somme (Prérequis 05).
2. Propriétés¶
Les six propriétés
| Nom | Énoncé |
|---|---|
| Bornes égales | \(\displaystyle\int_a^a f = 0\) |
| Inversion | \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\) |
| Relation de Chasles | \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f+\int_c^b f\) |
| Linéarité | \(\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g) = \alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\) |
| Positivité | \(f\geqslant0\) sur \([a;b]\) et \(a\leqslant b\) \(\implies \int_a^b f\geqslant0\) |
| Croissance | \(f\leqslant g\) sur \([a;b]\) et \(a\leqslant b\) \(\implies \int_a^b f\leqslant\int_a^b g\) |
La positivité exige \(a \leqslant b\)
\(\int_1^0 x\,\mathrm{d}x = -\frac12 < 0\) bien que l'intégrande soit positive. L'ordre des bornes compte.
Inégalité de la valeur absolue
C'est l'analogue intégral de l'inégalité triangulaire. Utile pour majorer une intégrale qu'on ne sait pas calculer.
Encadrement grossier mais efficace
Si \(m\leqslant f\leqslant M\) sur \([a;b]\), alors
3. Valeur moyenne¶
Définition
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est
Interprétation : c'est la hauteur du rectangle de base \([a;b]\) ayant la même aire que celle sous la courbe.
Théorème de la moyenne
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), il existe \(c\in[a;b]\) tel que
Autrement dit, la valeur moyenne est effectivement atteinte. C'est l'analogue intégral du théorème des accroissements finis.
4. Aires¶
Aire entre une courbe et l'axe : \(\int_a^b|f(x)|\,\mathrm{d}x\).
Aire ≠ intégrale
\(\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x = 0\) : les aires au-dessus et en dessous se compensent. L'aire géométrique, elle, vaut \(\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x = 1\).
Pour calculer une aire, il faut découper selon le signe de \(f\).
Aire entre deux courbes, avec \(f\geqslant g\) sur \([a;b]\) :
5. Fonction définie par une intégrale¶
Théorème
Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(a\in I\), la fonction
est l'unique primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\). En particulier, \(F' = f\).
Cette écriture donne un sens à « la primitive de \(e^{-t^2}\) » : elle existe comme fonction, même si aucune formule élémentaire ne l'exprime.
Version avec bornes variables — par Chasles et dérivation composée :
6. Calcul numérique¶
Quand la primitive n'est pas accessible, on approche l'intégrale.
Les trois méthodes classiques
Avec \(h = \frac{b-a}{n}\) et \(x_i = a+ih\) :
| Méthode | Formule | Erreur |
|---|---|---|
| Rectangles (gauche) | \(h\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\) | \(O(h)\) |
| Trapèzes | \(h\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right)\) | \(O(h^2)\) |
| Simpson | \(\frac h3\left(f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\right)\), \(n\) pair | \(O(h^4)\) |
Idée géométrique : les rectangles approchent \(f\) par une constante sur chaque sous-intervalle, les trapèzes par une droite, Simpson par une parabole.
Simpson est exacte pour les polynômes de degré ≤ 3
C'est ce qui explique son erreur en \(h^4\) : la première erreur vient du terme de degré 4 du développement de Taylor.
Exemples traités¶
Exemple 1 — Calcul direct
Vérification géométrique : c'est l'aire d'un trapèze de bases \(f(1)=3\) et \(f(3)=7\), de hauteur 2 : \(\frac{3+7}{2}\times2 = 10\) ✓
Exemple 2 — Avec une forme composée
Exemple 3 — Aire, avec découpage
Calculer l'aire entre \(\mathcal{C}_f\) et l'axe des abscisses pour \(f(x)=x^2-4\) sur \([0;3]\).
\(f\) s'annule en \(x=2\), est négative sur \([0;2]\) et positive sur \([2;3]\).
À comparer avec \(\int_0^3 f = -\frac{16}{3}+\frac73 = -3\), qui n'est pas l'aire.
Exemple 4 — Aire entre deux courbes
Aire entre \(y=x\) et \(y=x^2\) sur \([0;1]\).
Sur \([0;1]\), \(x \geqslant x^2\) (voir l'exercice 8 du chapitre 01).
Exemple 5 — Fonction définie par une intégrale
Soit \(F(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\). Calculer \(F'\).
Avec \(v(x)=x^2\), \(v'(x)=2x\), \(u(x)=0\) :
On a dérivé sans jamais connaître de primitive de \(e^{-t^2}\) — ce qui est heureux, puisqu'il n'en existe pas d'élémentaire.
Erreurs fréquentes¶
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Confondre intégrale et aire | L'aire est \(\int\lvert f\rvert\) |
| Oublier d'inverser le signe quand \(a>b\) | \(\int_b^a = -\int_a^b\) |
| Garder la constante \(C\) | Elle s'annule dans \(F(b)-F(a)\) |
| \(\int fg = \int f\int g\) | Faux |
| Utiliser \(\lvert\ \rvert\) dans \(\ln\) sans vérifier le signe | Vérifier sur l'intervalle |
| Oublier \(v'\) dans la dérivation à borne variable | Règle de la chaîne |
Exercices¶
★ Exercice 1. Calculer.
a) \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x)\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_1^e \frac{\mathrm{d}x}{x}\) c) \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x\) d) \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,\mathrm{d}x\)
★ Exercice 2. Calculer.
a) \(\displaystyle\int_1^4\sqrt x\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+x)\,\mathrm{d}x\) — commenter le résultat. c) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x\)
★★ Exercice 3. Calculer, en reconnaissant une forme composée.
a) \(\displaystyle\int_0^1 x e^{x^2}\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_1^2\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\cos^3x\,\mathrm{d}x\)
★★ Exercice 4. Calculer l'aire du domaine délimité par :
a) \(y=4-x^2\) et l'axe des abscisses ; b) \(y=x^2\) et \(y=2x\) ; c) \(y=\sin x\) et l'axe des abscisses sur \([0;2\pi]\).
★★ Exercice 5. Calculer la valeur moyenne de :
a) \(f(x)=x^2\) sur \([0;3]\) b) \(g(x)=\sin x\) sur \([0;\pi]\) c) \(h(x)=e^x\) sur \([0;1]\)
★★★ Exercice 6. Sans calculer les intégrales, encadrer :
a) \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^3}\) b) \(\displaystyle\int_1^2 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\)
Indication : encadrez l'intégrande sur l'intervalle.
★★★ Exercice 7. Soit \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,\mathrm{d}x\).
a) Calculer \(I_0\). b) Montrer que \(0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}\). c) En déduire \(\lim_{n\to+\infty}I_n\).
★★★ Exercice 8. Soit \(F(x)=\displaystyle\int_x^{2x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\) pour \(x>1\).
a) Justifier que \(F\) est bien définie. b) Calculer \(F'(x)\). c) Étudier le signe de \(F'\) et en déduire les variations de \(F\).
★★★★ Exercice 9. Soit \(f\) continue sur \([0;1]\) telle que \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t = 0\).
a) Montrer que \(f\) s'annule au moins une fois sur \([0;1]\). b) Si de plus \(\displaystyle\int_0^1 tf(t)\,\mathrm{d}t = 0\), montrer que \(f\) s'annule au moins deux fois. Indication : par l'absurde, supposez un seul zéro \(c\) et considérez \((t-c)f(t)\).
★★★★ Exercice 10 — lien informatique. On calcule \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) numériquement.
a) Implémenter rectangles, trapèzes et Simpson. b) Comparer les erreurs pour \(n = 10, 100, 1000\) à la valeur de référence \(0{,}746824132812427\). c) Vérifier expérimentalement les ordres \(O(h)\), \(O(h^2)\), \(O(h^4)\). d) Pour Simpson, que se passe-t-il quand \(n\) devient très grand ? Expliquer.
Corrigés¶
Corrigé — Exercice 1
a) \(\big[x^3-x^2\big]_0^2 = 8-4 = 4\).
b) \(\big[\ln x\big]_1^e = 1-0 = 1\).
c) \(\big[-\cos x\big]_0^\pi = -(-1)-(-1) = 2\).
d) \(\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{e^2-1}{2}\approx3{,}195\).
Corrigé — Exercice 2
a) \(\left[\frac23 x^{3/2}\right]_1^4 = \frac23(8-1) = \frac{14}{3}\).
b) \(\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac14+\frac12\right)-\left(\frac14+\frac12\right) = 0\).
Commentaire : l'intégrande \(x^3+x\) est impaire, et l'intervalle est symétrique. L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est toujours nulle — les deux moitiés se compensent exactement.
C'est un raccourci à connaître : il évite le calcul.
c) \(\big[\sin x\big]_0^{\pi/2} = 1-0 = 1\).
Corrigé — Exercice 3
a) \(\left[\frac12 e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{e-1}{2}\approx0{,}859\).
b) \(u = x^2+x+1\), \(u'=2x+1\) :
c) \(u=\cos x\), \(u'=-\sin x\). La forme est \(-u'u^3\) :
Corrigé — Exercice 4
a) \(4-x^2 = 0\) pour \(x=\pm2\), et la parabole est positive entre.
b) Intersections : \(x^2 = 2x\) donne \(x=0\) et \(x=2\). Sur \([0;2]\), \(2x\geqslant x^2\).
c) \(\sin\) est positive sur \([0;\pi]\), négative sur \([\pi;2\pi]\).
(Alors que \(\int_0^{2\pi}\sin = 0\).)
Corrigé — Exercice 5
a) \(\mu = \frac13\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \frac13\cdot\frac{27}{3} = 3\).
b) \(\mu = \frac1\pi\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = \frac{2}{\pi} \approx0{,}637\).
Info
C'est la valeur moyenne d'une alternance de sinusoïde — la « valeur moyenne redressée » en électronique, à ne pas confondre avec la valeur efficace \(\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707\), qui est la racine de la moyenne du carré.
c) \(\mu = \frac{1}{1}\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e-1\approx1{,}718\).
Corrigé — Exercice 6
a) Sur \([0;1]\), \(0\leqslant x^3\leqslant1\), donc \(1\leqslant 1+x^3\leqslant2\), donc
En intégrant sur \([0;1]\) (de longueur 1) :
(Valeur exacte \(\approx0{,}835\).)
b) Sur \([1;2]\), \(1\leqslant x^2\leqslant4\), donc \(-4\leqslant -x^2\leqslant-1\), et par croissance de \(\exp\) :
En intégrant sur \([1;2]\) (de longueur 1) :
(Valeur exacte \(\approx0{,}1352\). L'encadrement est large mais licite.)
Corrigé — Exercice 7
a) \(I_0 = \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x = \big[-e^{-x}\big]_0^1 = 1-e^{-1}\approx0{,}632\).
b) Sur \([0;1]\) : \(x^n\geqslant0\) et \(e^{-x}>0\), donc \(I_n \geqslant 0\).
Par ailleurs \(e^{-x}\leqslant e^0 = 1\) sur \([0;1]\), donc \(x^n e^{-x}\leqslant x^n\), d'où par croissance de l'intégrale
\(\blacksquare\)
c) Par encadrement, \(\frac{1}{n+1}\to0\) donc
Le mécanisme
Sur \([0;1[\), \(x^n\to0\) : la contribution de tout l'intervalle s'écrase, sauf au voisinage immédiat de 1 dont la « largeur » tend vers zéro. C'est le prototype des suites d'intégrales qu'on rencontrera en ANAL12.
Corrigé — Exercice 8
a) Pour \(x>1\), l'intervalle \([x;2x]\) est inclus dans \(]1;+\infty[\), où \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) est continue (\(\ln t > 0\) et ne s'annule pas). L'intégrale est donc bien définie. ✓
b) Avec \(v(x)=2x\), \(v'=2\) et \(u(x)=x\), \(u'=1\) :
c) Mettons au même dénominateur :
Pour \(x>1\), le dénominateur est positif (\(\ln x>0\) et \(\ln 2x>0\)).
Le signe est donc celui de \(\ln x - \ln 2\), positif ssi \(x>2\).
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(F'\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(F\) | ↘ | min | ↗ |
Minimum en \(x=2\), valant \(F(2)=\int_2^4\frac{\mathrm{d}t}{\ln t} \approx1{,}92\).
Le logarithme intégral
La fonction \(\operatorname{li}(x)=\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\) est le logarithme intégral. Le théorème des nombres premiers affirme que le nombre de premiers inférieurs à \(x\) est équivalent à \(\operatorname{li}(x)\) — c'est la meilleure approximation connue.
\(F(x) = \operatorname{li}(2x)-\operatorname{li}(x)\) estime donc le nombre de premiers entre \(x\) et \(2x\), dont le postulat de Bertrand garantit qu'il est \(\geqslant1\).
Corrigé — Exercice 9
a) Par l'absurde. Supposons \(f\) de signe constant, par exemple \(f>0\) sur \([0;1]\) (le cas \(f<0\) est symétrique).
\(f\) est continue sur le segment \([0;1]\), donc atteint son minimum \(m = f(x_0)>0\). Alors
ce qui contredit l'hypothèse.
Comme \(f\) est continue et prend des valeurs de signes opposés, le TVI fournit un zéro. \(\blacksquare\)
b) Par l'absurde : supposons que \(f\) ne s'annule qu'en un seul point \(c\) de \([0;1]\).
D'après a), \(f\) change de signe. Comme \(c\) est l'unique zéro, \(f\) est de signe constant sur \([0;c[\) et de signe constant opposé sur \(]c;1]\) — sinon \(f\) ne changerait pas de signe, ou le TVI créerait un autre zéro.
Considérons \(g(t) = (t-c)f(t)\). Alors :
- sur \([0;c[\) : \(t-c<0\) ;
- sur \(]c;1]\) : \(t-c>0\).
Le produit \((t-c)f(t)\) est donc de signe constant sur \([0;1]\) (les deux changements de signe se compensent), et continu, et ne s'annule qu'en \(c\).
Par l'argument de a), \(\int_0^1 g \neq 0\).
Or
Contradiction. \(f\) s'annule donc au moins deux fois. \(\blacksquare\)
La généralisation
Si \(\int_0^1 t^k f(t)\,\mathrm{d}t = 0\) pour \(k = 0,1,\dots,n\), alors \(f\) s'annule au moins \(n+1\) fois. C'est le fondement de la théorie des polynômes orthogonaux et des formules de quadrature de Gauss.
Corrigé — Exercice 10
a) et b) Implémentation.
import math
def rectangles(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
return h * sum(f(a + i * h) for i in range(n))
def trapezes(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
s = (f(a) + f(b)) / 2 + sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
return h * s
def simpson(f, a, b, n):
assert n % 2 == 0, "n doit etre pair"
h = (b - a) / n
s = f(a) + f(b)
s += 4 * sum(f(a + i * h) for i in range(1, n, 2))
s += 2 * sum(f(a + i * h) for i in range(2, n, 2))
return h * s / 3
f = lambda x: math.exp(-x * x)
exact = 0.746824132812427
for n in (10, 100, 1000):
for nom, meth in (("rect", rectangles), ("trap", trapezes),
("simp", simpson)):
e = abs(meth(f, 0.0, 1.0, n) - exact)
print(f"n={n:5d} {nom} erreur={e:.3e}")
Résultats.
| \(n\) | Rectangles | Trapèzes | Simpson |
|---|---|---|---|
| 10 | \(3{,}099\times10^{-2}\) | \(6{,}133\times10^{-4}\) | \(8{,}154\times10^{-7}\) |
| 100 | \(3{,}154\times10^{-3}\) | \(6{,}131\times10^{-6}\) | \(8{,}175\times10^{-11}\) |
| 1000 | \(3{,}160\times10^{-4}\) | \(6{,}131\times10^{-8}\) | \(8{,}327\times10^{-15}\) |
c) Vérification des ordres. Entre deux lignes, \(n\) est multiplié par 10, donc \(h\) est divisé par 10.
- Rectangles : erreur divisée par \(\approx10\) → \(O(h)\) ✓
- Trapèzes : divisée par \(\approx100\) → \(O(h^2)\) ✓
- Simpson : divisée par \(\approx10^4\) (\(\frac{8{,}154\times10^{-7}}{8{,}175\times10^{-11}} = 9974\)) → \(O(h^4)\) ✓
d) En poussant plus loin, Simpson cesse de s'améliorer :
| \(n\) | Erreur Simpson |
|---|---|
| 1 000 | \(8{,}33\times10^{-15}\) |
| 2 000 | \(4{,}44\times10^{-16}\) |
| 10 000 | \(3{,}33\times10^{-16}\) |
| 100 000 | \(3{,}66\times10^{-15}\) — ça remonte |
L'erreur atteint le plancher de la double précision : l'epsilon machine vaut \(\varepsilon\approx2{,}22\times10^{-16}\), et l'erreur de troncature mathématique est devenue plus petite que l'erreur d'arrondi accumulée sur les \(n\) additions.
Au-delà de \(n\approx10^4\), augmenter \(n\) dégrade le résultat : on additionne davantage de termes, donc on accumule davantage d'arrondis, sans plus rien gagner sur la troncature.
La leçon numérique
Il existe un \(n\) optimal, au-delà duquel raffiner est contre-productif. C'est le compromis universel entre erreur de troncature (décroît avec \(h\)) et erreur d'arrondi (croît avec le nombre d'opérations).
Aucune analyse mathématique de l'erreur ne le prédit — seule une exécution le révèle. C'est exactement le type de critique que demande le module de modélisation.
Chapitre suivant : Techniques d'intégration.